“動(dòng)量守恒定律”要點(diǎn)透析

◎ 夏振華

動(dòng)量守恒定律是自然界的基本規(guī)律之一，它在物理教學(xué)中是一個(gè)難點(diǎn)。基于動(dòng)量守恒定律的重要性，許多教材對(duì)其理解要點(diǎn)進(jìn)行了歸納，但均不夠全面。本文試圖在經(jīng)典力學(xué)范圍內(nèi)比較全面地討論動(dòng)量守恒定律的理解要點(diǎn)。

一、質(zhì)點(diǎn)組

動(dòng)量守恒定律的描述對(duì)象是質(zhì)點(diǎn)組。為確定質(zhì)點(diǎn)組我們可以“隨意選擇系統(tǒng)邊界，但是一旦選好了邊界，哪些質(zhì)點(diǎn)包括在系統(tǒng)之內(nèi)，哪些質(zhì)點(diǎn)是在系統(tǒng)之外，也就確定了”。

以上劃分質(zhì)點(diǎn)組的過(guò)程中，有一點(diǎn)不應(yīng)忽視，那就是質(zhì)點(diǎn)組是我們“隨意”劃定的。“隨意”就沒(méi)有客觀標(biāo)準(zhǔn)，從沒(méi)有客觀標(biāo)準(zhǔn)劃定的質(zhì)點(diǎn)組出發(fā)得到的動(dòng)量守恒就不可避免地與人聯(lián)系在一起。

二、動(dòng)量守恒的條件分析

1.質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)量守恒條件

對(duì)于由n多個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)。根據(jù)質(zhì)心的定義可有：

2.質(zhì)點(diǎn)組應(yīng)用動(dòng)量守恒條件之一

動(dòng)量守恒的矢量表達(dá)式P=P0=恒定矢量。它有三個(gè)分量，各個(gè)分量可以分別守恒，即若Fx=0，則Px=常量；Fy=0，則Py=常量；Fz=0，則PZ=常量。即要求每個(gè)分量所在方向上所受的合力為零，這個(gè)方向上的動(dòng)量就是守恒的。這一點(diǎn)有重要意義，因?yàn)樵谠S多實(shí)際問(wèn)題中，作用于體系的外力并不為零，體系的動(dòng)量不守恒。但如果外力在某一方向的分量為零，或外力在該方向分量的代數(shù)和為零，則體系的動(dòng)量在這一方向的分量是守恒的。

3.質(zhì)點(diǎn)組應(yīng)用動(dòng)量守恒的條件之二

動(dòng)量守恒定律的應(yīng)用條件在理論基礎(chǔ)上放寬為“質(zhì)點(diǎn)組內(nèi)部的相互作用遠(yuǎn)大于外部對(duì)質(zhì)點(diǎn)組的作用”這一點(diǎn)具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。因?yàn)樵谠S多問(wèn)題中，我們無(wú)法確定質(zhì)點(diǎn)組受到的合外力是否一定為零，但是可以很容易判定質(zhì)點(diǎn)組內(nèi)部的相互作用是否遠(yuǎn)大于外部對(duì)質(zhì)點(diǎn)組的作用。

三、用動(dòng)量守恒定律解題需要注意時(shí)間性

1.質(zhì)點(diǎn)組的時(shí)間性

動(dòng)量守恒是動(dòng)量在轉(zhuǎn)化過(guò)程中的守恒。當(dāng)動(dòng)量無(wú)轉(zhuǎn)化時(shí)，談?wù)撌褂脛?dòng)量守恒將沒(méi)有意義。同樣，我們劃定質(zhì)點(diǎn)組是為了討論質(zhì)點(diǎn)組中質(zhì)點(diǎn)間的動(dòng)量轉(zhuǎn)化，如果某個(gè)質(zhì)點(diǎn)組的質(zhì)點(diǎn)間沒(méi)有動(dòng)量轉(zhuǎn)化，那么這樣的質(zhì)點(diǎn)組也就沒(méi)有存在的意義，所以質(zhì)點(diǎn)組的存在是有時(shí)間性的。

