復(fù)合纖維紡絲組件孔道熔體流動速度場分布數(shù)學(xué)模型建立

魏大順， 馮 培， 2， 楊崇倡， 王佳林

(1.東華大學(xué) 紡織裝備教育部工程研究中心，上海201620； 2.浙江恒瀾科技有限公司，浙江 杭州311200)

隨著智能纖維、功能性纖維等新型纖維的出現(xiàn)，傳統(tǒng)的纖維材料又被賦予電學(xué)、光學(xué)、信息傳遞、存儲等功能[1-2]。復(fù)合纖維作為其主要品種，主要應(yīng)用于具有防偽、防靜電、屏蔽等功能的軍工、醫(yī)療等高端特殊領(lǐng)域。

復(fù)合纖維制備方法是將性能差異的兩種或兩種以上聚合物熔體或溶液，利用組分的品種、配比、黏度的差異，分別流入同一紡絲組件，在紡絲組件中的某個部位進(jìn)行匯合，從同一個噴絲微孔中噴出，成為一根纖維[3-4]。復(fù)合纖維的復(fù)合類型，通常有并列型、皮芯型、剝離型等，如圖1所示。在新型纖維最新研究中，并列型和皮芯型為復(fù)合纖維主要研究品種[5-7]，

圖1 復(fù)合纖維截面類型[5]Fig.1 Types of composite fiber scction[5]

關(guān)于復(fù)合纖維紡絲成形理論的研究，文獻(xiàn)[8-9]圍繞著不同結(jié)構(gòu)參數(shù)與工藝參數(shù)對卷曲性能的影響進(jìn)行了研究。研究人員[10-13]對皮芯復(fù)合紡絲動力學(xué)進(jìn)行了紡絲模擬，建立了纖維截面上溫度熱傳導(dǎo)數(shù)學(xué)模型。劉娜娜[14]、寧寧[15]利用數(shù)值模擬方法進(jìn)行了復(fù)合纖維成形理論的研究。

在復(fù)合纖維紡絲過程中，兩種聚合物在孔道內(nèi)的流動速度差異大小與速度場分布，是復(fù)合纖維紡絲組件設(shè)計的關(guān)鍵依據(jù)[16]。但傳統(tǒng)紡絲組件設(shè)計與工藝參數(shù)的確定，主要依賴于經(jīng)驗，復(fù)合熔體流動的速度場分布數(shù)學(xué)模型尚未建立，缺乏理論指導(dǎo)。因此，本文在考慮熔體發(fā)生壁面滑移的情況下，根據(jù)不同的孔道情況確定邊界條件，建立復(fù)合纖維紡絲噴絲板孔道內(nèi)兩種聚合物熔體速度場分布的數(shù)學(xué)模型。

1 兩種聚合物熔體在噴絲孔道內(nèi)的速度場分布

考慮熔體壁面滑移，壁面處有滑移速度為vs，無滑移時，vs為0。根據(jù)復(fù)合纖維截面形狀，通常可分為對稱形狀和不對稱形狀兩種情況，根據(jù)不同的孔道形狀確定邊界條件，進(jìn)行速度場分布數(shù)學(xué)模型推導(dǎo)。為簡化計算，不考慮結(jié)晶和取向的產(chǎn)生，針對復(fù)合纖維聚合物熔體擠出流動過程，作如下假設(shè)：

(1) 聚合物熔體為不可壓縮；

(2) 聚合物熔體流動為穩(wěn)定層流；

(3) 聚合物熔體溫度不隨時間變化，忽略熱對流，認(rèn)為熱傳導(dǎo)和黏性耗散支配溫度場，孔道壁面溫度保持不變；

(4) 兩種熔體密度差對流動無影響；

(5) 忽略兩種聚合物熔體流動動力學(xué)和熱的交互作用影響；

(6) 聚合物熔體黏度變化與溫度有關(guān)，遵循阿倫尼烏斯(Arrhenius)關(guān)系式。

1.1 復(fù)合截面形狀為對稱分布

孔道形狀為對稱分布時，以皮芯復(fù)合纖維為例，通常芯層熔體被皮層熔體完全覆蓋，因此，假設(shè)聚合物熔體流動為全展流，剪切速度方向與軸線平行，為一維層流，橫截面上壓力梯度恒定不變，與時間無關(guān)。兩種聚合物熔體對稱分布流動模型的示意圖如圖2所示。

