c-空間范疇的一個(gè)Cartesian閉滿子范疇

車銘靜， 寇 輝

（四川大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院， 四川 成都610064）

1 預(yù)備知識(shí)

c-空間是由Erné［1-2］提出的一類特殊的拓?fù)淇臻g，該空間的特征是其拓?fù)渥鳛橥陚涓袷峭耆峙涓?domain理論是研究函數(shù)式程序指稱語(yǔ)義的數(shù)學(xué)工具，典型特征是序理論、拓?fù)鋵W(xué)及計(jì)算機(jī)科學(xué)相互 交 叉 融 合［3-6］， 其 主 要 對(duì) 象 是 連 續(xù)domain［7-8］.每個(gè)連續(xù) domain的Scott拓?fù)淝『檬峭耆峙涓瘢?］，因此c-空間是連續(xù)domain這一重要概念的推廣.很多作者已對(duì)這一空間進(jìn)行了研究［1，9-11］，但很少有關(guān)于 c-空間范疇性質(zhì)方面的研究.本文通過(guò)逼近的方式刻畫了c-空間，并定義一類特殊的c-空間，稱之為并半格c-空間，該結(jié)構(gòu)是對(duì)domain理論中連續(xù)格的推廣.特別地，本文借助文獻(xiàn)［12］中定向空間的概念，運(yùn)用c-空間的逼近式刻畫，證明由所有并半格c-空間及連續(xù)映射構(gòu)成的范疇是c-空間范疇的Cartesian閉滿子范疇.

先介紹需要用到的基本知識(shí)［7，13-14］.設(shè)P是一個(gè)非空集合，≤是P上的關(guān)系.稱≤是P上的偏序，若≤滿足自反、傳遞和反對(duì)稱性.此時(shí)，稱（P，≤）是一個(gè)偏序集，在關(guān)系≤明確的時(shí)候，簡(jiǎn)記為P.設(shè)A是偏序集（P，≤）的一個(gè)非空子集，記

且↑x和↓x分別表示↑｛x｝和↓｛x｝.一個(gè)非空子集A?P稱為是定向的，若任給x，y∈A，存在z∈A，使得z∈↑x∩↑y.稱x∈A是A的上確界，如果x是A的一個(gè)上界并且小于或等于A的任意上界；特別地，記上確界x＝sup A或者x＝∨A.若偏序集的每個(gè)定向子集都有上確界，則成為定向完備偏序集，簡(jiǎn)稱為dcpo.

設(shè)P是一個(gè)偏序集.一個(gè)子集U?P稱為Scott開(kāi)集，若對(duì)任意定向集D?P，∨D存在且∨D∈U意味著D∪U≠?.偏序集P的所有Scott開(kāi)集構(gòu)成一個(gè)拓?fù)洌Q為Scott拓?fù)洳⒂洖棣遥≒）.

接下來(lái)介紹T0空間的特殊化序.設(shè)X是一個(gè)T0拓?fù)淇臻g，其拓?fù)渫ǔＳ洖?O（X）.設(shè) A是X的子集，記A為A的閉包，A°為A的內(nèi)部.X上的特殊化序定義如下：

顯然，T0空間的特殊化序是偏序，且對(duì)于任意開(kāi)集U?X，U＝↑U，↓x＝xˉ，T0空間之間的連續(xù)映射保持特殊化序.

若無(wú)特殊說(shuō)明，T0空間總是看成關(guān)于特殊化序的偏序集，其上關(guān)于序理論的概念，比如上集、下集、定向集等都由特殊化序定義.

定義1.1設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，稱映射ξ：J→X為X的一個(gè)網(wǎng)，若J是一個(gè)定向集.通常簡(jiǎn)記網(wǎng)為（xj）或（xj）j∈J.任給 x∈X，稱網(wǎng)（xj）關(guān)于拓?fù)銸（X）收斂到 x，記為（xj）→x或 lim（xj）≡x，如果（xj）終在x的每個(gè)開(kāi)領(lǐng)域中.

