對(duì)2020年全國(guó)Ⅰ卷第20題的推廣探究

摘要：圓錐曲線試題中有關(guān)直線過(guò)定點(diǎn)類的問(wèn)題大多具有一般性，這類試題尤其是高考真題往往可以進(jìn)行結(jié)論推廣，對(duì)其深入探究可以揭示出圓錐曲線的本質(zhì)屬性.

關(guān)鍵詞：直線過(guò)定點(diǎn);圓錐曲線;推廣探究

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2022）13-0018-03

1 真題呈現(xiàn)

題目（2020年全國(guó)Ⅰ卷理20）已知A，B分別為橢圓E：x2a2+y2=1（a>1）的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，AG·GB=8，P為直線x=6上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一個(gè)交點(diǎn)為C，PB與E的另一個(gè)交點(diǎn)為D.

（1）求E的方程;

（2）證明：直線CD過(guò)定點(diǎn).

試題考查平面向量的數(shù)量積、橢圓方程、直線與橢圓的位置關(guān)系、直線過(guò)定點(diǎn)等知識(shí)，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).對(duì)于第（1）問(wèn)，由AG·GB=8得關(guān)于a的方程，解方程得a的值就可以求得E的方程.對(duì)于第（2）問(wèn)，設(shè)出點(diǎn)C，D，P的坐標(biāo)和直線CD的方程，結(jié)合PA，PB的方程說(shuō)明CD過(guò)定點(diǎn).

2 真題解析

2.1 第（1）問(wèn)解析

解析易求E的方程為x29+y2=1.

2.2 第（2）問(wèn)解析

證法1設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2），P（6，t）.若t≠0，設(shè)直線CD的方程為x=my+n，由題意可知-3<n<3.

由于直線PA的方程為y=t9（x+3），

所以y1=t9（x1+3）.

直線PB的方程為y=t3（x-3），

所以y2=t3（x2-3）.

可得3y1（x2-3）=y2（x1+3）.

由于x229+y22=1，

故y22=-（x2+3）（x2-3）9.

可得27y1y2=-（x1+3）（x2+3）.

即（27+m2）y1y2+m（n+3）（y1+y2）+（n+3）2=0.①

將x=my+n代入x29+y2=1，

得（m2+9）y2+2mny+n2-9=0.

所以y1+y2=-2mnm2+9，y1y2=n2-9m2+9.

代入①式，得（27+m2）（n2-9）-2m（n+3）mn+（n+3）2（m2+9）=0.

解得n=-3（舍去），n=32.

故直線CD的方程為x=my+32.

即直線CD過(guò)定點(diǎn)（32，0）.

若t=0，則直線CD的方程為y=0，過(guò)點(diǎn)（32，0）.

綜上，直線CD過(guò)定點(diǎn)（32，0）.

證法2設(shè)P（6，t），由（1）知A（-3，0），B（3，0），直線PA的方程為y=t9（x+3）.

由y=t9（x+3），x29+y2=1，得

（9+t2）x2+6t2x+9（t2-9）=0.

由根與系數(shù)的關(guān)系，得-3xC=9（t2-9）9+t2.

所以xC=3（9-t2）9+t2，yC=6t9+t2.

同理可求，xD=3（t2-1）1+t2，yD=-2t1+t2.

所以kCD=-4t3（t2-3）.

直線CD的方程為4tx+3（t2-3）y-6t=0.

令y=0得x=32.

即直線CD過(guò)定點(diǎn)（32，0）.

3 剖析聯(lián)想

出于對(duì)解析幾何試題的敏感，筆者猜想第（2）問(wèn)中直線所過(guò)的定點(diǎn)一定與題設(shè)中橢圓的相關(guān)參數(shù)及所給定的直線方程數(shù)據(jù)等有某種聯(lián)系，最后的定點(diǎn)在x軸上，且其橫坐標(biāo)恰好是橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)的一半，而此時(shí)也正好有題設(shè)中垂直于x軸的直線方程中的數(shù)值恰好是橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)，這僅僅是一種巧合，還是可以進(jìn)行一般意義上的某種推廣？直覺(jué)是否可靠，能不能進(jìn)行更一般的推廣？

4 結(jié)論推廣

4.1 橢圓中一般情形

結(jié)論1已知A，B分別為橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右頂點(diǎn)，P為直線x=2a上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一個(gè)交點(diǎn)為C，PB與E的另一個(gè)交點(diǎn)為D，則直線CD過(guò)定點(diǎn)Q（a2，0）.

證明可以參考真題第（2）問(wèn)證法，請(qǐng)讀者自證.由橢圓的對(duì)稱性易得下面的結(jié)論.

