一次函數中分類討論思想的應用

葛 松

(江蘇省泗陽實驗初中開發區校區 223700)

一、遇到有坐標軸名稱不明確時需要討論

例1已知正比例函數y=k1x和一次函數y=k2x+b的圖象都經過點P(-2，1)，且一次函數y=k2x+b的圖象與y軸交點坐標是A(0，3)，求直線y=k1x和直線y=k2x+b與坐標軸圍成的三角形的面積.

解如圖1，∵直線y=k1x經過點P(-2，1)，

∵直線y=k2x+b經過點P(-2，1)和A(0，3),

∴一次函數的解析式為y=x+3.

(1)兩條直線與y軸圍成的△AOP的面積(如圖).

(2)兩條直線與x軸圍成的△BOP的面積.

歸納由已知條件可以求出正比例函數和一次函數的解析式，但求兩條直線與坐標軸圍成的三角形的面積，并沒有指明是與x軸圍成的三角形的面積，還是與y軸圍成的三角形的面積，致使需要進行分類討論.

二、遇到有點的位置不明確時需要討論

例2在平面直角坐標中，已知點A(-3，0)，B(2，6)，在x軸上有一點C，滿足S△ABC=12，試求點C的坐標.

解如圖2,過點B作BD⊥x軸，垂足為D.

∵S△ABC=12，∴AC=4.

(1)當點C在點A的右側時，則點C坐標為(1，0);

(2)當點C在點A的左側時，則點C坐標為(-7，0).

綜上所述，點C的坐標為(1，0)或(-7，0).

歸納因在x軸上存在一點C位置的不確定，致使需要進行分類討論，點C可以在點A的左側，也可以在點A的右側，這樣的點C有兩個.

三、遇到有兩個量大小不明確時需要討論

例3已知一次函數y=x+3的圖象與x軸，y軸分別交于A、B兩點.直線l經過原點，與直線AB交于C點；直線l把△AOB的面積分成2∶1兩部分，試求直線l的解析式.

解如圖3，過點C作CM⊥OA，垂足為M.

∵A(-3，0)，B(0，3) ∴S△AOB=4.5.

(1)若S△AOC∶S△BOC=2∶1，則S△AOC=3，即CM=2，求出點C坐標為(-1，2)，

∴直線l的解析式為y=-2x.

(2)若S△BOC∶S△AOC=2∶1，則S△AOC=1.5,

即CM=1，求出點C的坐標為(-2，1)，

∴直線l的解析式為y=-0.5x.

綜上所述，直線l的解析式為y=-2x或y=-0.5x.

歸納因S△AOC和S△BOC的大小不明確，可能是S△AOC∶S△BOC=2∶1，也可能是S△BOC∶S△AOC=2∶1，所以需要進行分類討論.

四、遇到有相等線段位置不確定時需要討論

∴A(-3，0)，B(0，4)，∴OA=3，OB=4.

(1)當點A為頂點時，此時有AB=AC,如圖4(2).

①若點C在A點的右側時，則點C的坐標是C(2，0),

②若點C在A點的左側時，則點C的坐標是C(-8，0).

(2)當點B為頂點時，此時有BA=BC,如圖4(3),

則點C的坐標是(3，0).

(3)當點C為頂點時，此時有CA=CB,如圖4(4).

歸納要使△ABC為等腰三角形，因沒有指明哪一個點為頂點(或哪一條邊為底邊)，所以要分(1)點A為頂點；(2)點B為頂點；(3)點C為頂點三種情況進行逐一分類討論.

五、遇到有k或b的符號不確定時需要討論

例5一次函數y=kx+b的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點，且S△AOB=4，OA∶OB=1∶2，試求一次函數的解析式.

∵OA∶OB=1∶2，

∴設OA=x，OB=2x(x>0)，則x·2x=8，即x=2(-2舍去),

∴OA=2，OB=4.

(1)當k>0，b>0時，一次函數y=kx+b的圖象過一、二、三象限，此時A(-2，0)，B(0，4).則一次函數的解析式為y=2x+4.

(2)當k>0，b<0時，一次函數y=kx+4的圖象經過一、三、四象限，則一次函數的解析式為y=2x-4.

(3)當k<0，b>0時，一次函數y=kx+4的圖象經過一、二、四象限，則一次函數的解析式為y=-2x+4.

(4)當k<0，b<0時，一次函數y=kx+b的圖象經過二、三、四象限，則一次函數的解析式為y=-2x-4.

綜上所述，一次函數解析式為y=2x±4或y=-2x±4.

歸納由S△AOB=4，OA∶OB=1∶2，可以求出OA和OB的長度，但由于k和b的符號不確定，k和b的值存在多種可能，所以需要分四種情況進行討論.

六、遇到有增減性不明確時需要討論

例6已知一次函數y=kx+b的自變量x的取值范圍是-2≤x≤6，相應的函數值y的取值范圍是-11≤y≤9，試求一次函數的解析式.

解(1)若函數y=kx+b為增函數,則一次函數y=kx+b圖象的兩個端點坐標分別是(-2，-11)和(6，9),即一次函數的解析式為y=2.5x-6.

(2)若函數y=kx+b為減函數，則函數y=kx+b圖象的兩個端點坐標分別是(-2，9)和(6，-11)，即一次函數的解析式為y=-2.5x+4.

綜上所述，一次函數的解析式是y=2.5x-6或y=-2.5x+4.

歸納由于一次函數y=kx+b中的k值符號未明確，因此函數的增減性也不確定，與之相對應的兩個端點的坐標同樣也不確定，所以需要進行分類討論.

總之，分類討論思想是研究數學極為重要的一種數學思想和解題方法.在解題中，重在考查思考數學問題的邏輯性、周密性和全面性，力求做到正確、合理和嚴謹的分類.