高等數(shù)學(xué)中概率思想計量可視化分析

張榮芳

【摘要】概率論是高等數(shù)學(xué)的一個分支，概率論思想可以廣泛地應(yīng)用于數(shù)學(xué)解題過程中.概率論思想能夠有效地指導(dǎo)學(xué)生解題，幫助學(xué)生更快速地破題、更準(zhǔn)確地解題.同時，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師應(yīng)該將概率論的思想逐步運用到高等數(shù)學(xué)中，幫助學(xué)生掌握解題技巧，提升解題能力.我們通過對高等數(shù)學(xué)中概率研究的計量可視化分析發(fā)現(xiàn)，高等數(shù)學(xué)中概率思想的研究起步較早，但早期的研究更多的是將兩者并列分析，相關(guān)聯(lián)系研究較少.近幾年各研究者開始注重概率思想在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，相關(guān)論文數(shù)量不斷增加，這也體現(xiàn)出人們對于兩者相關(guān)性的重視.

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué);概率思想;計量可視化分析

概率論是對隨機現(xiàn)象在數(shù)量上的統(tǒng)計規(guī)律展開研究的一門學(xué)科，很多概率論的思想、方法很適用于高等數(shù)學(xué)問題，并且概率思想可以為學(xué)生解題提供更便捷的思路和更廣闊的思路.比如概率思想在高等數(shù)學(xué)證明中的應(yīng)用，高等數(shù)學(xué)證明問題，如果單純利用高數(shù)的證明方法有時候很難得到正確的解答且多數(shù)步驟繁雜、過程冗長，但若應(yīng)用概率思想便會使得復(fù)雜的問題變得相對簡單.高等數(shù)學(xué)教師也應(yīng)該在教學(xué)中注重概率思想的灌輸和概率論方法的應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生簡化解題方法，提升數(shù)學(xué)思維能力，提高學(xué)習(xí)效率.

一、主題檢索可視化分析

（一）發(fā)表年度趨勢分析

在知網(wǎng)中運用高級檢索，在第一檢索欄中輸入主題詞：高等數(shù)學(xué)，第二檢索欄中輸入主題詞：概率，兩欄檢索關(guān)系設(shè)為并且，發(fā)表時間、文獻來源、支持基金均不限.經(jīng)檢索共得到知網(wǎng)文獻庫文獻108篇，隨后點擊知網(wǎng)自帶計量可視化按鈕進行分析.由分析可知，最早進行高等數(shù)學(xué)與概率相關(guān)研究的文獻出現(xiàn)在1959年，朱恒璧（1959）發(fā)表題為《高等數(shù)學(xué)在醫(yī)學(xué)應(yīng)用上的我見（續(xù)）》的文章.隨后一直未出現(xiàn)該領(lǐng)域相關(guān)論文，直到1991年出現(xiàn)第二篇，之后在1992—2002年間零散出現(xiàn)過幾篇文章.賀振富（1991）發(fā)表題為《化工類專業(yè)化工計算教學(xué)淺談》的文章，文章中指出化學(xué)計算這門課必須要求學(xué)生學(xué)好高等數(shù)學(xué)、概率統(tǒng)計等相關(guān)數(shù)學(xué)知識;曹大英（1994）發(fā)表題為《概率方法在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用》的文章，文章中通過許多實例探討概率方法在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.自2003年開始，相關(guān)領(lǐng)域文章數(shù)量逐漸增多，2003年發(fā)表論文6篇，2014年達到發(fā)表論文數(shù)量的頂峰，一年中共計發(fā)表論文13篇.

總體分析論文數(shù)量可以得出，對高等數(shù)學(xué)中概率研究主題的相關(guān)分析大致可以分為3個時期，第一階段為1956—1999年，該階段為萌芽期，在該階段主題中同時含有兩個關(guān)鍵詞的文章數(shù)量較少，一般為各自領(lǐng)域的研究，相關(guān)性方面研究未得到關(guān)注;第二階段為2000—2013年，該階段為增長期，在該階段主題中同時含有高等數(shù)學(xué)和概率的文章數(shù)量不斷增加，但每年的發(fā)文數(shù)量出現(xiàn)波動，說明在該階段，兩者間相關(guān)性研究開始得到關(guān)注，但關(guān)注程度仍然不高，研究還處于平緩階段;第三階段為2014—2017年，該階段為爆發(fā)期，在該階段高等數(shù)學(xué)中概率研究相關(guān)論文數(shù)量快速增長，且在2014年出現(xiàn)幾十年的巔峰狀態(tài);第四階段為2018年至今，該階段為平緩期，論文數(shù)量又開始減少，但值得注意的是，由于該階段時間比較短，所以會存在一定誤差.

