利用計(jì)數(shù)原理推廣帕斯卡法則及其相關(guān)的一個(gè)公式

常大全

(無(wú)錫城市職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇 無(wú)錫 214000)

公式1(帕斯卡法則的推廣)

這里1≤m≤n,1≤k≤n,l=min{k,m},h=max{0,m-(n-k)}。

證明：設(shè)a1,…,ak是這n個(gè)元素中的某k個(gè)元素，b1,…,bn-k是n個(gè)元素中這k個(gè)元素以外的元素。把這n個(gè)不同元素分為兩個(gè)集合A={a1,…,ak}和B={b1,…,bn-k}。從這n個(gè)元素取m個(gè)元素的組合過(guò)程可以分為以下若干類(lèi)。

……

……

或者：

令l=min{k,m}，那么這個(gè)最后一類(lèi)可以寫(xiě)作：

若m>n-2，則只能有m=n-1或n(因m≤n)。m=n-1時(shí)，

這樣就知道k+1命題的右端

同理，當(dāng)l=min{k,m}=m時(shí)，用數(shù)學(xué)歸納法也可證得結(jié)論成立。