顯然，T0空間X的每個(gè)定向子集D?X都可被看成一個(gè)網(wǎng)，其子標(biāo)集就是D自己.由上述定義，定向集D收斂到x（記為D→x或者limD≡x），當(dāng)且僅當(dāng)x的每個(gè)開(kāi)領(lǐng)域交D不等于空集.容易驗(yàn)證，?x，y∈X，xy當(dāng)且僅當(dāng)｛y｝→x.令 D（X） ＝｛（D，x）：x∈X，D是 X的定向子集并且 D→x｝.

接下來(lái)介紹一類特殊的T0空間.

定義1.2［12］設(shè)X是一個(gè)T0的拓?fù)淇臻g.

1）一個(gè)子集U?X稱為定向開(kāi)集，若任給（D，x）∈D（X），x∈U?D∩U≠?.記 X的所有定向開(kāi)集組成的集族為 d（X）.顯然，O（X）?d（X）.

2）稱T0空間X是定向空間，如果每個(gè)定向開(kāi)集都是X中的開(kāi)集，等價(jià)地，d（X）＝O（X）.總把定向空間X上的拓?fù)溆洖閐（X）.

注 1.31） T0拓?fù)淇臻g的所有定向開(kāi)集組成一個(gè)拓?fù)洌x予該拓?fù)鋭t是一個(gè)定向空間［12］.

2）每個(gè)偏序集賦予Scott拓?fù)涫且粋€(gè)定向空間［12］.因此，定向空間是比 domain理論的基本結(jié)構(gòu)dcpo更一般的模型.

3）定向空間等價(jià)于文獻(xiàn)［15］中的monotone determined space.

設(shè)X、Y是2個(gè)T0空間.函數(shù)f：X→Y稱為定向連續(xù)，如果它是單調(diào)的并且保持X的所有定向集的極限； 等 價(jià) 地， （ D， x） ∈ D（X） ? （f（D），f（x））∈D（Y）.

引理 1.4［12］設(shè) X、Y是 2個(gè)T0空間，函數(shù)f：X→Y是 X、Y之間的映射.

1）映射 f定向連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)?U∈d（Y），f-1（U）∈d（X）.

2）若X、Y是定向空間，則映射f連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)它是定向連續(xù)的.

記范疇DTop表示以所有定向空間為對(duì)象、以所有（定向）連續(xù)函數(shù)為態(tài)射構(gòu)成的范疇.文獻(xiàn)［12］證明范疇 DTop是T0空間范疇的余反射子范疇.

設(shè)X、Y是2個(gè)定向空間.記X×Y為集合X、Y的笛卡爾乘積.根據(jù)X、Y的特殊化序，定義該乘積上一個(gè)自然的偏序如下：

特別地，稱該序?yàn)閄×Y上的點(diǎn)態(tài)序.文獻(xiàn)［12］在X×Y上定義一個(gè)拓?fù)淇臻gX?Y如下：

1） X?Y承載集就是X×Y；

2） X?Y的拓?fù)湟匀缦路绞缴桑喝谓o≤-定向集 D?X×Y及（x，y）∈X×Y，記 D?（x，y）表示π1D→x且π2D→y.子集U?X×Y是開(kāi)的當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意按上述方式定義的極限 D?（x，y），（x，y）∈U?D∩U≠?.

令O（X×Y）表示 X和 Y的乘積拓?fù)洌頞（X?Y）表示按上述方式生成的拓?fù)?容易看出，O（X×Y）?O（X?Y）恒成立，且由乘積拓?fù)銸（X×Y）誘導(dǎo)的序就是點(diǎn)態(tài)序.

定理 1.5［12］對(duì)任意 2個(gè)定向空間X和Y，X?Y是一個(gè)定向空間滿足：

2） 任給定向集D?X?Y及（x，y）∈X?Y，D→（x，y）當(dāng)且僅當(dāng)D?（x，y）；

3） X?Y是范疇DTop中X和Y的范疇乘積.

