一種新型兩自由度永磁電機(jī)動力學(xué)模型*

賈鵬志，張永順

（大連理工大學(xué)精密與特種加工教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧大連 116024）

0 引言

在航空航天以及醫(yī)學(xué)工程等領(lǐng)域中，對可實(shí)現(xiàn)多自由度運(yùn)動的高集成機(jī)器人手腕關(guān)節(jié)裝置的需求與日俱增。傳統(tǒng)上，多自由度手腕關(guān)節(jié)通常是由多個單自由度關(guān)節(jié)串聯(lián)而成，通過協(xié)調(diào)各關(guān)節(jié)多臺電機(jī)的轉(zhuǎn)動來合成多自由度手腕關(guān)節(jié)的側(cè)擺、俯仰和自轉(zhuǎn)三自由度運(yùn)動。該類型手腕存在機(jī)械結(jié)構(gòu)復(fù)雜、不緊湊、運(yùn)動不解耦、傳動精度低、柔順與變剛度控制困難等缺點(diǎn)[1]。針對上述問題，研究者渴望能夠開發(fā)直接實(shí)現(xiàn)多自由度驅(qū)動的緊湊電機(jī)裝置，以提高多自由度機(jī)器人手腕裝置的綜合性能，尤其是消除電機(jī)與減速器構(gòu)成驅(qū)動單元的反向自鎖特性，希望能夠便利地實(shí)現(xiàn)柔順與變剛度控制。隨著稀土永磁材料的不斷發(fā)展，結(jié)合球形電機(jī)結(jié)構(gòu)在多維運(yùn)動方面的優(yōu)越性，多自由度永磁式球形電動機(jī)已經(jīng)成為國內(nèi)外研究熱點(diǎn)[2]。

英國學(xué)者威廉姆斯和萊斯維[3]設(shè)計(jì)了一種兩自由度球形電機(jī)；美國喬治亞大學(xué)的Kok-meng Lee等[4-5]基于變磁阻的思想設(shè)計(jì)了一種感應(yīng)電機(jī)，并進(jìn)行了一系列的后續(xù)研究；新加坡南洋理工大學(xué)的學(xué)者[6-7]研究了一種直流球形永磁電機(jī)。

中國多自由度永磁電機(jī)的研究工作始于20世紀(jì)80年代后期，雖然相對較晚，但也取得了一些具有一定影響的研究成果。如合肥工業(yè)大學(xué)的王群京等[8]提出了一種步進(jìn)式永磁球形電機(jī)；天津大學(xué)[9-10]將海爾貝克陣列性質(zhì)的永磁體引入到球形電機(jī)設(shè)計(jì)，所研制的直流永磁球形電機(jī)包含海爾貝克陣列永磁體以及三層定子線圈；北京航空航天大學(xué)[11]聯(lián)合研制了一種新型球形電機(jī)，包含8個永磁體磁極以及24個定子線圈。

迄今為止，多自由度永磁球形電機(jī)大多采用多磁極轉(zhuǎn)子和多層線圈陣列定子類型基本結(jié)構(gòu)。大量的永磁體磁極以及定子線圈所帶來的問題便是電機(jī)內(nèi)部的三維磁場環(huán)境越發(fā)復(fù)雜，精確控制難度大。多自由度永磁電機(jī)的理論和技術(shù)尚處在探索中，離實(shí)際應(yīng)用還有一定的距離。

大連理工大學(xué)膠囊機(jī)器人課題組[12]研制了雙半球欠驅(qū)動膠囊機(jī)器人，通過嵌入主動半球內(nèi)的徑向磁化永磁體與空間旋轉(zhuǎn)磁場對的旋轉(zhuǎn)軸線的隨動效應(yīng)（即雙半球欠驅(qū)動膠囊機(jī)器人的軸線會追隨空間旋轉(zhuǎn)磁場的旋轉(zhuǎn)軸線轉(zhuǎn)動并最終與其基本重合的物理現(xiàn)象）來控制機(jī)器人軸線繞定點(diǎn)擺動并可于任意方向懸停。受此啟發(fā)，本文將膠囊機(jī)器人軸線隨動原理應(yīng)用于永磁球形電機(jī)驅(qū)動原理，實(shí)現(xiàn)了一種新型兩自由度永磁電機(jī)的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與理論仿真，結(jié)果表明原理切實(shí)可行。

1 電機(jī)基本結(jié)構(gòu)

兩自由度永磁電機(jī)的設(shè)計(jì)主要是通過一個電機(jī)裝置完成側(cè)擺、俯仰兩個運(yùn)動的輸出。原理上應(yīng)用了永磁體在旋轉(zhuǎn)磁場中的隨動效應(yīng)[13]；結(jié)構(gòu)上利用2 個十字萬向節(jié)結(jié)構(gòu)替代了球面結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)兩自由度運(yùn)動的同時，避免了復(fù)雜球面的存在。

