借助構(gòu)造法 解答數(shù)列題

林中獎

（福建省莆田第二中學(xué)，福建莆田 351131）

引言

高中數(shù)學(xué)主要涉及等差和等比兩種數(shù)列，雖然基礎(chǔ)知識不難掌握，但習(xí)題類型復(fù)雜多變，主要有求解數(shù)列通項公式、前n項和、求解某一項具體的值、證明等問題。對于部分?jǐn)?shù)列習(xí)題，學(xué)生如果采用常規(guī)做法難度較大，而使用構(gòu)造法往往能夠柳暗花明，迅速找到解題突破口[1]。在高中數(shù)學(xué)數(shù)列教學(xué)中，教師應(yīng)注重為學(xué)生講解構(gòu)造法，提高學(xué)生在解題中對構(gòu)造法的應(yīng)用意識，同時要做好常見數(shù)列問題的匯總，為學(xué)生講解使用構(gòu)造法求解的相關(guān)題型，使其掌握數(shù)列習(xí)題解題規(guī)律，積累構(gòu)造法應(yīng)用經(jīng)驗與技巧，在解題中進(jìn)行靈活應(yīng)用。

一、借助構(gòu)造法求數(shù)列通項公式

求數(shù)列通項公式是高中數(shù)列習(xí)題中常見的題型。求解該類題型的常規(guī)思路主要有利用數(shù)列定義、求解公式、利用通項公式與前n項和之間的關(guān)系等。但是，部分習(xí)題較為特殊，學(xué)生采用常規(guī)思路，很難對其進(jìn)行解答，可考慮運(yùn)用構(gòu)造法將其轉(zhuǎn)化為能夠使用常規(guī)思路解決的形式。為使學(xué)生牢固掌握并靈活應(yīng)用構(gòu)造法求解數(shù)列的通項公式，教師應(yīng)注重為學(xué)生講解相關(guān)的解題技巧，使其掌握一般的構(gòu)造法思路，在解題中少走彎路。例如，對于an+1=pan+q（p，q為常數(shù)，pq≠0且p≠1）形式的遞推式，學(xué)生可通過在兩邊同時加上合適的常數(shù)λ構(gòu)造新的數(shù)列。同時，教師要注重篩選與講解相關(guān)例題，使學(xué)生親身感受構(gòu)造法在求解數(shù)列通項公式中的具體應(yīng)用，把握構(gòu)造數(shù)列時應(yīng)注意的問題，遇到類似題型能夠盡快求解出正確結(jié)果。

例1，在數(shù)列{an}中，已知，求數(shù)列的通項公式an。

該題已知條件較少，難度并不大。分析可知，其符合“an+1=pan+q”這一形式，可通過構(gòu)造數(shù)列的思路進(jìn)行求解。解題的關(guān)鍵在于正確找到添加上的常數(shù)λ的值。

結(jié)合已知條件可知，數(shù)列{bn}是以a1-2 為首項，以為公比的等比數(shù)列。

∵a1-2=-1，則因此，。

高中數(shù)列習(xí)題中能夠使用構(gòu)造法求解通項公式的習(xí)題類型較多。在授課時，教師應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生做好相關(guān)題型及構(gòu)造思路的總結(jié)。

二、借助構(gòu)造法求數(shù)列前n項和

求解數(shù)列前n項和是高中數(shù)列的常考問題，通常為某一綜合題中的一小問，需要學(xué)生結(jié)合數(shù)列的類型與特點(diǎn)，采用對應(yīng)求和方法解答。高中階段，求解數(shù)列前n項和的常規(guī)方法有公式法、倒敘相加法、錯位相減法、列項相消法、分段求和法等，具有一定技巧性。另外，學(xué)生還可根據(jù)實際情況先使用構(gòu)造法構(gòu)造出相關(guān)數(shù)列，再使用上述方法求解。為使學(xué)生求解數(shù)列前n項和時能夠靈活應(yīng)用構(gòu)造法，教師要與學(xué)生一起推導(dǎo)常規(guī)求和方法，使其搞清楚不同求和方法及其適宜題型，使其能夠根據(jù)題干選擇正確的求和方法，實現(xiàn)快速解題。在授課中，教師應(yīng)注重圍繞相關(guān)例題，為學(xué)生做好應(yīng)用構(gòu)造法求數(shù)列前n項和的示范，使學(xué)生把握解題的關(guān)鍵，真正掌握用構(gòu)造法求數(shù)列前n項和這種方法。

例2，已知數(shù)列{an}中a1=1，nan+1=(n+1)an+n(n+1)，且，設(shè)Sn為數(shù)列{bn}的前n項和，求S120的值。

該題目為數(shù)列與三角函數(shù)的綜合性習(xí)題。求解S120的值需要先求出bn的通項公式，而bn和an存在這一關(guān)系。因此，求出數(shù)列{an}的通項公式成為解答該題目的關(guān)鍵。同時，根據(jù)給出的已知條件還應(yīng)能看出的周期，以降低求和難度。

