初探翻折與隱圓

朱銘華

(江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校 215021)

葉圣陶先生在《創(chuàng)造的兒童教育》中說(shuō)；“處處是創(chuàng)造之地、天天是創(chuàng)造之時(shí)、人人是創(chuàng)造之人.”，是的，在我們的生活中處處有數(shù)學(xué)的素材等著我們?nèi)?chuàng)造.

折紙，是我們?nèi)粘Ｉ钪邢猜剺?lè)見(jiàn)的一種游戲，其實(shí)它就是非常貼近生活的數(shù)學(xué)素材， “折紙型”問(wèn)題在近年屢屢出現(xiàn)在中考試題、綜合實(shí)踐活動(dòng)中.因?yàn)樵谡郫B紙張時(shí)，會(huì)出現(xiàn)許多幾何概念，如：直線、角；角平分線、高；三角形、正方形、矩形；線和線的位置關(guān)系等等幾何基本元素，還會(huì)有圖形間的幾何變換，如：對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)、平移等.所以由折紙派生出來(lái)的平面圖形的折疊問(wèn)題能較全面的考查學(xué)生的動(dòng)手操作能力、空間想象能力和數(shù)學(xué)建模能力，而在教學(xué)過(guò)程中學(xué)生在動(dòng)手與動(dòng)腦之間的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中產(chǎn)生濃厚的探索、學(xué)習(xí)的興趣.這種蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想的數(shù)學(xué)活動(dòng)，在強(qiáng)調(diào)塑造數(shù)學(xué)能力的課程改革中也日益凸顯其重要性.

例題如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)F在邊AC上，并且CF=2，點(diǎn)E為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，將△CEF沿直線EF翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)P處，則點(diǎn)P到邊AB距離的最小值是____.

變式如圖，已知矩形ΑΒCD中，ΑΒ=4，ΑD=m．動(dòng)點(diǎn)Ρ從點(diǎn)D出發(fā)，在邊DΑ上以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)Α運(yùn)動(dòng)，連接CΡ，作點(diǎn)D關(guān)于直線ΡC的對(duì)稱點(diǎn)Ε．設(shè)點(diǎn)Ρ的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)．

(1)若m=6，求當(dāng)Ρ、Ε、Β三點(diǎn)在同一直線上時(shí)對(duì)應(yīng)的t的值；

(2)當(dāng)D、Ε、Β三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，求m關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系；

(3)已知m滿足：在動(dòng)點(diǎn)Ρ從點(diǎn)D到點(diǎn)Α的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，有且只有一個(gè)時(shí)刻t，使點(diǎn)Ε到直線ΒC的距離等于3，求所有這樣的m的取值范圍．

學(xué)以致用(來(lái)源：蘇州工業(yè)園區(qū)九上數(shù)學(xué)期末考試28)如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=4，BC=5，點(diǎn)E在AD邊上，EF⊥BC，垂足為F，點(diǎn)M在AB邊上，BM=1，沿過(guò)點(diǎn)M的直線折疊該紙片，使點(diǎn)A落在線段EF上的點(diǎn)A'處，折痕為MN，點(diǎn)N在AD邊上.

(1)畫(huà)出折痕MN；(尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)畫(huà)法)

(2)當(dāng)BF=1.8 時(shí)，求折痕MN的長(zhǎng)；

(3)寫(xiě)出折痕MN的條數(shù)與對(duì)應(yīng)的BF的長(zhǎng)度之間的關(guān)系.

分析(1)略.(2)由A′M=3,MH=1.8可知A′H=2.4,所以A′E=0.6.

三、總結(jié)與反思

在這一系列的問(wèn)題中，通過(guò)一個(gè)基本元素——折紙，讓學(xué)生感受到：在生活中將周圍事物與數(shù)學(xué)知識(shí)加以結(jié)合，處處都有數(shù)學(xué)，考慮問(wèn)題時(shí)可以從數(shù)學(xué)的角度出發(fā).陶行知認(rèn)為：“活的人才教育不是灌輸知識(shí),……”.陶行知所說(shuō)的“活的人才教育”，是指放手讓學(xué)生“自主學(xué)習(xí)”，學(xué)生在自主學(xué)習(xí)過(guò)程中掌握了科學(xué)的方法，培養(yǎng)“自動(dòng)力”，培養(yǎng)敢于創(chuàng)新的“自動(dòng)”精神.也只有積極探索、認(rèn)真研究和及時(shí)總結(jié)，才能更加深入的研究“折紙”中的奧妙.當(dāng)然，折紙本身也不是數(shù)學(xué)的終點(diǎn)，它不能完全取代對(duì)所有數(shù)學(xué)活動(dòng)的分析，數(shù)學(xué)是一種多邊的人類活動(dòng)，數(shù)學(xué)中的游戲娛樂(lè)、美學(xué)欣賞、哲學(xué)思考、實(shí)用價(jià)值探索等因素是如此緊密地交織在一起.