（二）領(lǐng)域分布占比分析

運用上述分析中的同樣方法進行主題分布占比分析，我們發(fā)現(xiàn)以高等數(shù)學(xué)、概率為主題詞進行檢索后得到的文獻分布領(lǐng)域范圍很廣，共包含30個不同的方面，其中占比最多的是高等數(shù)學(xué)，共發(fā)表論文48篇，占所有檢索文章的23.08%;其次為概率統(tǒng)計，發(fā)表論文24篇，占所有檢索文章的11.54%;另外兩個占比達5%以上的領(lǐng)域分別為概率論、隨機變量，分別發(fā)表文章17篇、14篇，占比分別為8.17%，6.73%;其余領(lǐng)域的占比均小于5%，其中教學(xué)內(nèi)容、概率密度、古典概率、統(tǒng)計分析、離散型隨機變量、無窮級數(shù)占比最小，均小于1%.

（三）高等數(shù)學(xué)與概率思想主題分析

將其中一個主題檢索詞更換為概率思想進行檢索，共得到論文9篇.其中最早出現(xiàn)概率思想的文章是楊緒仁（2003）發(fā)表的《中學(xué)物理教學(xué)中的高等數(shù)學(xué)思維》[1]，文章提出中學(xué)物理中很多地方都存在某些高等數(shù)學(xué)的思想，如：微積分思想、無窮思想、概率思想等，這些常見的數(shù)學(xué)思想不是從抽象的、思辨的、廣泛的數(shù)學(xué)模型出發(fā)，而是在具有清晰的物理概念、圖象等的基礎(chǔ)上，確定合適的研究對象，以便為學(xué)生提供一種創(chuàng)新的解決物理問題的方法.2010年，卓澤強、魏文玲等人發(fā)表《概率思想在高等數(shù)學(xué)計算中的應(yīng)用研究》[3]《概率思想在高等數(shù)學(xué)證明中的應(yīng)用研究》[2]，之后不同研究者就概率思想在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用問題展開相關(guān)研究，概率思想的應(yīng)用逐漸得到重視.

二、全文檢索可視化分析

（一）發(fā)表年度趨勢分析

在知網(wǎng)中運用高級檢索，設(shè)置檢索條件為全文，在第一檢索欄中輸入主題詞：高等數(shù)學(xué)，第二檢索欄中輸入主題詞：概率，兩欄檢索關(guān)系設(shè)為并且，發(fā)表時間、文獻來源、支持基金均不限.經(jīng)檢索，共得到知網(wǎng)文獻庫文獻18680篇，隨后，點擊知網(wǎng)自帶計量可視化按鈕進行分析.由分析可知，全文中最早含有高等數(shù)學(xué)與概率兩個詞的文獻出現(xiàn)在1980年，且發(fā)表論文數(shù)量呈現(xiàn)逐年增長的趨勢，我們總體分析論文數(shù)量可以得出，高等數(shù)學(xué)中概率研究相關(guān)分析大致可以分為3個時期，第一階段為1980—1998年，該階段為萌芽期，在該階段每年的發(fā)文數(shù)量均比較少，呈現(xiàn)出平緩的趨勢;第二階段為1999—2013年，該階段為增長期，在該階段發(fā)表文章數(shù)量不斷增加，呈現(xiàn)出增長的趨勢;第三階段為2014—2019年，該階段為平緩期，發(fā)表論文數(shù)量又呈現(xiàn)出平緩的趨勢，但相較于前面幾年，每年發(fā)表論文的數(shù)量仍然可以保持在較高的水平.1980—2019年，年發(fā)表論文數(shù)量最多的為2013年，共發(fā)表論文1289篇.

（二）領(lǐng)域分布占比分析

運用上述分析中的同樣方法進行主題分布占比分析，我們發(fā)現(xiàn)，檢索條件設(shè)置為全文后，以高等數(shù)學(xué)、概率進行檢索，各領(lǐng)域發(fā)表論文數(shù)量占比相差不大，均小于10%，其中以高等數(shù)學(xué)占比最大，發(fā)表論文數(shù)量為852篇，占比約6.99%，其次占比較大的領(lǐng)域依次為數(shù)學(xué)教學(xué)，發(fā)表論文數(shù)量為813篇，占比6.67%，分科教學(xué)法，發(fā)表論文數(shù)量為749篇，占比6.15%，數(shù)學(xué)建模，發(fā)表論文數(shù)量為733篇，占比6.02%，概率論與數(shù)理統(tǒng)計，發(fā)表論文561篇，占比為4.61%;占比最小的為數(shù)據(jù)挖掘領(lǐng)域，發(fā)表論文228篇，占比僅為1.87%.

（三）高等數(shù)學(xué)與概率思想全文分析

將其中一個主題檢索詞更換為概率思想進行檢索，共得到論文207篇.其中最早出現(xiàn)概率思想的文章出現(xiàn)于1985年，1985—2002年，發(fā)表論文數(shù)量一直呈現(xiàn)平緩的趨勢，每年發(fā)文數(shù)量基本是1篇，2002年后，發(fā)文數(shù)量出現(xiàn)增長趨勢，但波動明顯.其中，發(fā)文數(shù)量最多的是2011年，共發(fā)表論文20篇，關(guān)注程度最高，該結(jié)果與第一部分中主題可視化分析不同，可能是因為將檢索條件進行計量可視化分析后，只要文章中出現(xiàn)概率思想一次便會被標(biāo)記導(dǎo)出，所以可能存在不足，比如某些文章的研究主題并非二者關(guān)系.