由nan+1=(n+1)an+n(n+1)，可推出即。構(gòu)造數(shù)列使其通項公式，顯然數(shù)列是以a1為首項，公差為1 的等差數(shù)列，則=n，則an=n2，所以，而的周期為3，則。

通過教師對該題目的講解，學(xué)生認(rèn)識到運(yùn)用構(gòu)造法求解數(shù)列前n項和時，構(gòu)造合適的數(shù)列通項公式是基礎(chǔ)，從而在日常學(xué)習(xí)中注重積累不同數(shù)列題型的構(gòu)造技巧。

三、借助構(gòu)造法求數(shù)列某項的值

在高中數(shù)列題型中，一些題目要求學(xué)生求解數(shù)列某項的值。該類題目的難度并不大，通常運(yùn)用數(shù)列的通項公式或通項公式與前n項和之間的關(guān)系進(jìn)行求解。但一些題目在求解通項公式及數(shù)列前n項和時需要應(yīng)用構(gòu)造法，找到隱含的遞推關(guān)系。為使學(xué)生掌握相關(guān)的解題技巧，教師應(yīng)讓學(xué)生意識到在應(yīng)用構(gòu)造法解題時，不僅可對通項公式an進(jìn)行構(gòu)造，還可對數(shù)列前n項和Sn進(jìn)行構(gòu)造。

例3，已知數(shù)列{an}為正項數(shù)列，a1=1，前n項和Sn存在以下關(guān)系：則a10=（ ）。

A.72 B.80 C.90 D.82

認(rèn)真觀察題干中的條件可知，其未涉及an，因此，需要通過尋找Sn和Sn-1之間的關(guān)系，求出a10的值，即a10=S10-S9。解題時，需要從給出的Sn關(guān)系式入手，構(gòu)造新的數(shù)列。

∵數(shù)列{an}為正項數(shù)列 ∴

教師對該題目的講解，可以很好地開闊學(xué)生的視野，使其意識到在求解數(shù)列某一項具體值時，可通過構(gòu)造新的數(shù)列找到Sn滿足的數(shù)列關(guān)系，再運(yùn)用an和Sn的關(guān)系，以及所學(xué)的等差或等比數(shù)列知識進(jìn)行求解。

四、借助構(gòu)造法證明數(shù)列不等式

以數(shù)列為背景證明不等式的試題技巧性強(qiáng)，難度較大，常作為壓軸題。在解題中，構(gòu)造方程、構(gòu)造函數(shù)、構(gòu)造新數(shù)列等是常用的構(gòu)造思路。在教學(xué)中，為使學(xué)生厘清和掌握構(gòu)造法證明數(shù)列不等式的思路與技巧，教師既要注重通過具體例題為學(xué)生逐一講解常用的構(gòu)造思路，又要注重挑選優(yōu)秀的習(xí)題對學(xué)生進(jìn)行訓(xùn)練，提高學(xué)生的解題能力，使其積累運(yùn)用構(gòu)造法證明數(shù)列不等式的經(jīng)驗。同時，教師還要鼓勵學(xué)生做好訓(xùn)練總結(jié)，做好錯題的摘抄，認(rèn)真分析做錯的原因，明確相關(guān)題型的證明關(guān)鍵點(diǎn)，在證明類似問題時少走彎路。

例4，設(shè)a0=1，

該題目給出的已知條件較少，很多學(xué)生不知道從何下手。認(rèn)真觀察要求證的結(jié)論，不等式右邊含有“π”，而且an的表達(dá)式中含有，因此可構(gòu)造含有正切的新數(shù)列進(jìn)行證明。

由已知條件構(gòu)造數(shù)列{bn}，使得an=tanbn，其中

∵a0=1，則

要想順利證明出該題，學(xué)生要能夠根據(jù)題干已知條件迅速聯(lián)想到相關(guān)的三角函數(shù)，構(gòu)造出一個新的數(shù)列，同時還要意識到在中存在tanx＞x這一重要關(guān)系。教師講解該證明題，可以給學(xué)生帶來良好的啟迪，即當(dāng)已知條件中含有以及式子時，應(yīng)注重聯(lián)想對應(yīng)的三角函數(shù)并利用其構(gòu)造新的數(shù)列。

結(jié)語

綜上所述，構(gòu)造法能很好地解答一些數(shù)列習(xí)題。為使學(xué)生掌握這一重要的方法，教師應(yīng)結(jié)合具體的題型，講解構(gòu)造法的具體應(yīng)用，使學(xué)生認(rèn)識到構(gòu)造法應(yīng)用的關(guān)鍵，即通常通過構(gòu)造新的數(shù)列求解通項公式、數(shù)列前n 項和、某一項的具體值，以及證明與數(shù)列相關(guān)的不等式。構(gòu)造法的使用難度較大，對學(xué)生的數(shù)學(xué)能力要求較高。為獲得良好的教學(xué)效果，提高學(xué)生的證明能力，教師既要注重傳授相關(guān)的證明技巧，又要引導(dǎo)學(xué)生在做題的過程中認(rèn)真總結(jié)與反思相關(guān)的構(gòu)造技巧，從而不斷提高學(xué)生對構(gòu)造法的應(yīng)用水平。