圖2 復(fù)合熔體對稱分布流動模型示意圖Fig.2 Schematic diagram of symmetrically distributed flow model for composite melt

對稱分布時，邊界條件確定如下：

當(dāng)r=B1時，界面兩側(cè)速度相等，有vz1=vz2，τrz1=τrz2，T1=T2；

當(dāng)r=B時，壁面處有滑移時，壁面處速度為vs，有vz1=vs，T1=Tw。

其中：T為熔體溫度；v2為熔體沿z軸向速度；τ為交界兩邊應(yīng)力；Tw為壁面處溫度；下標(biāo)1和2分別為熔體Ⅰ和Ⅱ。

速度分布函數(shù)推導(dǎo)如下：

根據(jù)流變學(xué)基本控制方程中的動量方程[17-19]，在柱坐標(biāo)系中展開，得到z方向分量方程

(1)

式中：τrz、τθz、τzz是剪切應(yīng)力τ在r、θ、z坐標(biāo)軸方向的分量。

由于流動為一維層流，剪切應(yīng)力z軸方向分量對θ、z導(dǎo)數(shù)為0，則式(1)簡化為

(2)

兩邊積分，得到

(3)

(4)

由邊界條件求得積分常數(shù)，得到剪切應(yīng)力方程如式(5)所示。

(5)

冪律流體的本構(gòu)方程如式(6)和(7)所示。

(6)

(7)

由方程(6)、(7)積分，化簡后得到復(fù)合紡絲速度分布函數(shù)如式(8)、(9)所示。

熔體Ⅰ：

(8)

熔體Ⅱ：

(9)

1.2 復(fù)合截面形狀為非對稱分布

兩種聚合物熔體相互緊挨著流動，當(dāng)孔道形狀為非對稱分布時，這兩種聚合物組分都與壁面相接觸，存在共同邊界層，由于熔體材料特性差異，速度場分布不連續(xù)，其流動模型示意圖如圖3所示。

圖3 復(fù)合熔體非對稱分布流動模型示意圖Fig.3 Schematic diagram of asymmetric distributed flow model of composite melt

由于兩種熔體的黏度不同，最大速度一般位于低黏度一側(cè)，假設(shè)熔體Ⅱ黏度較大，最大速度發(fā)生在如圖3中B0處，有邊界條件如下：

當(dāng)r=B0時，速度最大v=vmax，此處的剪切應(yīng)力τrz2=0；

當(dāng)r=B1時，界面兩側(cè)速度相等，有vz1=vz2，τrz1=τrz2；

當(dāng)r=B時，壁面速度為vs1，有vz1=vs1，T1=Tw；

當(dāng)r=0時，壁面速度為vs2，有vz2=vs2。

速度分布函數(shù)推導(dǎo)如下：

同理，將動量方程在柱坐標(biāo)系下展開后z方向的分量為

(10)

由假設(shè)條件及邊界條件，式(10)簡化為

將上式積分得到：

(11)

由邊界條件r=B0，τrz2=0代入式(11)求得積分常數(shù)，得到：

(12)

由冪律流體的本構(gòu)方程和式(11)、(12)積分得到式(13)。

(13)

由邊界條件r=0，vz2=vs2可得到熔體Ⅱ的速度分布有

(14)

對熔體Ⅰ積分得到

(15)

由邊界條件：r=B，vz1=vs1，代入式(15)，化簡得到熔體Ⅰ的速度分布函數(shù)為

(B1≤r≤B)

(16)

對熔體Ⅱ積分得到

(17)