以后，定向空間X?Y記為d（X×Y）.

設(shè) X、Y是2個(gè)定向空間.令YX表示X、Y之間的所有（定向）連續(xù)函數(shù)之集.YX上存在一個(gè)自然的誘導(dǎo)序：

該序稱為YX上的點(diǎn)態(tài)序.文獻(xiàn)［12］中在YX上以如下方式定義了一個(gè)拓?fù)淇臻g［X→Y］：

1） ［X→Y］的承載集就是 YX；

2） ［X→Y］的拓?fù)浒慈缦路绞缴桑鹤蛹疷?YX是開(kāi)集當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意≤-定向子集｛fi：i∈I｝? YX及f∈ U， 若 對(duì) 任 意x∈ X，（fi（x））i∈I→f（x），則有U∩｛fi：i∈I｝≠?.

記O（YX）表示按上述方式定義的所有開(kāi)集之集并令［X→Y］＝（YX，O（YX））.

引理 1.6［12］任給2個(gè)定向空間X和Y，［X→Y］是一個(gè)定向空間且滿足

對(duì)所有x∈X成立.任給子集U? ［X→Y］，U∈O（YX）當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意-定向子集｛fi：i∈I｝?YX，若（fi）i∈I→f且 f∈U，則存在 i0∈I使得fi0∈U.

從現(xiàn)在開(kāi)始，稱空間［X→Y］為定向空間X和Y的函數(shù)空間，并記d［X→Y］＝O（YX）.特別地，文獻(xiàn)［12］證明了如下重要結(jié)果.

定理1.7定向空間范疇DTop是Cartesian閉范疇，其中，任意2個(gè)定向空間的范疇乘積及對(duì)應(yīng)指數(shù)對(duì)象方別是X?Y和［X→Y］.

因此，定向空間范疇滿足作為函數(shù)式程序指稱語(yǔ)義數(shù)學(xué)模型的基本條件，是對(duì)domain理論基本結(jié)構(gòu)的推廣.

2 c-空間及其相關(guān)刻畫

連續(xù)domain 是domain理論中最重要的結(jié)構(gòu)，其核心特征是每個(gè)元能夠被逼近［7］.Erne［1-2］注意到連續(xù)domain關(guān)于Scott拓?fù)涞男再|(zhì)，提出了連續(xù)domain的一種推廣結(jié)構(gòu)，稱之為c-空間.其具體定義如下.

定義2.1設(shè)X是一個(gè)T0拓?fù)淇臻g.稱X是一個(gè)c-空間，如果任給x∈X及x的開(kāi)鄰域U，存在y∈U使得 x∈（↑y）°；等價(jià)地，｛（↑y）°：y∈X｝是拓?fù)淇臻gX的一個(gè)基.

定理 2.2［1-2］一個(gè) T0拓?fù)淇臻gX是一個(gè)c-空間當(dāng)且僅當(dāng)其拓?fù)銸（X）是一個(gè)完全分配格.

由于每個(gè)連續(xù)domain的Scott拓?fù)涫峭耆峙涓瘢?］，所以連續(xù) domain關(guān)于Scott拓?fù)涫且粋€(gè)c-空間.因此，c-空間是連續(xù)domain的推廣，并有大量學(xué)者研究了該空間.比如，Ershov［10-11］在1993年和1997年以α-空間的名稱研究了c-空間，Keimel［9］于 2008年把c-空間與拓?fù)溴F的概念相結(jié)合提出c-錐概念.

事實(shí)上，下面將借助定向空間的性質(zhì)對(duì)c-空間給出類似于連續(xù)domain的刻畫.

命題2.3每個(gè)c-空間都是定向空間.

