活用基本圖形，解題水到渠成

侯燕香

【摘要】相似三角形是初中幾何中的重要的知識。在考試復習階段，往往由于教師對相似三角形中的基本圖形或以練代講，或以圖論題，或低估學生的解題能力，導致相似三角形這一知識點常常成為學生學習難點。相似三角形中基本圖形的復習課應在系統(tǒng)羅列基本圖形的基礎上，把重點放在提高學生從復雜圖形中識別基本圖形和探索基本圖形之間聯(lián)系的能力上。教學實踐證明，快速識別與對應相似三角形中基本圖形往往能有效突破難點。

【關鍵詞】相似三角形;基本圖形;復習課

《數(shù)學課程標準》在初中階段對能力培養(yǎng)與方法習得方面要求：“能夠從復雜的圖形中區(qū)分出基本圖形，并能分析其中的基本元素及其關系;能由基本圖形的性質導出較復雜圖形的性質”。當我們遇到一個較復雜的幾何題時，首先要認真觀察、分析它的的圖形，并對圖形進行分解，找出它由哪些基本圖形組合而成（有時需要添加輔助線，構造基本圖形），然后運用基本圖形的性質去推理或計算，從而使問題得以解決。

一、試題回放

二、學生反饋

第（1）小問能完整解答，并能提供多種解法;但第（2）（3）小問卻無從下手，找不到思路和突破口。

三、歸因分析

本題考查相似三角的判定和性質、圓的切線的性質和切線長定理、三角形的中位線定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題。學生在解答中無從下手，表明還沒有切實掌握“相似三角形”這個知識點，尤其對其中的基本圖形很陌生，如雙垂直型下的“射影定理”。

復雜的題目往往可以分解為若干個簡單的題目。教師在解題教學中，首先要不斷引導學生去總結一些基本圖形，吃透這些基本圖形的本質，然后讓學生在以后的解題過程中遇到復雜的圖形學會識別這些基本圖形，最后在熟練掌握這些基本圖形的基礎上學會構造出這些基本圖形，以打開求解思路或獲得有效解法。

四、師生磨題

4.小結

解法中涉及的知識點：切線長定理，三角形全等，垂直平分線的判定定理，平行線分線段成比例定理等。思路方法總結：該問證明的方向明確，方法也頗多，可從不同角、不同知識點出發(fā)，但都是通過找相等的角去證明相等的邊，這是通性通法，師生必須通曉。

（二） 第（2）小題，若DE·OB=40，求AD·BC的值。

1.結論特征分析：由DE·OB，AD·BC兩個式子的結構特征，聯(lián)想到處理此類問題的一般方法就是利用三角形相似，得到對應邊成比例，然后變?yōu)榉e的形式即可。因此，嘗試用分析法尋找問題的思路。

2.分析法探求思路

要求AD·BC的值，可證AD，BC邊所在的三角形相似，結合圖形容易發(fā)現(xiàn)“三垂直”型即基本圖形4，易證從而有，所以AD·BC=OC·OD=OC2，而由OC2易聯(lián)想到OC2=OB2-BC2勾股定理，或射影定理OC2=OK·OB，通過與已知OE·OB=40的比較，我們選擇射影定理，結合“雙垂直”型即基本圖形5，即再一次證明進而得到即OC2=OB·OK而由基本圖形6得所以AD·BC=即AD·BC=20.

主要涉及知識：射影定理（三角形相似），中位線定理。

涉及的基本圖形：

3.綜合法+分析法探求思路

由已知DE·BO=40結合基本圖形7，容易發(fā)現(xiàn)聯(lián)立兩式得即DE·DP=80結合圖形，認真觀察，易發(fā)現(xiàn)基本圖形8，雙垂直模型。

得到，從而有OE·OP=CD2所以CD2=80，則由切線長定理得AD·BC=AE·BE再次發(fā)現(xiàn)雙垂直模型即基本圖形9，證，得到，從而得到AE·BE=OE2=OC2=20.

歸納總結：該問由相似三角形的面積比容易求出對應邊的比，然后再根據(jù)三角形面積公式去求對應的底和高，解題方向還算明確，但由于計算比較巧妙，還是有難度的。

五、教學啟示

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》指出：應當注重和發(fā)展學生的模型思想。從某種意義上來說，數(shù)學就是一門研究模型的學科，數(shù)學離不開模型。廣義來說，每一個數(shù)學概念和數(shù)學方法都是一個數(shù)學模型。模型化是所有的數(shù)學知識應用之心臟。在具體的數(shù)學教學中，對學生進行模型意識與模型思想的滲透與培植也是數(shù)學教學的一個重要方面。

由以上3個小問的解答可知，本題主要考查學生對以下相似三角形基本幾何圖形的掌握情況，尤其是雙垂直型下的相關結論。本題涉及到了絕大部分相似三角形的基本圖形，比較豐富，具體包括如下圖：

要想順利解答此題，這就對學生處理基本幾何圖形的能力提出了較高的要求。日常教學中，教師要不斷給學生滲透轉化思想，面對較為復雜的幾何問題時，我們要認真分析圖形，從中找出基本圖形，分析圖形之間內在的數(shù)量關系和位置關系。其實復雜的幾何圖形往是由基本幾何圖形構建與整合而成，突破難點的關鍵常常就是對復雜圖形的分解與組合，即會靈活地進行圖形運算。因此，教學中有意識地引導學生對復雜圖形進行合理分解與組合，并從中分離出基本圖形（有時需要添加輔助線），從中獲得一些積極的解題心理暗示，找到解題的突破口和思路，使解題思路有水到渠成之感。教學中要重視引導學生總結和識別基本圖形，歸納解題模型，進而培養(yǎng)學生的識圖能力、構圖能力和分析推理能力。

參考文獻：

[1]教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]李清強.滲透數(shù)學文化 ?活用基本圖形[J].中學數(shù)學教學參考（中旬），2019（11）：45-47.