基于四元數的三維坐標轉換在大型LNG鋼結構工程建造測量中的應用

葛仁磊，李家軍，楊現陽，張 健

(海洋石油工程股份有限公司，青島 266520)

0 引 言

在高精度大型工程測量中，建造坐標系往往基于自身的局部參考坐標系，與設計安裝坐標系不統一，會影響工程建造質量和進度[1-2]，需要進行三維坐標轉換實現建造坐標系和安裝坐標系的統一。傳統的三維坐標轉換模型一般用歐拉角構建旋轉矩陣，計算過程復雜[3-5]，四元數幾何意義明確，計算速度快，可表示所有旋轉，無奇異值[6]，非常適合空間大角度三維坐標轉換計算。本文基于單位四元數構造旋轉矩陣，引入最小二乘原則，實現了高精度大型LNG鋼結構甲板片建造坐標系與安裝坐標系的統一。與傳統計算方法相比，該方法可快速實現三維坐標高精度轉換，提高工程建造速度和精度。

1 四元數基本介紹

三維空間的旋轉用四元數可表示為[7]

q=w+xi+yj+zk

(1)

其中：

(2)

四元數旋轉公式為

(3)

2 基于四元數的最小二乘坐標轉換

點Fi和Di的坐標關系可由旋轉矩陣R和位移矢量T表示：

(4)

利用四元數法可以方便地求解出旋轉矩陣R，根據式(3)，令

w2+x2+y2+z2=1

(5)

將式(5)代入式(3)并整理，得

(6)

w、x、y、z除了滿足限制條件式(5)外，將式(6)代入式(4)，得到誤差方程：

即

(7)

式(6)中共有w、x、y、z、Tx、Tx、Tx7個參數，且有一個限制條件：w2+x2+y2+z2=1，w≥0。本文使用基于最小二乘的條件平差進行解算，由于誤差方程(7)并不是線性函數模型，需要對函數模型進行線性化后迭代解算，初始值的先驗估計可使用任意三點進行。

3 實例應用及分析

本文以海洋石油工程股份有限公司在建某大型高精度LNG鋼結構甲板片建造為例，該甲板片結構模型及設計坐標如圖1所示，尺寸為32 m×40 m，結構軸線為4 m×5 m，共20個關鍵節點，各節點坐標公差要求為±5 mm。施工現場測量數據利用徠卡TS30全站儀，采用自由定向測量獲取，測量點分布如圖2所示，各點坐標值和對應信息如表1所示。

表1 L1-1測量點及理論點坐標 (單位：mm)

圖2 測量點分布

圖1 甲板片結構模型及設計坐標(單位:mm)

各理論點坐標為圖紙設計坐標，測量點坐標由于采取自由定向測量，導致理論點坐標與測量點坐標之間產生空間旋轉，但各測量點與理論點空間上保持一一對應。

3.1 數據計算

3.1.1 傳統方法計算

傳統計算方法：先計算甲板片水平，再進行水平面投影，以甲板片四條邊的中心點為原點建立基于自身的局部參考坐標系，計算各節點偏移。該方法使用條件：需將甲板片水平調至公差范圍內，否則會導致尺寸、偏移數據因投影計算而失真。

計算結果如圖3所示，甲板片水平值為-63～+62 mm。除C2和D1節點外，皆不符合公差要求，各節點偏移數據中有4個節點Y方向偏移值超出公差要求。按照此計算方法，該甲板片需要調整為水平狀態，重新采集數據進行計算，但甲板片尺寸巨大，噸位重，施工調整水平存在較大困難，須耗費大量時間和人力物力，易引起結構變形等質量問題和施工進度。

圖3 傳統方法甲板片計算結果(單位：mm)

3.1.2 基于四元數的最小二乘坐標轉換計算

首先，基于最小二乘原則進行七參數的迭代計算，可以按照如下步驟進行：

(1) 將誤差方程(7)線性化(具體方法見參考文獻[9])。

(2) 進行初始值估計(任意選擇三個點，在本例中使用1、2、3號點進行初始值估計)。

(3) 將初始值代入步驟(1)中線性化后的誤差方程，并求得七參數據的變化值Δ。

(4) 將初始值與Δ相加，求得最新初始值。

(5) 重復步驟(3)和(4)，直至Δ的值很小，達到旋轉精度。

計算結果如表2所示，由表2可知，經過六次迭代計算后，各參數的精度可達到亞毫米級，已經超過全站儀的測量精度，滿足計算要求。

表2 七參數計算結果

將得到的七參數進行甲板片各節點數據擬合計算，結果如圖4所示，可知各節點水平值為-3～+4 mm，滿足公差要求，各節點偏移值皆在5 mm以內，滿足公差要求。

3.2 數據對比分析

將圖3和圖4的數據進行對比計算，如表3所示。

圖4 計算結果(單位：mm)

表3 傳統方法與四元數法精度對比

由表3可知，采用基于四元數最佳擬合后的數據皆符合公差要求，并且X方向、Y方向和水平值的平均值和均方根值皆大幅降低。原因是采用四元數方法計算時，能夠擬合最佳平面，避免了水平調整的巨大工作量，并且該方法以安裝坐標系為基準，將擬合誤差均勻分配至各點，克服了局部坐標系與甲板片安裝坐標系不一致問題，提高擬合計算精度。

為了充分驗證基于四元數最佳擬合算法的正確性，總裝階段針對實驗模塊進行了充分的調整，最終結果如圖5所示，與四元數最佳擬合得到的結果(見圖4)高度一致，充分說明了該算法的正確性與可用性。

4 結 語

四元數法是一種非常簡潔有效的描述物體轉動的工具，幾何意義明確、計算簡單、擬合精度高，是高精度大型工程測量數據計算中最常用的擬合方法之一。本文基于四元數的最佳擬合法，實現了甲板片各節點施工坐標系和安裝坐標系之間的統一。與傳統計算方法相比，將誤差均勻分配至各擬合點，基于四元數的最佳擬合法可大大提高工程施工建造的進度和精度，提高工程測量數據處理的自動化程度，對提高數據的可靠性與規范性、最佳擬合法的編程實現及工程應用都具有很好的指導意義。