基于一種分段泛函的馬爾可夫跳變系統的采樣控制

王慶,張益

(東南大學 儀器科學與工程學院，江蘇 南京 210096)

0 引 言

馬爾可夫跳躍系統(MJSs)是根據對服從馬爾可夫過程的系統進行建模得到混雜隨機系統,MJSs系統的狀態控制模型是與馬爾可夫切換規律息息相關的．在具備多模態特性的實際工程問題中有著十分重要的應用背景,如制造系統、經濟系統和導航定位系統等,近幾十年來受到了廣泛的關注[1]．如:文獻[2]針對高速列車的定位問題,研究了按照馬爾可夫概率轉移矩陣進行模型間切換的交互式多模型算法,大大提高了高速列車跟蹤定位的精度．文獻[3]將移動機器人系統測量數據和運動參數進行融合,計算在整個狀態空間上的概率分布,并引入馬爾可夫假設,研究了可移動機器人的導航定位問題．另外,在工程中各種控制問題中,穩定性分析是保障系統正常運行的前提[4-5]．文獻[5]強調了連續運行參考站(CORS)系統基準網自身的穩定性是保證其系統正常運行的關鍵點,并介紹了基準站穩定性分析的流程．在穩定性分析中,Lyapunov穩定性定理是一種十分流行的理論方法．文獻[6-7]使用Lyapunov泛函研究了MJSs穩定性問題．例如,文獻[6]研究了一類具有模態轉移依賴的連續時間半馬氏跳躍系統的隨機穩定性問題．在文獻[7]中研究針對不完全轉移概率知識的奇異馬爾可夫跳躍系統,研究了其穩定性問題,并提出了一種H∞狀態反饋的控制方法．

另一方面,隨著現代數字通信技術的迅速發展,在各個領域中,傳統的控制器逐漸被精度高、性能穩定的數字控制器所取代．并且數據采樣控制方法只需要采取系統狀態的瞬時采樣信息,大大地減少了大量的信息傳輸,并使得控制效率有著極大的提升．但是,在應用當中,數字控制器的非連續信號會影響系統的穩定性．為了讓系統正常運行,即保證系統的穩定性,數據采樣系統在眾多實際領域引起了極大的關注[8-11]．比如在航海導航定位中[9-11],文獻[10]研究了基于數據采樣船舶定位系統的H∞無窮控制問題,使用采樣系統方法將線性船舶定位系統轉變成了時變時滯系統,并分析了它的穩定性．文獻[11]基于數據采樣控制方法,針對船舶導航定位系統建模成數據采樣系統,分析其漸進穩定性問題并得到了一個少保守性的穩定性判據．數據采樣系統是由一個連續時間系統和一個涉及采樣器和控制器的不連續控制器所組成．一般情況下,采樣方式可以分為兩種,一種是周期采樣,即固定時間段采樣．另外一種是非周期采樣．然而,在實際應用中,非周期采樣更符合實際,因此,許多研究者已在文獻 [12-14]中研究了此問題．

結合非周期采樣控制去研究穩定性問題時,對于確定系統,很多學者都使用了構建Lyapunov泛函的方法．文獻[15]和文獻[16]為了放松泛函中的矩陣的限制條件,分別提出了閉環泛函和雙邊閉環泛函．這很大程度上減少了穩定性的保守性．然而,在像MJSs這樣的隨機系統研究中,成果卻很少．在文獻[17]研究了連續時間不確定MJSs的魯棒采樣數據控制問題．通過構造不連續的李雅普諾夫函數,提出了一種穩定性判據．文獻[18]研究了連續時間不確定MJSs的無源魯棒采樣數據控制問題．文獻[19]基于此,解決了文獻[17-18]中未考慮控制器的問題,并在采樣區間內通過構建一個分段函數和狀態空間,得到了相對比較好的穩定性判據．然而,文獻[19]在研究MJSs穩定性中只考慮了采樣區間(tk,t)的狀態信息,而沒有考慮[t,tk+1)的狀態信息，故仍有待進一步去研究．

本文研究了非周期采樣條件下的MJSs的穩定性分析問題．在文獻[19]的基礎上,把采樣區間改進劃分為(tk,t-ah1(t)),[t-ah1(t),t),[t,t+bh2(t))和[bh2(t),tk+1)四個部分并建立相關的狀態空間表達式．在這個區間內的分段參數a和b是十分靈活的,讓構建出來的泛函極具優勢,與此同時使用積分不等式法估計泛函導數中的積分項,得到了以線性矩陣不等式存在的穩定性判據．最后,在仿真中,將穩定性判據應用于非線性質量彈簧阻尼器系統和船舶定位系統,其仿真結果表明了該穩定性判據的優越性．

全文有標號定義:上標T代表轉置．Rn與Rn×n表示n維向量和n×n維矩陣．矩陣P>0 (P<0)代表矩陣P是對稱正定(負定)的．He{Z}代表矩陣Z+ZT．*代表塊對陣矩陣中的對稱項．M為系統模式數．Col{x1,x2, …,xn}代表一組列向量．