證明設(shè)U?X是定向開(kāi)集.下證U是X的開(kāi)集.任給 x∈U，令 A＝｛y∈X：x∈（↑y）°｝.由 c-空間的定義知，A是定向的且A→x.因?yàn)閁是定向開(kāi)集，由定義1.2的 1），存在 a∈D∩U使得 x∈（↑a）°?U，所以U是X中的開(kāi)集.這表明X的所有定向開(kāi)集都是開(kāi)集，因此X是定向空間，見(jiàn)定義1.2的2）.

設(shè)X是一個(gè)定向空間，?x，y∈X.稱x逼近y，記x?y，如果下述條件成立：對(duì)任意定向集D?X，若D→y，則存在d∈D，使得xd.對(duì)任意 x∈X，記

注2.4由于每個(gè)偏序集賦予Scott拓?fù)涫嵌ㄏ蚩臻g，上述逼近關(guān)系在Scott拓?fù)湎碌扔谄蚣系膚ay-below關(guān)系.

下面關(guān)于逼近關(guān)系的性質(zhì)是顯然的.

命題 2.5設(shè) X是一個(gè)定向空間，x，y，z，t∈X.則下述2

條成立：

引理2.6設(shè)X是一個(gè)c-空間，則下列各條成立：

證明1） 設(shè) x，y∈X且 x?y.令 Ay＝｛a∈X：y∈（↑a）°｝，則由X是c-空間，有 Ay是一個(gè)定向集且Ay→y.由逼近關(guān)系的定義，存在a∈Ay使得xa.從而，y∈（↑a）°?↑a?↑x.因此，y∈（↑x）°.反之，設(shè) y∈（↑x）°.任給定向集 D?X，若D→y，則 D∪（↑x）°≠?.取 d∈D∪（↑x）°，則 xd，從而由逼近關(guān)系的定義有x?y.

引理2.7設(shè)X是一個(gè)T0空間，則下列各條成立.

1） X是一個(gè)c-空間；

證明1）?2） 由命題2.3，X是一個(gè)定向空間.由引理 2.6，對(duì)任意（↑a）°｝.由 c-空間的定義是一個(gè)定向集且

2）?3） 顯然.

3） ?1） 首先證明，對(duì)任意 a，s∈X，s?a??s′∈X，s?s′?a.

令 W＝｛z∈X：?w∈X，z?w?a｝，W是一個(gè)定向集且W→a.由已知條件非空對(duì)所有x∈X成立，因此，W≠?.任給 z1，z2∈W，則存在 w1，w2∈X使得 zi?wi?a，i＝1，2.由已知條件，存在定向集使得Da→a.由逼近關(guān)系的定義，存在b1，b2∈Da使得因?yàn)?Da定向且包含于所以存在使得注意到 zi?b（i＝1，2），由上面相同的理由，存在z?b使得 z1，z2z.這表明，b∈W且是 z1、z2的上界.因此，W是一個(gè)定向集.下證W→a.設(shè)V?X是a的一個(gè)開(kāi)鄰域.由上面的證明，定向集且Da→a.從而存在 c∈V∩Da.再次運(yùn)用條件3），存在定向集使得Dc→c.從而存在e∈Dc∩V.這表明e∈W∩V，即W→a.由于s?a，故存在z∈W使得由 W的定義，存在 s′∈X使得 z?s′?a.從而，s?s′?a.

接下來(lái)，設(shè)a∈U且U?X是a的開(kāi)鄰域.則存在 z′∈W，使得 z′?a且 z′∈U，從而U.下證是開(kāi)集即可.由于X是定向空間，即證是定向開(kāi)集.設(shè)D?X且由上面的證明，存在y∈X使得z′?y?x.從而存在d∈D使得即.命題得證.

推論2.8設(shè)X是一個(gè)c-空間，則對(duì)任意x∈

證明由定理是定向集且由逼近關(guān)系的定義，x顯然是的一個(gè)上界.假設(shè)y∈X是的另一個(gè)上界，且則 x∈X＼↓y.注意到從而矛盾.