新型永磁電機(jī)的整體結(jié)構(gòu)如圖1 所示，大體可分為兩個部分。第一部分為定子部分，即三軸正交的亥姆霍茲線圈組；第二部分為轉(zhuǎn)子隨動部分，包括內(nèi)部十字萬向節(jié)（內(nèi)安裝有轉(zhuǎn)子永磁體）、外部萬向節(jié)（安裝有制動機(jī)構(gòu)、阻尼機(jī)構(gòu)、測量機(jī)構(gòu)等）以及機(jī)架。

圖1 兩自由度電機(jī)整體結(jié)構(gòu)示意圖

1.1 亥姆霍茲線圈組

定子部分由3 組相互正交的亥姆霍茲線圈組成，亥姆霍茲線圈組中各線圈相對位置如圖1所示，3對線圈軸線相互垂直且交于一點(diǎn)。作用是為轉(zhuǎn)子永磁體提供萬向旋轉(zhuǎn)磁場，空間萬向旋轉(zhuǎn)磁場旋轉(zhuǎn)軸線的方位與旋轉(zhuǎn)方向是通過通入3組線圈電流反相位疊加原理實(shí)現(xiàn)的[14]。

1.2 轉(zhuǎn)子隨動部分

轉(zhuǎn)子隨動部分如圖2所示，主要包括內(nèi)部十字萬向節(jié)、外部萬向節(jié)及機(jī)架。內(nèi)部十字萬向節(jié)與外部萬向節(jié)安裝于機(jī)架上，顯著特征是內(nèi)部十字萬向節(jié)和外部萬向節(jié)的轉(zhuǎn)動中心相同，并通過連接桿連接外部萬向節(jié)和內(nèi)部萬向節(jié)的輸出軸構(gòu)成電機(jī)轉(zhuǎn)動軸線，實(shí)現(xiàn)電機(jī)轉(zhuǎn)動軸線即連桿軸線繞旋轉(zhuǎn)中線的定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動，實(shí)現(xiàn)了電機(jī)隨動部分的定點(diǎn)隨動。外部萬向節(jié)的運(yùn)動可實(shí)現(xiàn)檢測與控制，內(nèi)部萬向節(jié)處于自由狀態(tài)，進(jìn)而可以實(shí)現(xiàn)電機(jī)轉(zhuǎn)動軸線方位的控制。下面介紹外部萬向節(jié)運(yùn)動的檢測與控制。

1.2.1 外部萬向節(jié)

如圖3 所示，外部萬向節(jié)主要包括內(nèi)環(huán)和外環(huán)兩部分，上方有一通用輸出端接口。同時，還包括阻尼器、制動器、編碼器，這些器件主要為了實(shí)現(xiàn)外部萬向節(jié)的運(yùn)動控制，并安裝于外部萬向節(jié)。內(nèi)環(huán)為整體的環(huán)形結(jié)構(gòu)，外環(huán)為半環(huán)形結(jié)構(gòu)。

外部萬向節(jié)內(nèi)外環(huán)之間通過軸連接，軸與外環(huán)通過鍵連接，與內(nèi)環(huán)通過法蘭軸承連接，軸會隨外環(huán)轉(zhuǎn)動。內(nèi)環(huán)與機(jī)架之間同樣由軸連接，軸與機(jī)架之間通過法蘭軸承連接，與內(nèi)環(huán)通過鍵連接，軸隨萬向節(jié)內(nèi)環(huán)轉(zhuǎn)動。此種連接方式也為阻尼器、編碼器及制動器的安裝提供了方便。

外部萬向節(jié)一方面可在電機(jī)工作時承受負(fù)載，另一方面也為制動機(jī)構(gòu)、阻尼機(jī)構(gòu)及測量機(jī)構(gòu)的安裝提供了額外的空間，避免了由于線圈組而導(dǎo)致的安裝空間不足的問題。

圖2 轉(zhuǎn)子隨動部分

（1）制動機(jī)構(gòu)

制動機(jī)構(gòu)為電磁制動器，如圖3 所示安裝于外部萬向節(jié)兩旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)處，實(shí)現(xiàn)對兩個自由度的鎖定。當(dāng)電機(jī)靜止時，電磁制動器實(shí)現(xiàn)對外部萬向節(jié)的鎖定，以固定轉(zhuǎn)子部分方位；當(dāng)電機(jī)旋轉(zhuǎn)時，電磁制動器解除對萬向節(jié)的鎖定，以實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)子部分與萬向旋轉(zhuǎn)磁場的隨動，即實(shí)現(xiàn)側(cè)擺與俯仰轉(zhuǎn)動的驅(qū)動。

圖3 外部萬向節(jié)

（2）阻尼機(jī)構(gòu)