三、概率思想在高等數(shù)學(xué)中應(yīng)用策略分析

（一）運用概率思想巧證復(fù)雜過程

《概率論》中一個基礎(chǔ)的概念為概率分布，在解答高等數(shù)學(xué)中的證明問題時便可以利用概率分布的特殊性質(zhì)求解證明.如在進行函數(shù)的4個重要性質(zhì)證明時，如果先對第四個性質(zhì)中的積分變量做變換，然后再證明第三個性質(zhì)的結(jié)論，得到相應(yīng)結(jié)果，過程會十分冗長，但如果利用概率密度函數(shù)的歸一性，可以很容易證得結(jié)論.此外，概率思想也可以在求解一些廣義定積分時發(fā)揮關(guān)鍵作用，可以減少證明難度，簡化證明過程，提高準(zhǔn)確性.即我們可以利用需要證明的廣義定積分式子本身的特性，將其進行適當(dāng)?shù)淖冃危贡环e函數(shù)成為某個隨機變量的概率密度函數(shù)[4].最后，概率論中的數(shù)學(xué)期望、數(shù)學(xué)方差均是隨機變量的數(shù)字特征，利用隨機變量的數(shù)字特征可以解決高等數(shù)學(xué)中有關(guān)等式、不等式的證明問題，還可以證明以前只能利用排列組合相關(guān)知識解決的古典概型恒等式的問題[5].

（二）運用概率思想巧解高數(shù)計算

除了可以證明一些復(fù)雜的高數(shù)問題外，利用某些概率分布的特殊性質(zhì)來求解一些高等數(shù)學(xué)中的化簡問題，即把某些大于0小于1的數(shù)字構(gòu)造成某一特定事件發(fā)生的概率，根據(jù)概率分布的特殊性質(zhì)計算此類復(fù)雜問題.如利用泊松分布的一些性質(zhì)、中心極限定理、級數(shù)的收斂性來計算復(fù)雜的極限問題;還可以利用概率思想求解某些廣義定積分，通過該種方法可以達到減少計算難度，提高計算的正確率的目的，即通過變形使被積函數(shù)成為某個隨機變量的概率密度函數(shù)，利用概率密度函數(shù)歸一性求解;用隨機變量的數(shù)學(xué)期望與方差之間的關(guān)系，不僅可以解決高等數(shù)學(xué)中的求級數(shù)問題， 而且還可以求廣義定積分的值;高等數(shù)學(xué)中還會出現(xiàn)一些比較難的有關(guān)二重積分的計算題，遇到此類問題可以通過建立概率模型，將正態(tài)分布的性質(zhì)和卡方分布的相關(guān)數(shù)學(xué)性質(zhì)相結(jié)合，這樣便可以把題目中繁雜的二重積分問題轉(zhuǎn)化為簡單的某點在某特殊區(qū)域的概率問題，再結(jié)合概率的一些知識進行計算即可.

四、小結(jié)

在解決高等數(shù)學(xué)相關(guān)證明、計算等問題時，運用傳統(tǒng)的機械運算、證明方法必然是相對繁雜的且不能保證計算過程、計算結(jié)果的正確性，而概率思想在高等數(shù)學(xué)中的運用可以在很大的程度上彌補這一不足.通過對相關(guān)文獻的計量可視化分析，我們發(fā)現(xiàn)近幾年概率思想在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用研究不斷增加，這也體現(xiàn)出我們對于概率思想應(yīng)用的重視，今后我們應(yīng)該不斷完善這一思想在高等數(shù)學(xué)中的運用，學(xué)生應(yīng)通過題型練習(xí)和思維培養(yǎng)不斷掌握該種方法，以達到提升學(xué)習(xí)能力的目的.

【參考文獻】

[1]楊緒仁. 中學(xué)物理教學(xué)中的高等數(shù)學(xué)思維[J]. 合肥教育學(xué)院學(xué)報， 2003（4）： 110-112.

[2]卓澤強， 魏文玲， 李小龍. 概率思想在高等數(shù)學(xué)證明中的應(yīng)用研究[J]. 科技資訊， 2010（30）： 177.

[3]卓澤強， 魏文玲， 李小龍. 概率思想在高等數(shù)學(xué)計算中的應(yīng)用研究[J].科技資訊，2010（20）： 196-197.

[4]王雙. 淺談概率思想在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J]. 讀與寫 （教育教學(xué)刊）， 2017（11）： 4+21.

[5]卓澤強. 概率思想在數(shù)學(xué)證明和計算中的應(yīng)用[J]. 數(shù)學(xué)的實踐與認識， 2007（13）： 189-192.