結(jié)合推論，當(dāng)X是一個(gè)賦予Scott拓?fù)涞钠蚣cpo、完備格等，定理就是連續(xù)偏序集、連續(xù)domain、連續(xù)格等結(jié)構(gòu)的定義或者等價(jià)刻畫［7］.

命題2.9設(shè)X是一個(gè)c-空間.則對(duì)任意定向空間Y，X?Y＝X×Y.這里，X×Y表示拓?fù)涑朔e.

證明由定理1.5，X?Y是定向空間且其特殊化序等于點(diǎn)態(tài)序≤.記O（X×Y）表示（拓?fù)洌┏朔e空間的拓?fù)?任給 U∈d（X），V∈d（Y）及定向集D?X×Y，如果π1D→x∈U且π2D→y∈V，則存在d1∈π1D∩U及 d2∈π2D∩V，從而存在 d3∈π1D及d4∈π2D滿足（d1，d4），（d3，d2）∈D.由 D是定向的，存在（d5，d6） ∈D滿足（d1，d4），（d3，d2） ≤（d5，d6）.這表明（d5，d6）∈D∩（U×V）.因此，U×V∈d（X×Y），即 O（X×Y）?d（X?Y）.接下來(lái)證明d（X×Y）?O（X×Y）.設(shè)（x，y）∈W∈d（X?Y）.令W（y） ＝｛z∈X：（z，y）∈W｝.則 x∈W（y）.設(shè) D?X是一個(gè)定向集且 D→z∈W（y）.令 Dy＝｛（d，y）：d∈D｝，則 Dy是 X?Y的定向集且 Dy?（z，y），從而存在 d∈D，使得（d，y）∈W，即 d∈D∩W（y）.因此，W（y）是x的開(kāi)鄰域.因?yàn)閄是一個(gè)c-空間，故存在 z∈W（y）使得用上面的方法可證 W（z） ＝｛t∈Y：（z，t）∈W｝是 y的開(kāi)鄰域.令任給（a，b）∈U×V，則（z，b）（a，b），且（z，b）∈W，從而（a，b）∈W.這表明（x，y）∈U×V?W.因此，d（X×Y）?O（X×Y）.命題得證.

推論2.10設(shè)X，Y是2個(gè)c-空間.則 X×Y是一個(gè)c-空間，X?Y＝X×Y且對(duì)于任意（a，b），（x，y）∈X?Y，（a，b）?（x，y）?a?x，b?y.這里，X×Y表示拓?fù)涑朔e.

證明由命題2.9可知，X?Y＝X×Y.任給（x，y）∈W∈d（X×Y），則存在 U∈d（X）及 V∈d（Y）使得（x，y）∈U×V?W.因?yàn)?X，Y是 c-空間，存在a∈U及b∈V使得 x∈（↑a）°?↑a?U且y∈（↑b）°?↑b?V.從而，（x，y）∈（↑a）°×（↑b）°?（↑（a，b））°?↑a ×↑b＝↑（a，b）?U×V?W.由定義1.2的2），X×Y是一個(gè)c-空間.

記CTop表示以所有c-空間為對(duì)象、以所有（定向）連續(xù)函數(shù)為態(tài)射的范疇.則定理1.7、命題2.3及推論2.10，下述結(jié)論成立.

定理2.11CTop是定向空間范疇DTop關(guān)于有限范疇乘積封閉的滿子范疇.

3 c-空間范疇的一個(gè)Cartesian閉子范疇

由于每個(gè)連續(xù)偏序集賦予Scott拓?fù)涠际莄-空間，所以c-空間是對(duì)domain理論［7］的重要對(duì)象—連續(xù)domain的推廣.在domain理論中，連續(xù)格關(guān)于Scott連續(xù)映射都構(gòu)成連續(xù)domain 的Cartesian閉滿子范疇［7］.本節(jié)將定義一類特殊的的 c-空間，稱之為并半格c-空間，該結(jié)構(gòu)是連續(xù)格的推廣.證明所有并半格c-空間及連續(xù)映射構(gòu)成的范疇是c-空間范疇CTop的Cartesian閉滿子范疇.

