關于全概率公式解決醫學問題的課堂教學體會

楊小飛

摘 要：概率論與數理統計的首要任務是計算隨機事件的概率，而全概率公式就是計算復雜事件概率的一種行之有效的方法，它在實際中的應用非常廣泛。因此，如何引導醫學院的學生理解并掌握全概率公式，一直是課堂教學的重點與難點。本文首先通過具體的實例引入全概率公式，然后介紹全概率公式內涵及解題步驟，最后通過醫學檢驗中具體的實例來說明公式的應用。通過這種層層遞進的方式，使學生們能夠深刻理解全概率公式，并且熟練掌握公式的應用，從而解決醫學檢驗中遇到的概率問題。

關鍵詞：全概率公式;教學的重點與難點;復雜事件的概率;醫學檢驗

概率論與數理統計是研究和揭示隨機現象統計規律性的一門數學學科[1]。它的首要任務是計算隨機事件的概率，而全概率公式就是計算復雜事件概率的一種行之有效的方法。全概率公式在實際中的應用非常廣泛，比如在產品質量檢驗、疑難病癥診斷和經濟決策上的應用[2]。因此如何引導醫學院的學生理解和掌握全概率公式，并且熟練掌握公式的應用，進而去解決醫學檢驗中的概率問題，就顯得尤為重要。

本文首先通過“摸獎問題”引入全概率公式，然后介紹公式的內涵與解題步驟，最后有針對性的選取例題，特別是醫學檢驗相關的應用題，培養學生解決實際問題的能力與運用所學知識的能力。

1 引例：摸獎問題

商場門口舉行摸獎活動：有1，2，3號三個箱子，每個箱子中放入若干個白球和紅球，其個數如右圖所示，摸到紅球的中獎。購買商場中任意商品的顧客有一次摸獎的機會，問顧客中獎的概率是多少？

解：設Bi={取到第i號箱}，

A={取得紅球}.

所以，這體現了“化整為零”的數學思想。

于是

利用乘法公式，可得：

從而將復雜事件的概率轉化為簡單事件的概率之和，上式體現了“積零為整”的數學思想。最后代入數值，得：

所以顧客中獎的概率是11/30。

其中，是導致事件A發生的所有可能原因，

并且滿足：;

將上述結果一般化，我們就得到樣本空間的劃分的概念和全概率公式。

2 全概率公式

定義1 設試驗E的樣本空間為，為的一組事件，若

（1）（不交）

（2）（不重）

則稱為樣本空間的一個劃分，或者稱為一個完備事件組。

定理1 設A為樣本空間為的事件，為的一個劃分，且，則：

（1）

上式稱為全概率公式[3]。

2.1 全概率公式的內涵

1）在（1）式中，A往往表示某一結果，完備事件組表示導致這一結果發生的所有可能原因。因此，全概率公式實際上是已知原因求結果。

2）（1）式說明，在計算一個復雜事件A的概率時，往往是將A轉化為兩兩互斥的簡單事件的并，即，使得復雜問題簡單化，這體現了“化整為零”的數學思想;從而，計算出復雜事件的概率，這又體現了“積零為

整”的數學思想。

2.2 全概率公式的解題步驟

全概率公式應用的關鍵是找到樣本空間的一個劃分，即導致A這一結果發生的所有可能原因。為了便于計算，我們將全概率公式解題步驟歸納如下：

1）找出導致A這一結果發生的所有可能原因，其構成一完備事件組;

2）求出每個原因概率的大小;

3）求出原因對結果的影響的概率;

4）求出結果A發生的概率

3 全概率公式的應用

全概率公式在實際中的應用非常廣泛。下面通過具體的實例來說明全概率公式的應用。

例1 體檢時甲胎蛋白檢驗結果是檢査是否患有肝癌的重要指標。肝癌患者該檢驗結果呈陽性的概率為0.95，正常人該檢驗結果呈陽性的概率為0.04.已知人群中肝癌患者占0.06%，求任一人甲胎蛋白檢驗結果呈陽性的概率。

解：設A={甲胎蛋白檢驗結果呈陽性};B1={被檢査者患肝癌}，B2={被檢查者正常}.顯然，B1，B2構成一個完備事件組，這是導致A這一結果發生的所有可能的原因。已知原因求結果，所以可以用全概率公式求解。

由題意可知，P（A|B1）=0.95，P（A|B2）=0.04，P（B1）=0.0006，P（B2）=0.9994，所以，P（A）=0.95×0.0006+0.04×0.9994=0.040546。

4 結束語

全概率公式一直是課堂教學的一個重點與難點。本文首先通過一個有趣的“摸獎問題”入手，在分析、推理、歸納的基礎上，啟發學生逐步歸納出樣本空間的劃分的定義與全概率公式（定理）;其次，通過引例進一步啟發學生揭示全概率公式還隱含了“多種原因→結果”這一內涵;再次，通過對全概率公式的進一步剖析，挖掘出公式蘊涵的數學思想，那就是：將復雜的事件化整為零再通過全概率公式積零為整，求出復雜事件的概率，培養學生分析問題的能力和創新素質;最后，有針對性地選取例題，特別是與醫學檢驗相關的應用題，擴大學生的視野，培養其解決實際問題的能力和運用所學知識的能力。

參考文獻

[1]上海交通大學數學系.概率論與數量統計[M]北京：科學出版社，2019.

[2]楊波.關于全概率公式及其實際應用[J].雞西大學學報，2015（15）：52-54.

[3]朱翼雋.概率論與數量統計[M].鎮江;江蘇大學出版社，2015.