一類分數階奇異半正脈沖微分方程邊值問題正解的存在性

仝 榮， 胡衛敏

（伊犁師范學院數學與統計分院，新疆伊寧835000）

0 引言

近年來，研究脈沖邊值問題的文章很多［1-7］，尤其是奇異與非奇異正解存在性的問題.在沒有脈沖的情況下，建立存在性問題的一個普遍技巧是Krasnoselskii’s錐不動點定理，且大多文獻只討論了整數階半正邊值問題正解的存在性［1，4-5，8-10］，而對于分數階半正邊值問題所得結果［4，8］較少.本文討論分數階奇異半正脈沖微分方程邊值問題解的存在性.

文獻［1］研究了非線性分數階微分方程邊值問題

文獻［2］研究了非線性分數階微分方程半正邊值問題

文獻［3］研究了非線性奇異半正微分方程二階脈沖Dirichlet邊值問題

多重正解的存在性，其中，μ ＞0 是常數，非線性項f可能在y ＝0 處具有奇性.

受以上文獻的啟發，研究分數階奇異半正脈沖微分方程邊值問題

正解的存在性.其中，2 ＜ α ＜ 3，f：［0，1］×［0，+∞）→［0，+∞）是連續函數為標準的Captuo分數階微分.其脈沖項為其中分別是 u（t）在 t ＝ tk處的右極限和左極限分別是 u′（t）在 t ＝ tk處的右極限和左極限分別是 u″（t）在 t ＝ tk處的右極限和左極限.非線性項f可能在y ＝0 處具有奇性.

為了方便，引入下列記號：J ＝ ［0，1］，0 ＜ t1＜t2＜ … ＜tk＜ … ＜tm＜1，令 t0＝0，tk+1＝1，有

1 預備知識

定義 1.1［1］稱 β∈C［0，1］是方程（1）的一個下解，如果β滿足

定義 1.2［1］稱 γ∈C［0，1］是方程（1）的一個上解，如果γ滿足

引 理 1. 1［1］（Arzela - Ascoli 定 理）H ?PC（J，R）是相對緊的，當且僅當任何函數 u（t）∈H 在J 上一致有界，在 Jk（k ＝1，2，…，m）上是等度連續的.

引理 1.2［1］（Leray -Schauder 不動點定理）假設K為Banach 空間E 上的一個凸集，Ω為K 的一個相對開子集，0∈Ω，映射 A：→K 為一個緊算子，則有：

（A1）A在上有一個不動點；

（A2）存在x∈?Ω，0 ＜ λ ＜1，使得 x ＝ λA（x）.

引理 1. 3［4］令 α ＞ 0，如果 u ∈C［0，1］∩L（0，1），則分數階微分方程有唯一解 u（t）＝ c0+c1t +c2t + … +cN-1tN-1，ci∈R，i ＝1，2，…，N，N ＝ ［α］+1.

引理 1.4［4］若 α ＞0，u（t）∈C［0，1］∩L′（0，使得

其中N是大于或等于α的最小整數.

定義 1.3［5］函數 f：（0，+ ∞）→R 的 α（α ＞0）階Riemann-Liouville積分定義為

其中右邊是在［0，+∞）上逐點定義的.

引理 1.5令 h∈C［0，1］，且2 ＜ α ＜3，則分數階微分方程

2 主要結果

定義算子 T：PC（J，R）→PC（J，R）.

定理2.1若u是（1）式的一個正解，則存在2個正常數 r 和 R，使得 b1+ rρ（t）≤u（t）≤b2+Rρ（t），這里

證明由于 u∈C［0，1］，存在 M′ ＞0，對?t∈［0，1］，使得｜u（t）｜≤M′.

令

定理2.2假設下列條件成立：

（H1）存在正常數 Li＞ 0（i ＝ 1，2，3，4），使得｜f（t，u）｜≤L1，｜Ik（u）｜≤ L2，｜Qk（u）｜≤ L3，｜Jk（u）｜≤L4；

（H2）f：（0，1）×（0，+∞）→R 連續不減，且存在函數 e（t）∈C［0，1］，e（t）＞0，t∈（0，1），使得f（t，u）+e（t）≥0，（t，u）∈（0，1）× （0，+ ∞）；

（H3）對?t∈（0，1），f（t，ρ（t））≠0，且存在一個正常數 μ ＞ 1，使得 kμf（t，u）≤f（t，kμ），?0 ≤k≤1.

則方程（1）至少存在一個正解u.

證明

因此，T連續.

先證 β（t）＝ k1v（t），γ（t）＝ k2v（t）分別是（1）式的下解和上解，其中

由引理 1.5 知，v（t）是分數階微分方程

的一個正解.

由定理 2.1 知，a1ρ（t）≤a1ρ（t）+b1≤v（t）≤a2ρ（t）≤a2ρ（t）+b2，t∈［0，1］.

因此

同理，可得

同理，可得

顯然 β（t）＝ k1g（t），γ（t）＝ k2g（t）滿足邊值條件u（0）＝ u′（0）＝ u′（1）＝0.

因此，β（t）＝ k1v（t），γ（t）＝ k2v（t）分別是方程（1）的下解和上解.

下證邊值問題

存在一個解，其中

由于函數 f（t，u）在 u 上連續不減，即?u ∈C（［0，1］，［0，+∞］），有

因此，算子 T：C［0，1］→C［0，1］是連續的.

由Arzela-Ascoli定理知T是緊算子.因此，由Leray-Schauder 不動點定理知，T 有一個不動點u*，即方程（2）存在一個解u*.

最后證方程（2）存在一個正解.

由函數 f（t，u）連續不減知

因此，令 z（t）＝ γ（t）-u*（t），則

即 z（t）≥0，可得

同理，令 z（t）＝u*（t）-β（t），則

即 z（t）≥0，可得

因此，u*（t）是方程（2）的一個正解.