探究函數的對稱性及其應用

引例：我們知道，函數y=f（x）的圖象關于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數y=f（x）為奇函數，有同學發現可以將其推廣為：函數y=f（x）的圖象關于點P（a，b）成中心對稱圖形的充要條件是函數y=f（x+a）-b為奇函數.

（1）求函數f（x）=x3-3x2圖象的對稱中心;

（2）類比上述推廣結論，寫出“函數y=f（x）的圖象關于y軸成軸對稱圖形的充要條件是函數y=f（x）為偶函數”的一個推廣結論.

分析：先令h（x）=f（x+a）-b的形式，再利用h（x）是奇函數滿足-h（x）=h（-x），再來求出a，b的值，進而得到對稱中心.

解答：f（x）=x3-3x2，

設h（x）=f（x+a）-b是奇函數，

則f（-x+a）-b=-[f（x+a）-b]，

∴f（-x+a）-b=-f（x+a）+b，

∴f（-x+a）+f（x+a）-2b=0，

∴（-x+a）3-3（-x+a）2+（x+a）3-3（x+a）2-2b=0，

∴6x2a+2a3-6x2-6a2-2b=0，

∴（6a-6）x2+2a3-6a2-2b=0，

∴6a-6=0，2a3-6a2-2b=0，

∴a=1，b=-2，即h（x）=f（x+1）-（-2）是奇函數.

∴f（x）圖象的對稱中心是（1，-2）.

（2）類比上述推廣結論，得到：函數y=f（x）的圖象關于直線x=a成軸對稱圖形的充要條件是函數y=f（x+a）為偶函數.

例1 經過函數性質的學習，我們知道：“函數y=f（x）的圖象關于y軸成軸對稱圖形”的充要條件是“y=f（x）為偶函數”.

（1）若f（x）為偶函數，且當x≤0時，f（x）=2x-1，求f（x）的解析式，并求不等式f（x）>f（2x-1）的解集;

（2）某數學學習小組針對上述結論進行探究，得到一個真命題：“函數y=f（x）的圖象關于直線x=a成軸對稱圖形”的充要條件是“y=f（x+a）為偶函數”若函數g（x）的圖象關于直線x=1對稱，且當x≥1時，g（x）=x2-1x.

（i）求g（x）的解析式.

（ii）求不等式g（x）>g（3x-1）的解集.

分析：（1）由函數對稱性得到f（x）在（0，+∞）上的解析式，進而求出不等式的解集;

（2）（i）根據g（x+1）是偶函數得出g（x）在（-∞，1）上的解析式，（ii）根據單調性和對稱性列不等式得到解集.

解：（1）設x>0，則-x<0，則f（-x）=2（-x）-1=-2x-1，

又f（x）為偶函數，所以f（x）=f（-x）=-2x-1，

所以f（x）=2x-1，x≤0，-2x-1，x>0.

因為f（x）為偶函數，且f（x）在[0，+∞）上是減函數，

所以f（x）>f（2x-1）等價于|x|<|2x-1|，即x2<（2x-1）2，解得x<13或x>1.

所以不等式的解集是{x|x<13或x>1}.

（2）（i）因為g（x）的圖象關于直線x=1對稱，所以y=g（x+1）為偶函數，所以g（1+x）=g（1-x），

即g（x）=g（2-x）對任意x∈R恒成立.

又當x<1時，2-x>1，

所以g（x）=g（2-x）=（2-x）2-12-x=x2-4x+4+1x-2.

所以g（x）=x2-1x，x≥1，x2-4x+4+1x-2，x<1.

（ii）當x≥1時，g（x）=x2-1x，

又∵g′（x）=2x+1x2>0，∴g（x）在[1，+∞）上單調遞增.

又因為函數g（x）的圖象關于直線x=1對稱，……