1 問題描述

考慮如下馬爾可夫跳變系統模型:

(1)

式中:x(t)為狀態分量;u(t)為控制輸入;Κ(n(t))為控制增益矩陣．

設{n(t),t>0}為連續的馬爾可夫鏈,在一個有限的集合M={1,2,…}內取值,并有轉移概率矩陣Λ=πcd滿足:

Pr{n(t+Δt)=c|n(t)=d}

(2)

(3)

(4)

故而,控制輸入可表述為

u(t)=K(n(t))x(t-h1(t)),t∈[tk,tk+1),

(5)

結合式(1)和(5),對于t在[tk,tk+1)內,數據采樣MJSs模型為

x(t-h1(t)).

(6)

接下來給出一個引理:

引理1[20]:存在任意正定對稱矩陣U,兩個標量β>α>0和可導函數w(s),任意向量ξ∈Rm,以及任意矩陣N∈Rn×m,則有下面不等式成立:

ξT(β-α)NTU-1Nξ.

2 主要結果

把采樣區間[tk,tk+1)改進劃分為(tk,t-ah1(t)),[t-ah1(t),t),[t,t+bh2(t))和[bh2(t),tk+1),又由于數據采樣有采樣信號之間是不變的,有如下兩個狀態空間表達式．

(7)

式中：C=B(n(t))Κ(n(t))x(t-h1(t))；a和b是屬于0到1之間的可調參數和h2(t)=tk+1-t．

這種分段方法是基于文獻[19]基礎上提出來的,把文獻[19]沒有考慮的采樣區間[t,tk+1)分段成了[t,t+bh2(t))和[bh2(t),tk+1),同時建立了相應的狀態空間表達式,這種方法必然非常有效地去減少結果的保守性．

(8)

則系統公式(6)隨機穩定．

其中:

F1=Ace1+BcKce2;F2=Ace3+BcKce2;

E13=e1-e3;E54=e5-e4;PcP(n(t)=c);

AcA(n(t)=c);BcB(n(t)=c);

KcK(n(t)=c);

ek=[0n×(k-1)n,In,0n×(6-k)n]T,

k=1, 2, …, 6．

證明:構建如下Lyapunov泛函:

(9)

其中

V1(t)=xT(t)Pcx(t);

F3+Γ1+Γ2+Γ3+Γ4+Γ5}ξ(t);

其中,

利用引理1處理上面的積分項,可得

綜上所述,則

(10)

運用Schur補定理,若式(8)成立,則系統(6)隨機穩定．

故證明完畢．

本文的主要目的是為了突出分段方法和引入兩個狀態空間表達式的新穎性和優越性,所以在構建的泛函中沒有增加增廣泛函項,利用此分段泛函方法,可適當增加一些增廣泛函項去應用于其他控制問題或控制系統中,為了突出本文的分段泛函方法的優越性,泛函中不加分段泛函項,給出如下推理．

(11)

其中：

ek=[0n×(k-1)n,In,0n×(6-k)n]T,k=1, 2, …, 6.

證明:構建如下Lyapunov泛函:

(12)

其中

接下來的過程同定理1的證明過程一樣,故省略．證明完畢．

定理和推論之間的差別在于總的泛函中無分段泛函,同時定理和推論的證明過程同文獻[19]的方法一樣不需要使用逆凸定理,這形成了本文與文獻[19]的推論有很好的對比．

值得注意的是,定理和推論均是基于數據采樣而得到的穩定性判據,它們可應用于導航定位系統的控制問題,如船舶導航定位系統的魯棒H∞控制和H∞容錯控制[9-11]．

3 數值例子

例1:給出一個非線性質量彈簧阻尼器系統[18],并有參數:

這里κ1=0,κ2=0.2,κ3=0.4和κc=κ(n(t)=c),當c=1, 2, 3時有:

K1=[-0.5805 -0.4185],

K2=[-0.5205 -0.3870],

K3=[-0.4454 -0.3500],

表1 例1中采樣區間最大值

圖1 u(t)=0時的狀態軌跡

圖2 狀態軌跡

其中:

和

根據定理中的數據采樣控制方法,應用于船舶定位系統中,所得到的采樣最大值如表2所示．由表2可知,通過對比文獻[9,11-12]的結果,本文提出的方法明顯優于相似文獻[9,11-12]的結果,相對文獻[12]提升比為174.2%,相對文獻[10]提升比為71.2%,相對文獻[10]提升比為65.9%,從而說明了本文的數據采樣控制方法的優越性．

表2 例2中采樣區間最大值

4 結 論

本文通過把采樣區間劃分為四個區間,研究了MJSs的采樣控制問題．針對這個系統,在采樣區間內建立兩個狀態空間表達式,利用其建立了一種新穎的分段泛函,同時結合積分不等式方法,獲得了穩定性判據．最后通過兩個實際例子,建立仿真,說明了本文方法的優越性．