邏輯公式間的Jaccard 距離及其應(yīng)用*

于 鵬

陜西科技大學(xué) 文理學(xué)院，西安 710021

1 引言

數(shù)理邏輯是研究推理的一門學(xué)科，它是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的邏輯基礎(chǔ)，也是人工智能與理論計(jì)算機(jī)的邏輯基礎(chǔ)。在數(shù)理邏輯的研究中一直存在著兩種研究方法——語(yǔ)構(gòu)方法與語(yǔ)義方法。語(yǔ)構(gòu)方法注重形式化推理，語(yǔ)義方法注重賦值計(jì)算。兩者之間似乎存在著一種無(wú)形的隔離墻[1]。那么是否存在著一種有別于語(yǔ)構(gòu)與語(yǔ)義的研究方法呢？文獻(xiàn)[2-8]給出了肯定的回答。文獻(xiàn)[2]在經(jīng)典命題邏輯系統(tǒng)中利用均勻概率的思想引入了公式真度的概念，建立了計(jì)量邏輯學(xué)，給出了一種有別于語(yǔ)構(gòu)語(yǔ)義的研究方法。隨后文獻(xiàn)[3-4]在Lukasiewicz 與R0多值邏輯系統(tǒng)中給出了相應(yīng)命題邏輯系統(tǒng)的量化模型；文獻(xiàn)[5]則將計(jì)量化方法引入到了多值模態(tài)邏輯中，建立了模態(tài)邏輯系統(tǒng)中的量化模型；文獻(xiàn)[6]采用公理化方法給出了一類一階謂詞邏輯公式的公理化真度，將計(jì)量邏輯學(xué)引入到了一階謂詞邏輯中；文獻(xiàn)[7-8]建立了概率計(jì)量邏輯學(xué)。這些研究成果的取得，為豐富非經(jīng)典數(shù)理邏輯的研究做出了貢獻(xiàn)[9-16]。

雖然計(jì)量邏輯學(xué)已經(jīng)取得了豐碩的研究成果，但也存在如下問題：計(jì)量邏輯學(xué)中通過計(jì)算公式（φ→ψ）∧（ψ→φ）的真度來定義公式的相似度及偽距離的方法對(duì)于邏輯系統(tǒng)L、?n、?*n、?uk 與L*是適用的。但對(duì)于更為廣泛的MTL（monoidal triangular norm based logic）邏輯系統(tǒng)卻不再適用，這是因?yàn)閷?duì)于一些左連續(xù)的t-模，構(gòu)成偽距離的三角不等式不再成立。例如在[0，1]2上定義?算子如下：當(dāng)時(shí)，a?b=0，當(dāng)時(shí)，，可以驗(yàn)證?是左連續(xù)t-模，但不是強(qiáng)正則左連續(xù)t-模，通過?算子及其伴隨的蘊(yùn)涵算子，無(wú)法通過計(jì)量邏輯學(xué)的方法定義公式間的距離[17]。為了克服上述困難，文獻(xiàn)[17-18]通過限制蘊(yùn)涵算子是強(qiáng)正則蘊(yùn)涵算子的方法，在MTL 邏輯中給出了一類特殊的MTL邏輯系統(tǒng)的真度理論，并稱之為強(qiáng)MTL 邏輯系統(tǒng)（strong monoidal triangular norm based logic，SMTL），但這種改進(jìn)不能從根本上克服上述不足。為了在更廣泛的范圍內(nèi)建立并應(yīng)用程度化推理方法，本文提出了一種基于Jaccard 相似系數(shù)的量化方法，這種方法不依賴于蘊(yùn)涵算子的選取，可以直接通過賦值建立相應(yīng)的邏輯度量空間，并研究其性質(zhì)。通過推廣本文方法，可以有效拓展計(jì)量邏輯的應(yīng)用范圍，為更好地研究理論計(jì)算機(jī)的邏輯基礎(chǔ)提供助力。

2 公式間的Jaccard 距離

3 Jaccard 距離在刻畫公式集結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用

4 結(jié)束語(yǔ)

本文利用向量間的Jaccard 相似度與Jaccard 距離在經(jīng)典邏輯系統(tǒng)中建立了以公式距離為核心概念的量化模型。討論了邏輯度量空間中一些特殊集合的相容性問題，為探討公式集F（S）的結(jié)構(gòu)做出了嘗試，得到了諸如矛盾式是（F（S），ρJ）中唯一的孤立點(diǎn)，并且每一個(gè)球形領(lǐng)域不相容等結(jié)論。本文研究結(jié)果的取得，為利用向量間的相似性度量來研究邏輯系統(tǒng)的性質(zhì)提供了新的路徑。那么在更為復(fù)雜的n值邏輯是否可以展開類似的討論是后繼的一個(gè)工作。