設(shè)P是一個(gè)偏序集，a，b∈P.若a、b在P有上確界，則記該上確界為a∨b.設(shè)A?P且a與A中的每個(gè)元素有上確界，則記a∨A＝｛a∨b：b∈A｝.

定義3.1一個(gè)定向空間X稱為并半格定向空間，如果它滿足以下條件：

1） X有最小元（記為0X）；

2） 任給 a，b∈X，a∨b存在；

3） 任給定向集 D?X及 a，b∈X，若 D→a，則b∨D→b∨a.

此時(shí)，當(dāng)X是一個(gè)c-空間時(shí)，則稱X是一個(gè)并半格c-空間.

一般而言，并半格不要求有最小元，為本文下面的討論，特地要求并半格定向空間具有最小元.

例 3.21）每個(gè)賦予Scott拓?fù)涞耐陚涓瘢ㄟB續(xù)格，見(jiàn)文獻(xiàn)［7］）的定義，是一個(gè)并半格定向空間（并半格c-空間）.其逆命題并不成立（見(jiàn)下例）.

2） X＝［0，1］∩Q，這里Q表示有理數(shù)集.令

容易驗(yàn)證，（X，O1（X））和（X，O2（X））都是并半格c-空間，其特殊化序就是通常的大小關(guān)系.值得注意的是，X顯然不是完備格且第二個(gè)拓?fù)洳坏扔赟cott拓?fù)?

記SCTop表示以所有并半格c-空間為對(duì)象、以所有連續(xù)函數(shù)為態(tài)射的范疇.則連續(xù)格范疇是SCTop的真子范疇.

命題3.3若 X、Y是2個(gè)并半格c-空間，則X×Y是一個(gè)并半格c-空間.

證明由推論2.10，X×Y是一個(gè)c-空間.只需證明它是并半格.令0X?Y＝（0X，0Y），則它是 X×Y的最小元.任給?（x1，y1），（x2，y2）∈X?Y，由并半格定向空間的定義，x1∨x2和y1∨y2存在.顯然，（x1，y1）∨（x2，y2） ＝（x1∨x2，y1∨y2）.現(xiàn)在設(shè) D為X?Y的定向子集，且 D→（a，b）.則π1D→a且π2D→b.任給（x，y）∈X?Y，由 X、Y為并半格定向空間可得 x∨π1D→x∨a，y∨π2D→y∨b.由

接下來(lái)考慮c-空間之間的函數(shù)空間.設(shè)X、Y是2個(gè)c-空間且Y具有最小元0Y，a∈X，b∈Y.定義映射 a↘b：X→Y如下：

該函數(shù)稱為步函數(shù)（在domain理論中稱為步函數(shù)［7］）.

引理3.4步函數(shù)是連續(xù)的.

證明a↘b：X→Y的定義如上.單調(diào)性是顯然的.設(shè)D?X是一個(gè)定向集且 D→x∈X.則 a↘b（D）是定向的.若 a?x，則 a↘b（x） ＝b.由引理2.6，存在a1∈X使得a?a1?x.從而存在d∈D滿足a1d.再由命題 2.5，有 a?d，從而 a↘b（d） ＝b.這表明，b的任何開(kāi)鄰域交a↘b（D）不等于空集.因此，a↘b（D）→b＝a↘b（x）.若ax，a↘b（x） ＝0y.a↘b（D）→0y顯然成立.步函數(shù)的連續(xù)性得證.

命題3.5設(shè)f：X→Y是 c-空間 X，Y間的連續(xù)函數(shù)，Y有最小元0X.x，a∈X，y，b∈Y滿足：xa，b?y且 f（x） ＝y(tǒng).則在函數(shù)空間［X→Y］中，步函數(shù)a↘b?f.

