基于子結構實驗的橡膠減振器動態特性預測研究

劉德宇，郭勤濤，陶言和，王秀剛

(南京航空航天大學機電學院，江蘇 南京 210016)

橡膠減振器具有形狀自由度大、減振性能良好、成本相對低廉等優勢，被廣泛應用于軌道列車的減振系統中，連接地板與車體的橡膠減振塊對列車的運行平穩性與乘員的舒適性起著重要作用。橡膠是一種典型的超彈性材料，硫化體系復雜，并且硫化過程中溫度、壓力和時間對制品質量影響較大[1-2]。在材料和加工工藝相近的情況下，橡膠結構的剛度和阻尼存在較大的不確定性，因此對減振系統中橡膠減振元件的不確定性進行量化，有利于提高仿真計算的準確性。黃建龍等[3]使用Mooney-Rivlin模型對橡膠材料進行仿真分析，介紹了獲取模型材料參數的實驗方法。劉萌等[4]僅使用單軸拉伸實驗識別模型參數，證明了在某些工況下簡化材料實驗種類的可行性。潘孝勇[5]介紹了橡膠材料動態特性實驗的方法，總結了橡膠元件動態特性參數的確定公式。郭勤濤等[6]對有限元模型確認方法進行了研究，介紹了模型確認的總體思路與實現方法。

本文選用Mooney-Rivlin超彈性模型表征橡膠材料的彈性特性，用頻域黏彈性模型表征橡膠材料的頻變特性，對材料進行單軸拉伸實驗與簡單剪切實驗，通過公式計算與擬合應力-應變關系曲線獲取模型參數，并對模型參數及其仿真響應進行不確定性量化分析。

1 橡膠材料的本構模型

1.1 橡膠材料的超彈性理論模型

橡膠是一種超彈性材料，常使用應變能密度函數表征其力學特性。實際應用中常使用Mooney-Rivlin模型描述橡膠的應變能密度函數，該模型基于唯象理論，使用張量不變量作為應變能密度函數的自變量，在小應變范圍內擬合效果良好，同時模型方程簡單，參數獲取方便，因此被廣泛應用于橡膠件的工程分析中。二參數Mooney-Rivlin模型應變能密度函數為：

W=C10(I1-3)+C01(I2-3)

(1)

式中：W為應變能密度；C10與C01均為Rivlin系數；Ii(i=1,2,3)為第i階Green應變不變量。

橡膠材料的不同應力-應變狀態可由單軸拉伸、單軸壓縮以及純剪切實驗表示，考慮到實際實驗過程中的難易程度與精度，常用等雙軸拉伸與平面拉伸實驗代替單軸壓縮與純剪切實驗。由于橡膠材料的不可壓縮性，可以認為I3=λ1λ2λ3=1，其中λj(j=1,2,3)為3個方向的主伸長率。不同變形狀態時的工程應力σ與對應的主伸長率的關系為[7]：

單軸拉伸

(2)

等雙軸

(3)

平面剪切

(4)

式中：λU,λB,λP分別為不同變形狀態下的主伸長率。

變形張量不變量與實驗中主伸長率的關系為[7]：

單軸拉伸

(5)

等雙軸

(6)

平面剪切

(7)

將式(1)和式(5)(式(6)、(7))代入式(2)(式(3)、(4))，便可計算得到材料在不同變形狀態時的工程應力。考慮到橡膠結構件的實際工況及實驗室條件，本文僅使用單軸拉伸實驗識別橡膠材料參數。

1.2 橡膠材料的頻域黏彈性理論模型

橡膠隔振器的動態特性與激振頻率的高低及振幅大小有關，小振幅工況下可以忽略振幅變化對橡膠動態特性的影響，只考慮由橡膠材料黏彈性確定的頻率相關性。本文使用頻域黏彈性模型表征橡膠材料的頻變特性。

對橡膠材料進行動態簡單剪切實驗時，試件受到的諧波剪切應變激勵κ(t)為[8]：

κ(t)=κ0eiωt

(8)