阻尼機(jī)構(gòu)由2個阻尼器構(gòu)成，如圖3所示安裝于外部萬向節(jié)兩旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)處，在電機(jī)進(jìn)行俯仰、側(cè)擺運(yùn)動時提供阻尼，以便減緩側(cè)擺與俯仰姿態(tài)調(diào)整時的振動。

（3）測量機(jī)構(gòu)

測量機(jī)構(gòu)選取2個絕對編碼器，如圖3所示安裝于外部萬向節(jié)兩旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)處，實(shí)現(xiàn)對側(cè)擺與俯仰轉(zhuǎn)動2個角度的實(shí)時測量，并傳輸給控制系統(tǒng)，以實(shí)現(xiàn)對側(cè)擺與俯仰角度轉(zhuǎn)動的準(zhǔn)確控制。

1.2.2 內(nèi)部十字萬向節(jié)

內(nèi)部十字萬向節(jié)結(jié)構(gòu)如圖4 所示，柱形殼體通過軸承安裝于內(nèi)部萬向節(jié)環(huán)形部分上，兩者共同組成一個十字萬向節(jié)。十字萬向節(jié)通過軸承安裝于機(jī)架上。中心的柱形殼體可進(jìn)行側(cè)擺俯仰兩個自由度的運(yùn)動。永磁體通過軸承安裝于十字萬向節(jié)的柱形殼體內(nèi)部，可進(jìn)行自轉(zhuǎn)。柱形殼體分為兩部分，通過螺釘連接。柱形殼體上方安裝有連接桿，兩者通過螺釘固定，連接桿的另一端穿過外部萬向節(jié)外環(huán)，如圖2所示。

圖4 內(nèi)部十字萬向節(jié)部分

內(nèi)部萬向節(jié)的作用是在耦合磁力矩的驅(qū)動下實(shí)現(xiàn)永磁體側(cè)擺與俯仰自由轉(zhuǎn)動，并靈活地實(shí)現(xiàn)與萬向旋轉(zhuǎn)磁場的隨動，同時為永磁體提供支撐。

2 電機(jī)工作原理

電機(jī)斷電時，如圖2 所示，制動器對外部萬向節(jié)鎖定，無法進(jìn)行側(cè)擺俯仰運(yùn)動。電機(jī)通電工作時的步驟如下：

第一步，根據(jù)目標(biāo)位置確定空間萬向旋轉(zhuǎn)磁場的軸線方向，結(jié)合圖1中三軸亥姆霍茲線圈組的結(jié)構(gòu)及磁場強(qiáng)度確定線圈組所需通入的電流；

第二步，向線圈組內(nèi)施加相應(yīng)電流，產(chǎn)生相應(yīng)的空間旋轉(zhuǎn)磁場，圖4 中永磁體在旋轉(zhuǎn)磁場的作用下開始進(jìn)行自轉(zhuǎn)，但由于制動器對萬向節(jié)兩自由度的鎖定無法進(jìn)行側(cè)擺、俯仰運(yùn)動；

第三步，制動器通電取消對萬向節(jié)的鎖定，在隨動效應(yīng)下，永磁體軸線追隨旋轉(zhuǎn)磁場軸線進(jìn)行側(cè)擺、俯仰運(yùn)動，同時帶動雙萬向節(jié)同步運(yùn)動；

第四步，通過圖3 中編碼器實(shí)時反饋位置信息，根據(jù)反饋信息，進(jìn)行進(jìn)一步地控制、調(diào)整；

第五步，重復(fù)第四步，當(dāng)反饋信息顯示達(dá)到目標(biāo)位置并穩(wěn)定或在目標(biāo)位置以極小幅度振動，制動器斷電再次對萬向節(jié)鎖定，固定電機(jī)方位，線圈斷電，電機(jī)到達(dá)且固定于指定位置。

3 電機(jī)動力學(xué)模型建立及仿真

3.1 建立坐標(biāo)系

如圖5 所示，Ox0y0z0為固定坐標(biāo)系，其3 條軸線分別與亥姆霍茲線圈組的3條軸線重合，且Oy0軸與外部萬向節(jié)內(nèi)環(huán)旋轉(zhuǎn)軸線重合。賴柴坐標(biāo)系初始時與固定坐標(biāo)系Ox0y0z0重合，首先固定坐標(biāo)系先繞Oy0旋轉(zhuǎn)α角度，得到中間坐標(biāo)系Ox1y0z′，再將中間坐 標(biāo) 系 Ox1y0z′繞 Ox1軸 旋轉(zhuǎn)β角度，得到賴柴系Ox1y1z1。