結(jié)論2已知A，B分別為橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右頂點(diǎn)，P為直線x=-2a上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一個(gè)交點(diǎn)為C，PB與E的另一個(gè)交點(diǎn)為D，則直線CD過(guò)定點(diǎn)Q（-a2，0）.

根據(jù)推理的等價(jià)性進(jìn)行逆向思考，會(huì)得到如下的結(jié)論.結(jié)論3已知A，B分別為橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右頂點(diǎn)，Q（a2，0），直線MQ交橢圓E于C，D兩點(diǎn)，直線AC與DB相交于點(diǎn)F，直線AD與CB相交于點(diǎn)G，則直線FG垂直于x軸，且其方程為x=2a.

具體證明過(guò)程請(qǐng)感興趣的讀者自己完成，以上三條對(duì)應(yīng)于y軸的相應(yīng)結(jié)論請(qǐng)讀者自己陳述.

4.2 雙曲線中相應(yīng)的結(jié)論

眾所周知，橢圓和雙曲線在很多時(shí)候具有相同或者相似的性質(zhì)，那么上述的結(jié)論對(duì)于雙曲線而言是否成立呢？

結(jié)論4已知A，B分別為雙曲線E：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右頂點(diǎn)，P為直線x=2a上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一個(gè)交點(diǎn)為C，PB與E的另一個(gè)交點(diǎn)為D，則直線CD過(guò)定點(diǎn)Q（a2，0）.

結(jié)論5已知A，B分別為雙曲線E：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右頂點(diǎn)，P為直線x=-2a上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一個(gè)交點(diǎn)為C，PB與E的另一個(gè)交點(diǎn)為D，則直線CD過(guò)定點(diǎn)Q（-a2，0）.

結(jié)論6已知A，B分別為雙曲線E：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右頂點(diǎn)，Q（a2，0），直線MQ交雙曲線E于C，D兩點(diǎn)，直線AC與DB相交于點(diǎn)F，直線AD與CB相交于點(diǎn)G，則直線FG垂直于x軸，且其方程為x=2a.

4.3 圓中相應(yīng)的結(jié)論

圓可以看作是特殊的橢圓，具有橢圓中很多相應(yīng)的性質(zhì)，上述三條結(jié)論在圓中同樣成立.

結(jié)論7已知A，B分別為圓E：x2+y2=a2（a>0）的左、右頂點(diǎn)，P為直線x=2a上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一個(gè)交點(diǎn)為C，PB與E的另一個(gè)交點(diǎn)為D，則直線CD過(guò)定點(diǎn)Q（a2，0）.

結(jié)論8已知A，B分別為圓E：x2+y2=a2（a>0）的左、右頂點(diǎn)，P為直線x=-2a上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一個(gè)交點(diǎn)為C，PB與E的另一個(gè)交點(diǎn)為D，則直線CD過(guò)定點(diǎn)Q（-a2，0）.

結(jié)論9已知A，B分別為圓E：x2+y2=a2（a>0）的左、右頂點(diǎn)，Q（a2，0），直線MQ交圓E于C，D兩點(diǎn)，直線AC與DB相交于點(diǎn)F，直線AD與CB相交于點(diǎn)G，則直線FG垂直于x軸，且其方程為x=2a.

5 教學(xué)反思

2020年全國(guó)Ⅰ卷理科第20題證明過(guò)程較為繁瑣，但是圖形卻給人留下了深刻的印象，在課堂教學(xué)過(guò)程中，諸如此類的試題有很多，高中數(shù)學(xué)課本中的很多例習(xí)題（如文獻(xiàn)＼[1＼]）都可進(jìn)行必要的探究.愛(ài)因斯坦說(shuō)：提出一個(gè)問(wèn)題比解決一個(gè)問(wèn)題更加重要，充分利用這類試題可以很好地培育同學(xué)們大膽猜想的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，對(duì)數(shù)學(xué)直覺(jué)、數(shù)感和數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的提升大有幫助.

參考文獻(xiàn)：

[1]

董強(qiáng). 對(duì)一道高中數(shù)學(xué)課本例題的再探究＼[J＼]. 數(shù)理化解題研究，2018（10）：39-41.

[責(zé)任編輯：李璟]

收稿日期：2022-02-05

作者簡(jiǎn)介：董強(qiáng)（1985-），碩士，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

基金項(xiàng)目：陜西省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2020年度課題“基于學(xué)科核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計(jì)研究”（項(xiàng)目編號(hào)：SGH20Y0157）.[FQ）]