τ(t)=G*(ω)κ0eiωt=[Gs(ω)+

iG1(ω)]κ0eiωt

(9)

式中：Gs(ω),G1(ω)分別為剪切模量G*(ω)的實部和虛部，定義為剪切存儲模量和剪切損失模量[5]。

剪切松弛函數g(t)定義為[8]：

(10)

式中：GR(t)為與時間相關的剪切松弛模量；G∞為準靜態剪切模量，可通過試樣的靜力加載實驗分析獲得。

Gs(ω)和G1(ω)可表示為：

Gs(ω)=G∞[1-ωIm(g*)]

(11)

G1(ω)=G∞ωRe(g*)

(12)

式中：g*為g*(ω)的簡寫，g*(ω)為g(t)的傅里葉變換；Re(g*)和Im(g*)分別為g*(ω)的實部和虛部。

剪切應力的幅值|τ|和相位角δ可分別表示為：

(13)

(14)

1.3 模型精度的確認準則

模型的精度與適用范圍通過確認準則判斷，考慮不確定性因素時，使用重合度準則判定不同響應分布的一致程度[6]：

J(P)=PDFtest∩PDF

(15)

式中：PDF和PDFtest分別為仿真計算和實驗響應特征的概率密度分布；J(P)的值為兩個響應概率密度分布的重合面積。該準則可以比較全面地判定仿真計算與實驗結果是否保持一致，當兩個結果的概率密度函數曲線完全重合時，J(P)的值為1，表示仿真的響應特征完全可以取代實驗數據體現的結構特性。

2 本構模型的參數確定及量化

2.1 單軸拉伸實驗及參數識別

根據1所述的本構模型參數獲得方法，采用單軸拉伸實驗[9]對橡膠材料進行應力-應變測試，選用標準GB/T 528—2009中的1A型啞鈴狀試樣，應變水平選擇與實際工況相近的0.5。單軸拉伸試樣如圖1所示。

圖1 單軸拉伸試樣

橡膠材料的非線性特性使其在材料參數識別過程中存在較大的不確定性。概率論與數理統計技術為不確定性量化分析提供了統計及檢驗方法。實際工程中通常使用正態分布對隨機變化的不確定性參數進行分布估計與檢驗，本文通過正態分布方法對橡膠參數進行不確定性量化分析。單軸拉伸實驗過程中，為了量化材料本身差異與實驗操作中所帶來的不確定性，分別對11件試樣進行了拉伸實驗，考慮到Mullins效應的影響，正式拉伸實驗前對試樣循環加載5次，以消除Mullins效應。將試樣對稱地夾在拉力實驗機的上下夾持器上，使拉力均勻地分布在試樣的橫截面上。啟動拉力實驗機，在整個實驗過程中連續監測試樣長度和受力變化，如果試樣在其狹窄部位以外的地方斷裂則舍棄該實驗結果，并另取試樣重新進行實驗。實驗獲得的11件試樣的應力-應變關系如圖2所示，使用最小二乘法擬合關系曲線可獲得模型參數C10和C01。

圖2 單軸拉伸應力-應變關系

對單軸拉伸實驗所獲得的參數進行正太分布擬合，得到Mooney-Rivlin本構模型參數C10服從N(0.589 8,0.042 72)，C01服從N(0.258 2,0.061 32)。

2.2 簡單剪切實驗及參數識別

通過動態簡單剪切實驗獲得橡膠材料的頻域黏彈性材料模型參數，簡單剪切試樣及實驗臺如圖3所示，該實驗臺可以測量不同頻率下激振力與剪切變形的大小。

降低激振頻率進行準靜態簡單剪切實驗，由準靜態簡單剪切實驗可測得剪切力Fs0與試樣位移xs0，從而得到剪切應力τs0為：

(16)

式中：2A為橡膠試件的剪切面積。

剪切應變κs0為：

圖3 簡單剪切實驗臺

(17)

式中：t0為橡膠試件的厚度。

準靜態剪切模量G∞為：

(18)