將式(17)化簡得到

(B1≤r≤B)

(18)

(3) 當(dāng)r=B0時，式(16)中速度值與式(18)速度值相等，則有

(19)

由式(19)求得

(20)

將式(20)代入式(18)可得到熔體Ⅱ的速度分布。

綜上所述，可得到熔體Ⅰ的速度分布如式(21)所示。

(B1≤r≤B)

(21)

熔體Ⅱ的速度分布如式(22)和(23)所示。

(22)

(0≤r≤B0)

(23)

2 實例驗證

為了驗證上述速度場分布數(shù)學(xué)模型的合理可靠，針對復(fù)合截面形狀為對稱分布的紡絲速度分布函數(shù)，利用兩種相容性較差的聚合物熔體進(jìn)行驗證。本文使用的是應(yīng)用廣泛的聚合物熔體聚對苯二甲酸乙二醇酯(PET)和聚酰胺(PA6)并列復(fù)合，進(jìn)行速度場分布數(shù)值求解。建立并列復(fù)合擠出幾何模型，如圖4所示。

圖4 并列復(fù)合擠出幾何模型Fig.4 Geometric model of parallel compound extrusion

本文速度場分布函數(shù)是基于歐拉描述法，在任意指定的時間，逐點描述運(yùn)動速度分布，利用動量方程進(jìn)行數(shù)學(xué)模型推導(dǎo)。采用交錯網(wǎng)格的有限體積法[21]，首先將動量方程進(jìn)行離散化，根據(jù)離散后的動量方程，用Fortran語言進(jìn)行程序編寫，結(jié)合simple算法求解兩種聚合物熔體速度場分布函數(shù)。

具體求解思路：(1)在指定的黏度場和溫度場下，求解動量方程，獲得速度場；(2)由指定的溫度場和已知的剪切速率場，求解黏度場；(3)重復(fù)步驟(1)和(2)，直至速度場、黏度場、壓力場都收斂。

收斂準(zhǔn)則如式(24)所示。

(24)

式中：n′為迭代次數(shù)；i為未知量數(shù)目；εu為控制計算精度的收斂容差。本文計算中，εu取10-5，計算精度和時間較合理。

由2種聚合物熔體材料參數(shù)(如表1所示)及紡絲工藝，確定邊界條件。

表1 材料參數(shù)[21]

微孔壁面無滑移流動，壁面溫度設(shè)為288 ℃；熔體入口流量為QPA6=QPET=2×10-8m3/s，流量比為1∶1，平直流動區(qū)長度為1.8 mm，收斂角為75°。微孔入口處和出口處，PET與PA6聚合物熔體速度場計算結(jié)果如圖5所示。

圖5 PET與PA6聚合物熔體速度場分布計算結(jié)果Fig.5 Result of velocity field distribution calculation of PET and PA6

由圖5可知：當(dāng)入口流量相同時，PET和PA6進(jìn)入噴絲孔時，兩種聚合物熔體的速度分布基本相同；出口處復(fù)合熔體的最大速度出現(xiàn)在PA6熔體一側(cè)，位置偏向PA6軸線位置，且最大速度值為0.423 m/s，與文獻(xiàn)[22-23]給出的黏性包裹理論相符。這主要是由于兩種熔體的黏度不同，在兩種熔體復(fù)合后，PA6熔體的黏度小，內(nèi)摩擦力較小，熔體的速度就較大。

3 結(jié) 語

本文基于PET和PA6兩種聚合熔體動力學(xué)控制方程，建立了在對稱孔道和非對稱孔道兩種聚合物熔體流動的速度場分布的數(shù)學(xué)模型，并進(jìn)行數(shù)值求解，通過改變?nèi)肟诮恰㈤L徑比、流量比等參數(shù)，可計算出速度場分布曲線，并驗證了該模型的合理可靠性，為復(fù)合纖維紡絲組件結(jié)構(gòu)參數(shù)及成形工藝參數(shù)設(shè)計奠定了理論基礎(chǔ)。