比如，在光滑的水平面上有兩個(gè)鐵球m和M，M正以速度v向靜止的m運(yùn)動(dòng)，并在之后的某時(shí)刻與m相碰。處理這個(gè)問(wèn)題我們應(yīng)用動(dòng)量守恒，視m、M為質(zhì)點(diǎn)，則它們組成質(zhì)點(diǎn)組，需要注意的是，這個(gè)質(zhì)點(diǎn)組只有在二者相碰時(shí)才成立。沒(méi)有相碰時(shí)兩個(gè)小球不構(gòu)成質(zhì)點(diǎn)組，因?yàn)樗鼈冎g沒(méi)有動(dòng)量交換，這樣再去分析它們的動(dòng)量是否守恒也就沒(méi)有意義。

2.動(dòng)量的瞬時(shí)性

動(dòng)量守恒定律的瞬時(shí)性表現(xiàn)在動(dòng)量守恒的表達(dá)式(以兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)一維碰撞為例)：m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2′(4.2-1)。等式左邊的動(dòng)量都相對(duì)于動(dòng)量交換的開(kāi)始時(shí)刻，等式右邊的動(dòng)量都相對(duì)于動(dòng)量交換結(jié)束后的時(shí)刻，這就需要特別注意式中各速度的時(shí)刻選取問(wèn)題。下面就火箭推進(jìn)問(wèn)題進(jìn)行闡述。

火箭飛行的基本原理就是利用動(dòng)量守恒定律。考慮火箭在足夠遠(yuǎn)的外層空間飛行，空氣的阻力和重力的影響都可以忽略不計(jì)。設(shè)在某一瞬時(shí)t，火箭和燃料系統(tǒng)的質(zhì)量為m，速度為v，在其后t到t+dt時(shí)刻內(nèi)，火箭噴出質(zhì)量為dm的氣體(這里dm是質(zhì)量m在dt時(shí)間內(nèi)的增量，由于質(zhì)量m是隨t增加而減小，所以dm本身具有負(fù)值)，噴出氣體相對(duì)于火箭的速度為u，噴氣后火箭速度增加了dv，由于整個(gè)系統(tǒng)沒(méi)有受到外力的作用，動(dòng)量是守恒的，因此根據(jù)動(dòng)量守恒定律可列出方程，取火箭前進(jìn)方向?yàn)閯?dòng)量的正方向得：mv=(m+dm)(v+dv)+(-dm)(v+dv-u)(4.2-2)。方程的左邊是噴氣前系統(tǒng)的動(dòng)量，右邊是噴氣后系統(tǒng)的動(dòng)量，式中v+dv是末時(shí)刻火箭對(duì)地的速度，v+dv-u是氣體末時(shí)刻對(duì)地的速度。在有的教科書中方程卻為：mv=(m+dm)(v+dv)+(-dm)(v-u)(4.2-3)。

這個(gè)方程是不妥當(dāng)?shù)模驗(yàn)榈仁接疫卾+dv是t+dt時(shí)刻火箭所具有的速度，而燃?xì)獾乃俣葀-u所對(duì)應(yīng)的時(shí)刻不是t+dt，t+dt時(shí)刻噴出氣體dm相對(duì)地面的速度應(yīng)為v+dv-u。在方程(4.2-2)和(4.2-3)中，方程(4.2-2)二階無(wú)窮小項(xiàng)dmdv因式中出現(xiàn)一正一負(fù)而抵消，方程(4.2-3)在解方程時(shí)略去了二階無(wú)窮小項(xiàng)dmdv，致使所研究問(wèn)題的最后結(jié)論相同，都為：v2-v1=uln(4.2-4)。但方程(4.2-3)忽視了速度的瞬時(shí)性問(wèn)題，這樣的物理思想是不嚴(yán)密的。

通過(guò)以上例子的分析可以看出，在動(dòng)量守恒定律的應(yīng)用中，如果忽視速度的瞬時(shí)性問(wèn)題，就會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤。

四、動(dòng)量守恒的矢量性