式中：Δτs0,Δκs0為準靜態剪切應力與準靜態剪切應變。

由動態簡單剪切實驗可以測得試樣隨頻率變化的存儲剛度Ks、損失剛度Kl和阻尼角，存儲力Fs(ω)和損失力Fl(ω)分別為：

Fs(ω)=Ks(ω)x0(ω)

(19)

Fl(ω)=Kl(ω)x0(ω)

(20)

式中：x0(ω)為不同頻率下的響應位移振幅。

與存儲力Fs(ω)和損失力Fl(ω)對應的剪切應力τs(ω)和τl(ω)分別為：

(21)

(22)

剪切應變κ(ω)為：

(23)

剪切存儲模量Gs(ω)和剪切損失模量Gl(ω)為：

(24)

(25)

表示橡膠材料黏彈性的參數ωRe(g*)和ωIm(g*)分別為：

(26)

(27)

用以上計算公式處理實驗數據，得到剪切試樣的ωRe(g*)和ωIm(g*)隨激振頻率變化的曲線，如圖4所示。從圖中可以看出，|ωRe(g*)|和|ωIm(g*)|隨激振頻率的增加而增加，并且|ωIm(g*)|的增幅更明顯。

圖4 ωRe(g*)和ωIm(g*)頻變曲線

對激振頻率為20 Hz時的6組橡膠試樣進行動態剪切實驗，得到該頻率下的黏彈性參數，對參數進行正態分布擬合，得到ωRe(g*)服從N(0.204 2,0.001 42)，ωIm(g*)服從N(-0.385 8,0.000 392)。

3 橡膠減振系統的響應預測

3.1 減振系統的響應驗證

某橡膠減振系統的有限元模型如圖5所示，含有7 128個六面體單元，橡膠單元材料屬性為超彈性與黏彈性疊加，約束面為橡膠塊底面，加載處為鋼板中心位置，在加載點施加掃頻集中力。雖然橡膠元件尺寸及形狀與實際工程中列車的減振塊不同，但為減振塊的分析提供了方法。使用激振器、力傳感器及加速度傳感器搭建動力掃頻實驗臺，實驗中在加載點施加掃頻集中力，測量加載力信號與鋼板加速度信號，對信號進行頻域變換后與模型的仿真計算結果進行比較，如圖6所示。

圖5 減振系統有限元模型

圖6 頻響曲線對比

為了對減振系統模型的響應進行預測，在激振頻率為20 Hz時進行多組實驗，記錄鋼板加速度信號。對實驗值進行擬合，實驗得到的加速度響應服從Ae～N(0.269 3,0.028 22)。

3.2 基于重合度準則的量化

對減振系統模型進行20 Hz激勵下的響應計算，使用蒙特卡羅法隨機抽取材料黏彈性參數，計算20組加載后的減振系統模型加速度響應，對結果進行正態分布擬合，模型響應峰值服從As～N(0.256 2,0.002 12)。

模型預測響應峰值概率密度分布與3.1節實驗測得加速度峰值分布的比較結果如圖7所示，超彈性-黏彈性模型與實驗值的重合度為76.08%。根據重合度準則，可判斷使用超彈性-黏彈性模型對減振系統響應預測進行的量化是合理的。

圖7 預測與實驗的概率密度分布

4 結束語

本文對橡膠減振器試樣進行了實驗，識別其超彈性模型與黏彈性模型材料參數，驗證了小振幅激勵下橡膠元件超彈性-黏彈性疊加模型的有效性。將模型確認技術引入非線性材料的建模中，考慮材料參數識別過程的不確定性因素，驗證了重合度準則的有效性，得到了具有一定置信度的減振器模型。所涉及的理論與方法具有深入研究的必要，對后續研究工作的建議如下：1)超彈性模型參數識別可增加等雙軸拉伸實驗與平面拉伸實驗，提高所得參數的精度；2)橡膠材料建模忽略了材料的幅變特性，所得模型不適用于大變形工況，若需研究橡膠材料的幅變特性，有必要在本模型基礎上增加彈塑性模型；3)本文所有實驗均在室溫進行，未考慮橡膠材料的溫變特性，后續的相關研究可考慮這一因素的影響。