證明由引理3.4，a↘b∈［X→Y］.設(shè)D＝｛fi：i∈I｝是函數(shù)空間［X→Y］的一個(gè)定向集且D→f.由引理 1.6，（fi（x））i∈I→f（x）成立.由 b?y＝f（x），存在ix∈I使得任給 z∈X，若 a?z，則若則顯然成立.因此從而，a↘b?f成立.

定理3.6設(shè)X、Y是2個(gè)并半格c-空間，則函數(shù)空間［X→Y］也是一個(gè)并半格c-空間.

證明由引理1.6，［X→Y］是一個(gè)定向空間.定義映射0［X→Y］：X→Y如下：?x∈X，0［X→Y］（x） ＝0y.顯然，0［X→Y］是［X→Y］的最小元.取 f，g∈［X→Y］，定義 f∨g：X→Y如下：

顯然，f∨g 是良定義的且保序.設(shè)D?X是定向的且D→x∈X.則由f和g的連續(xù)性，有 f（D）→f（x）和 g（D）→g（x）.由定義3.1，f（D）∨g（x）→f（x）∨g（x）.設(shè) U?Y是 f（x）∨g（x）的開(kāi)鄰域.則存在d1∈D使得 f（d1）∨g（x）∈U.同理，由 f（d1）∨g（D）→f（d1）∨g（x），存在 d2∈D使得 f（d1）∨f（d2）∈U.在由D的定向性，存在d∈D使得d1滿足d1d，從而 f（d）∨g（d）∈U，即（f∨g）（D）→（f∨g）（x）.因此，f∨g是連續(xù)的，從而是f、g在函數(shù)空間［X→Y］的上確界.設(shè)D＝｛fi：i∈I｝是函數(shù)空間［X→Y］的定向集且D→f∈［X→Y］.由引理1.6有

再由引理 1.6，g∨D→g∨f（x）.因此，函數(shù)空間［X→Y］是一個(gè)并半格定向空間.

接下來(lái)證明，函數(shù)空間［X→Y］是一個(gè)c-空間.設(shè) f∈［X→Y］.令

注意到X和Y都有最小元，A≠?.任給非空有限集F?A，不妨設(shè) F＝｛（a1，b1），（a2，b2），…，（an，bn）｝，定義 fF：X→Y如下：

由上面的證明知，fF∈［X→Y］且是諸步函數(shù)的上確界.下證 fF?f.設(shè)D＝｛fi：i∈I｝是函數(shù)空間［X→Y］的一個(gè)定向集且D→f.由命題3.5知，ai↘bi?f，1≤i≤n.故對(duì)每個(gè) i存在 fi∈D使得由D的定向性，存在g∈D使得從而因此，fF?f.令

則B是一個(gè)定向集，且B?f.由定理2.7，只需證明B→f.由引理1.6，只需證明

由引理2.6，只需證明，?b?f（x），存在 Fb∈B使得 b?fFb（ x）.設(shè) b?f（x），則由引理 2.6，存在 c∈Y滿足 b?c?f（x）.由定理定向且收斂到 x.因?yàn)?f連續(xù)，故定向且收斂到 f（x）.從而存在滿足 c?f（d）.令 Fb＝｛（d，c）｝，則 fFb＝d↘c.顯然，b?c＝fFb（x）.

由命題3.3及上述定理可知，并半格c-空間范疇SCTop作為c-空間范疇CTop的滿子范疇關(guān)于有限范疇乘積及函數(shù)空間是封閉的.注意到c-空間范疇CTop是定向空間范疇DTop的滿子范疇，且由定理1.7，DTop是 Cartesian閉范疇，其范疇乘積及指數(shù)對(duì)象分別是X?Y及［X→Y］.因此，得到本節(jié)如下主要結(jié)果.

定理3.7并半格c-空間范疇SCTop作為c-空間范疇CTop的Cartesian閉滿子范疇.

這一結(jié)果表明，c-空間范疇的存在不同于domain

理論的Cartesian閉范疇，可為研究函數(shù)式程序語(yǔ)言指稱語(yǔ)義提供更一般的數(shù)學(xué)模型.