永磁體軸線始終與賴柴系的Oz1軸重合，隨賴柴系擺動且以角速度ω繞Oz1軸旋轉(zhuǎn)。坐標(biāo)變換中的兩個角度α、β剛好與外部萬向節(jié)內(nèi)環(huán)同機(jī)架之間的相對轉(zhuǎn)角、外部萬向節(jié)內(nèi)外環(huán)相對轉(zhuǎn)角一致，直接對應(yīng)永磁體的側(cè)擺，俯仰角度可由編碼器直接測出。

圖5 賴柴系與固定坐標(biāo)系關(guān)系

3.2 仿真分析

利用拉格朗日方程建立電機(jī)動力學(xué)模型后，通過Matlab/Simulink數(shù)值法計(jì)算姿態(tài)角α、β的動力學(xué)特性。假定電機(jī)本身無重力矩影響且所加負(fù)載視為質(zhì)點(diǎn)，電機(jī)動力學(xué)方程如下：

式中：α，β為2 個姿態(tài)角；Jx、Jy、Jz分別為隨轉(zhuǎn)子永磁體側(cè)擺俯仰運(yùn)動部分結(jié)構(gòu)（包括永磁體，不包括外部萬向節(jié)內(nèi)環(huán)）繞賴柴系Ox1軸、Oy1軸、Oz1軸的轉(zhuǎn)動慣量；J1為永磁體繞賴柴系Oz1軸轉(zhuǎn)動慣量；Jy0為外部萬向節(jié)內(nèi)環(huán)與內(nèi)部十字萬向節(jié)環(huán)形部分繞Oy0軸轉(zhuǎn)動慣量；My0、Mx1為Oy0軸與Ox1軸上的外力矩。

系統(tǒng)仿真參數(shù)如表1所示。

表1 系統(tǒng)仿真參數(shù)

當(dāng)假定負(fù)載質(zhì)量m=0.1 kg，且固定于電機(jī)輸出端時，分別觀察磁矢量大小及角速度大小變化對電機(jī)運(yùn)動過程中姿態(tài)角的影響。

保持B=15 mT不變，減小旋轉(zhuǎn)角速度時，如圖6所示，雖然角速度減小了，但姿態(tài)角（α，β）最終位置相差無幾。不同點(diǎn)在于穩(wěn)定所需時間隨角速度的減小而增加，且角速度越小，擺動的幅度也越大。由于重力矩的存在，最終穩(wěn)定位置與預(yù)設(shè)的磁場軸線方位有小幅偏移。

保持磁場旋轉(zhuǎn)角速度ω=20π rad/s 不變，改變磁矢量大小時，如圖7所示，隨著磁矢量的增大，最終穩(wěn)定位置與磁場軸線越來越接近，B=50 mT 時幾乎沒有偏移。隨著磁矢量的增大，姿態(tài)角抖動得也越快。

圖6 磁場角速度對姿態(tài)角影響

圖7 磁矢量大小對姿態(tài)角影響

圖8 阻尼對姿態(tài)角影響

除了磁矢量大小及旋轉(zhuǎn)角速度外，阻尼對于點(diǎn)擊的運(yùn)動也有一定影響。保持磁場旋轉(zhuǎn)角速度ω=20π rad/s，磁矢量大小B=15 mT不變，改變阻尼矩系數(shù)時，如圖8所示，阻尼矩系數(shù)越大，運(yùn)動過程越穩(wěn)定，且穩(wěn)定所需時間越小。從圖8中可以看出，穩(wěn)定位置與磁場軸線仍有小幅偏差，但隨著阻尼矩系數(shù)的變化，最終的穩(wěn)定位置不發(fā)生任何變化。

4 結(jié)束語

本文根據(jù)隨動效應(yīng)提出了一種新型兩自由度永磁電機(jī)樣機(jī)，介紹了電機(jī)工作原理。與多磁極永磁球形電機(jī)結(jié)構(gòu)對比，其結(jié)構(gòu)簡單，避免了復(fù)雜球面結(jié)構(gòu)，內(nèi)部磁場環(huán)境無干擾。在電機(jī)結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上，建立了動力學(xué)模型，仿真得出以下結(jié)論。

（1）隨動效應(yīng)可用于多自由度電機(jī)控制，電機(jī)運(yùn)動穩(wěn)定，軸線位置精度存在一定誤差，但可通過實(shí)時反饋信息進(jìn)行閉環(huán)控制來提高。

（2）磁矢量強(qiáng)度影響電機(jī)穩(wěn)定位置與磁場軸線方位之間的偏差，磁矢量越大，偏差越小。

（3）角速度及阻尼主要影響電機(jī)運(yùn)動的穩(wěn)定程度，在合適的范圍內(nèi)，角速度與阻尼系數(shù)越大，電機(jī)的運(yùn)動越穩(wěn)定，達(dá)到穩(wěn)定所需時間越小。

上述結(jié)論為電機(jī)的優(yōu)化及控制奠定了基礎(chǔ)。