一般矩陣特征值的Wielandt-Hoffman型擾動上界

孔祥強

(菏澤學院 數學與統計學院，山東 菏澤 274015)

0 引 言

矩陣特征值擾動是矩陣擾動分析的重要分支.文獻[1]研究了Hermite矩陣及可對稱化矩陣特征值的擾動，改進了原有結果.文獻[2]對可對角化矩陣加法和乘法的組合擾動進行了研究，推廣了以往結果.文獻[3]給出了正規矩陣對擾動的Wielandt-Hoffman型擾動界，推廣了正規矩陣對的擾動結果.文獻[4]討論了用正單位線性映射得到兩正規矩陣特征值之間的最大距離的下界問題，同時分析了與Hermite矩陣相關的擾動下界.文獻[5]研究了廣義鞍點矩陣和Hermite塊三對角矩陣的結構化擾動，所給界限揭示了特征值關于不同塊的擾動的敏感性.本文研究了一般矩陣特征值的擾動上界問題，利用矩陣的分解，得到一般矩陣特征值擾動的Wielandt-Hoffman型擾動上界，推廣了一般矩陣特征值的擾動界.同時，分析了可對角化矩陣特征值的擾動，得到其擾動上界，且所得結論改進了以往結果.

1 預備知識

設A∈Cn×n，則存在酉陣U，使得UHAU=T，記T=M+Λ，M為嚴格上三角陣，Λ=diag(λ1,λ2,…,λn)，λ1,λ2,…,λn為A的n個特征值，稱為A的Schur三角分解[9].

引理1[10]設A=(ajk)n×n，B=(bjk)n×n均是正規陣，Q∈Cn×n是Hermite正定陣，其特征值γ1≥γ3≥…≥γn，c是任意正數，則

2 主要結果

定理1設A,B∈Cn×n，λ(A)={λi}，λ(B)={μi}，則存在1,2,…,n的某排列π使得

ΔF(A)+ΔF(B)).

證明由Schur三角分解，存在酉陣C，D，使得

A=CH(T1+M1)C,B=DH(T2+M2)D,

其中T1=diag(λ1,…,λn)，T2=diag(μ1,…,μn)，M1,M2均為上三角陣.

B-A=DHT2D+DHM2D-CHT1C-CHM1C.

由上式得

C(B-A)DH=

CDHT2+CDHM2-T1CDH-M1CDH,

D(B-A)CH=

T2DCH+M2DCH-DCHT1-DCHM1，

作CDH的奇異值分解CDH=VΣUH，Σ=diag(σ1,…,σn)，σ1≥…≥σn>0，U，V均為酉陣，則

ΣUHT2U-VHT1VΣ=VHC(B-A)DHU-

ΣUHM2U+VHM1VΣ,

(1)

UHT2UΣ-1-Σ-1VHT1V=UHD(B-A)CHV-

UHM2UΣ-1+Σ-1VHM1V.

(2)

令G=UHT2U，S=VHT1V，則G酉相似于T2，S酉相似于T1，故G,S均為正規陣，λ(G)=λ(B)，λ(S)=λ(A).

將G,S代入式(1)和式(2)得

ΣG-SΣ=VHC(B-A)DHU-ΣUHM2U+

VHM1VΣ,

GΣ-1-Σ-1S=UHD(B-A)CHV-UHM2UΣ-1+

Σ-1VHM1V,

則

‖ΣG-SΣ‖F≤‖C‖2‖B-A‖F‖D-1‖2+

‖Σ‖2‖M2‖F+‖M1‖F‖Σ‖2≤

‖C‖2‖B-A‖F‖D-1‖2+

‖C‖2‖D-1‖2‖M2‖F+

‖M1‖F‖C‖2‖D-1‖2=

‖C‖2‖D-1‖2(‖B-A‖F+

‖M2‖F+‖M1‖F),

(3)

‖GΣ-1-Σ-1S‖F≤

‖D‖2‖B-A‖F‖C-1‖2+

‖M2‖F‖D‖2‖C-1‖2+

‖D‖2‖C-1‖2‖M1‖F=

‖D‖2‖C-1‖2(‖B-A‖F+

‖M2‖F+‖M1‖F).

(4)

依引理 1，有

(5)

將式(3)，(4)代入式(5)得

‖M2‖F+‖M1‖F)2,

又c為任意正數，不妨令

則

A‖F+‖M2‖F+‖M1‖F).

(6)

依引理 2，有‖M1‖F=ΔF(A)，‖M2‖F=ΔF(B)；又C,D是酉陣，故K(C)=1，K(D)=1.

式(6)為

ΔF(A)+ΔF(B)).

3)A為正規陣，B為任意陣，則

4)A為任意陣，B為正規陣，則

定理2設A……