平面向量數(shù)量積復(fù)習(xí)導(dǎo)引

一、明確高考要求

1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義;

2.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系;

3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算;

4.能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系;

5.會用向量的方法解決某些簡單的平面幾何問題;

6.會用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實際問題.

二、夯實基礎(chǔ)知識

1.平面向量數(shù)量積的有關(guān)概念

（1）向量的夾角：已知兩個非零向量a和b，記OA=a，OB=b，則∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a與b的夾角.

（2）數(shù)量積的定義：已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，則a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積）a·b=|a||b|cosθ.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即0·a=0.

（3）數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積.

2.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示

設(shè)向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），θ為向量a，b的夾角.

（1）數(shù)量積：a·b=|a||b|cosθ=x1x2+y1y2.

（2）模：|a|=a·a=x21+y21.

（3）夾角：cosθ=a·b|a||b|=x1x2+y1y2x21+y21·x22+y22.

（4）兩非零向量a⊥b的充要條件：a·b=0x1x2+y1y2=0.

（5）|a·b|≤|a||b|（當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時等號成立）|x1x2+y1y2|≤x21+y21x22+y22.

3.平面向量數(shù)量積運算的常用公式

（1）（a+b）·（a-b）=a2-b2.

（2）（a+b）2=a2+2a·b+b2.

（3）（a-b）2=a2-2a·b+b2.

三、把握重要考點

考點一 平面向量數(shù)量積的運算

例1 （1）若向量m=（2k-1，k）與向量n=（4，1）共線，則m·n=（ ）

A.0 B.4 C.-92 D.-172

（2）四邊形ABCD是邊長為1的正方形，延長CD至E，使得CD=DE，若點F為線段BC上的動點，則AF·EF的最小值為（ ）

A.12 B.34 C.74 D.2

答案：（1）D （2）C

解析：（1）由題意得2k-1-4k=0，解得k=-12，

即m=（-2，-12），

所以m·n=-2×4+（-12）×1=-172.

（2）如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則E（-1，1），F(xiàn)（1，y），（0≤y≤1）

所以EF=（2，y-1），

AF=（1，y），

則EF·AF=2+y（y-1）=y2-y+2=（y-12）2+74，

所以當(dāng)y=12時，EF·AF取最小值74，故選：C.

方法歸納：1.利用數(shù)量積公式a·b=|a||b|cosθ，需要借助向量加、減法的運算及其幾何意義進行適當(dāng)變形;也可建立平面直角坐標(biāo)系，借助數(shù)量積的坐標(biāo)運算公式a·b=x1x2+y1y2求解，較為簡捷、明了.

2.在分析兩向量的夾角時……