方程(組)、不等式與直線的關(guān)系問題淺談

涂兵

摘要：一次函數(shù)是八年級(jí)下冊的內(nèi)容，是承接函數(shù)與函數(shù)圖像的重要環(huán)節(jié)。想要把一次函數(shù)與方程（組）及不等式聯(lián)系起來，就需要把它的圖像建構(gòu)，從而輕松解決與方程（組）及不等式的相關(guān)問題。

關(guān)鍵詞：一次函數(shù)；圖像；方程；不等式

中圖分類號(hào)：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1992-7711（2020）06-0123

一次函數(shù)是人教版八年級(jí)下冊第十九章19.2的內(nèi)容，是承接函數(shù)與函數(shù)圖像的重要環(huán)節(jié)，是學(xué)生第一次接觸函數(shù)與圖像結(jié)合的內(nèi)容、體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想。本節(jié)內(nèi)容跨度比較大，需要學(xué)生對函數(shù)概念有一定理解，對平面直角坐標(biāo)系的點(diǎn)的坐標(biāo)表示非常熟悉。

首先說函數(shù)。所謂函數(shù)，是指在一個(gè)變化過程中，如果有兩個(gè)變量x與y，并且對于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么y就是x的函數(shù)。這里要明確函數(shù)的特征：同一個(gè)變化過程中的兩個(gè)變量；一個(gè)變量變化，另一個(gè)變量也隨之變化；一個(gè)變量每個(gè)確定的值，另一個(gè)變量都有唯一確定的值與之對應(yīng)。其次看點(diǎn)的坐標(biāo)。平面直角坐標(biāo)系中，每一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是唯一的，都有一個(gè)橫坐標(biāo)和一個(gè)縱坐標(biāo)。只要知道一個(gè)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)，就一定可以在平面直角坐標(biāo)系中描繪出來。而函數(shù)的圖像是通過取一個(gè)自變量的值得到一個(gè)因變量的值（函數(shù)值），以自變量的值作為橫坐標(biāo)、對應(yīng)的函數(shù)值作為縱坐標(biāo)，從而構(gòu)成一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)表示出來（即描點(diǎn)），形成這個(gè)函數(shù)的圖像。對于函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)的由來，在今后學(xué)習(xí)二次函數(shù)乃至n次函數(shù)圖像都有重要意義。

一次函數(shù)是特殊函數(shù)，在繪制一次函數(shù)圖像時(shí)所有的點(diǎn)匯成了一條直線，從而得出一次函數(shù)的圖像是一條直線。需要說明的是，一次函數(shù)的圖像不是人為地畫成一條直線，而是所有點(diǎn)自然而然地形成一條直線。我們是通過描出一次函數(shù)所有的點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)它的圖像是一條直線，而不是描幾個(gè)點(diǎn)、用平滑的線連成的。也就是說，所有圖像上的點(diǎn)都是取一個(gè)自變量的值、通過解析式得到一個(gè)因變量的值，構(gòu)成點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中描出來的。反過來，圖像上點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)，是這個(gè)一次函數(shù)一對自變量和相應(yīng)因變量的值，滿足一次函數(shù)解析式。

一次函數(shù)圖像的由來必須要弄清楚，是重中之重，否則后續(xù)一次函數(shù)與一元一次方程、二元一次方程（組）、一元一次不等式的關(guān)系，根本理不清頭緒。既然一次函數(shù)的圖像是一條直線，根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線可知，只要有兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，連接并延長，就能描繪這個(gè)一次函數(shù)的圖像。可以看出，一次函數(shù)的圖像比較好畫，對我們解決與一次函數(shù)有關(guān)的問題是非常有利的。下面讓我們來見識(shí)一次函數(shù)圖像的妙用。

對于求解二元一次方程組，都可以轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)一次函數(shù)圖像（即兩條直線）交點(diǎn)坐標(biāo)問題。例如，解方程組2x-y=1與3x-y=1，可以轉(zhuǎn)化為，在平面直角坐標(biāo)系中，求直線y=2x-1與直線y=3x-1的交點(diǎn)坐標(biāo)。畫出兩條直線，發(fā)現(xiàn)交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-1），即原方程組的解為x=0，y=-1。而解方程組2x-y=1與-2x+y=3時(shí)，畫出兩條直線，發(fā)現(xiàn)兩直線平行，不可能會(huì)有交點(diǎn)，即原方程組無解。

有時(shí)在解多道方程（組）及不等式時(shí)可以一步到位。按要求解答下列問題：（1）解一元一次方程：①2x-4=0，②x+1=0，③2x-4=x+1；（2）解二元一次方程組y=2x-4與y=x+1；（3）解一元一次不等式：①2x-4>0，②x+1>0；③2x-4>x+1；（4）求一元一次不等式組2x-4>0與x+1>0的解集。

這道題看似有四題七小問，但只要把一次函數(shù)y=2x-4和一次函數(shù)y=x+1的圖像畫出，解答就成了看圖寫話。畫出一次函數(shù)y=2x-4和一次函數(shù)y=x+1的圖像。對于此題第（1）小題①②可直接根據(jù)一次函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)可得①x=2，②x=-1。我們發(fā)現(xiàn)第（1）小題③和第（2）小題其實(shí)是一樣的，答案都與這兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)（③是求橫坐標(biāo)）有關(guān)，立即得出答案：③x=5，（2）x=5，y=6。對于此題第（3）小題①②可直接根據(jù)一次函數(shù)圖像在x軸上方部分的x取值范圍得①x>2，②x>-1。對于第（2）小題③，根據(jù)直線y=2x-4在直線y=x+1上方自變量的取值范圍可得x>5。對于第（4）小題，就是找出一次函數(shù)y=2x-4和一次函數(shù)y=x+1的圖像都在x軸上方部分自變量的取值范圍，得x>2。

因此，只要是與一次函數(shù)、二元一次方程（組）、一元一次方程、一元一次不等式等有關(guān)問題，都可以利用一次函數(shù)圖像（即直線）來解決。同樣地，一次函數(shù)（圖像）的問題，也可以轉(zhuǎn)化為二元一次方程（組）、一元一次方程、一元一次不等式的問題。

懂得函數(shù)圖像如何用坐標(biāo)表示，圖像代表的意義是什么，是學(xué)習(xí)一次函數(shù)的基礎(chǔ)，通過圖像來理解一次函數(shù)的性質(zhì)，聯(lián)系一元一次方程、一元一次不等式（組）、二元一次方程（組），有效避免了復(fù)雜的運(yùn)算過程，更加直觀地感受到時(shí)了它們之間的關(guān)聯(lián)，從而使問題簡化。學(xué)會(huì)一次函數(shù)圖像的應(yīng)用，對今后的數(shù)形結(jié)合具有至關(guān)重要的作用。數(shù)無形不直觀，形無數(shù)難入微，這就是數(shù)形結(jié)合的精髓。

（作者單位：江西省南昌二中昌北校區(qū)330000）