Matlab應用于量子力學課程教學研究

鐘志有，龍 浩，陳首部

(中南民族大學 電子信息工程學院，湖北 武漢 430074)

1 引言

量子力學是反映微觀粒子運動規(guī)律的理論，已被廣泛應用于宇宙學、材料學、生物學和化學等有關學科和許多近代技術中[1～7]。作為一門建立在公理體系上的科學，其理論抽象難懂、計算繁瑣復雜、數(shù)學要求高，因此學習起來難度大、效果差[8,9]。Matlab是目前最為常用的科學計算軟件之一，不僅使用簡單、運算高效、便于擴展，而且其數(shù)值計算能力和可視化功能非常強大[10～19]，因此被廣泛應用于數(shù)據(jù)分析、數(shù)值計算、圖像處理、模擬仿真等科學研究和教學實踐中[20～25]。本文以超越方程和線性諧振子作為例子，闡述了Matlab在量子力學教學中的應用。

2 方程求解

在量子力學中，求解定態(tài)薛定諤方程時可能得到超越方程，一般采用圖解法，不僅枯燥繁瑣、工作量大，而且解的精度也難滿足要求，這時如果利用Matlab軟件處理就能迎刃而解、事半功倍。例如：由黑體輻射公式導出維恩位移定律―能量密度極大值所對應的波長λm與溫度T成反比，即λmT=b(常數(shù))，并近似計算b的數(shù)值。

根據(jù)黑體輻射公式[1,5]：

ρ(v)dv=8πhv3c-3(ehv/kT-1)-1dv

(1)

利用ρ(v)dv=-ρ(λ)dλ，v=c/λ，易得ρ(λ)的表達式為：

ρ(λ)=8πhcλ-5(ehc/λkT-1)-1

(2)

令x=hc/λkT，由dρ(x)/dx=0可得：

xex-5ex+5=0

(3)

方程(3)為超越方程，利用Matlab軟件求解只需在Command Window中輸入如下指令即可(圖1)?？梢姰攛=hc/λkT=4.9651時ρ(λ)取得極大值，故得常數(shù)b=2.903×10-3m·K。Matlab求解超越方程，工作量明顯減小。

圖1 Command Window中輸入的指令和運行結果

3 線性諧振子

取一維線性諧振子的平衡位置為坐標原點O，并選O點的勢能為零[1]，此時勢能表達式為V(x)=mω2x2/2，對應的能量本征方程為:

(4)

通過無量綱變換[5]，利用波函數(shù)標準條件，可得線性諧振子的能量為:

En=(n+1/2)?ω,n=0,1,2,……

(5)

相應的波函數(shù)和幾率密度如下：

ψn(ζ)=Nnexp(-ζ2/2)Hn(ζ)

(6)

(7)

式(6)中，Nn為歸一化常數(shù)，Hn(ζ)為厄密多項式?？梢?，線性諧振子的能量是分立的、均勻分布的，并且存在零點能E0=?ω/2。而對于經(jīng)典的線性諧振子，ζ=asin(ωt+δ)，其幾率密度為：

w(ζ)=(a2-ζ2)-1/2/(2π)

(8)

為了直觀分析量子數(shù)n對波函數(shù)和幾率密度的影響，基于上述公式利用Matlab軟件編程繪制了相關圖像(圖2)，其中虛線為經(jīng)典情況的幾率密度。由圖2可知，線性諧振子的波函數(shù)具有確定的宇稱，n為奇數(shù)時為奇宇稱，n為偶數(shù)時則為偶宇稱。波函數(shù)的節(jié)點個數(shù)隨量子數(shù)n增加而增加。另外，量子數(shù)n較小時幾率密度與經(jīng)典情況沒有相似性，n增大時相似性隨之增加。當n=15時，量子和經(jīng)典的兩種情況在平均上基本符合，差別在于|ψ(ζ)|2迅速振蕩而已。Matalb模擬結果與理論分析完全一致[1,5]。

圖2 量子數(shù)對波函數(shù)和概率密度的影響

4 結語

本文針對學生學習量子力學所遇到的實際問題，以超越方程和線性諧振子作為實例，利用Matlab軟件進行求解分析和可視化處理，從而大大簡化了繁瑣的計算過程，將抽象難懂的理論知識變得形象直觀，因此有利于強化物理實質講解、優(yōu)化課程體系、激發(fā)學生學習興趣，對于提高量子力學教與學的效率都具有非常重要的作用。