微積分教學中幾個問題的思考

馬玉梅，劉 恒，周文書，王金芝，齊淑華

(大連民族大學 理學院，遼寧 大連 116650)

產生于16世紀的微積分是大學一年級相關專業的一門重要基礎課，學生通過基本微積分理論的學習，逐步提高分析問題與解決問題的抽象思維能力，為專業課程的進一步學習奠定基礎。學習數學追求嚴謹與美，解題不僅要求正確，邏輯清晰，思路簡潔也是必要的基本功。隨著信息時代計算機的普及，很多數學問題或者與數學緊密相關的問題常常在互聯網上展現。適當的快捷技巧是數學美的體現，但是經典數學的美不會隨著時間的流逝而褪色，符合數學的基本法理法則是教好數學學好數學的前提。

1 連續函數

在教材[1-4]中函數f在某點連續有如下定義:

1.1 一元函數連續

定義1.1 一元函數f(x)在點x0連續是指: 設函數f(x)在點x0的某鄰域U(x0)?R內定義, 若對任意給定ε>0, 存在δ>0, 當|x-x0|<δ時有: |f(x)-f(x0)|<δ。

下面的定義取自Patrick M. Fitzpatrick[5]。

定義1.2 一元函數f(x)在點x0連續定義是指: 設函數f(x)在集合D?R上定義, 若對任意給定ε>0, 存在δ>0, 當x∈D并且|x-x0|<δ時，有: |f(x)-f(x0)|<δ。

定義1.1與定義1.2有本質不同，定義1.1規定函數的定義域構成一個區間(連通集合),在該區間討論函數趨勢；定義1.2強調了函數的連續首選依賴于本身定義的集合D，然后再考慮函數趨勢。這里D可能是任何平面點集, 不一定是連通集。

1.2 二元函數連續

國內外教材均給出以下定義：

定義1.3 二元函數f(x,y)在點P0(x0,y0)連續定義是指: 設函數f(x,y)在點集D?R2上定義,P0∈D(它或者是D的聚點, 或者是D的孤立點)。若對任意給定ε>0, 存在δ>0,當(x,y)∈D并且d(P,P0)<δ時有: |f(x,y)-f(x0,y0)|<δ。

文獻[5]中一元函數、二元函數關于連續的定義是統一的，顯然具有更廣泛的意義。

如果D是有限點的集合，那么任何函數在D上都連續。進一步一個直觀的結論是每一個數列都在自然數集上連續。

事實上：設an=f(n)，對于任意n0∈N，任意給定ε>0，取0<δ<1時，n∈N∩{n,|n-n0|<δ}時, 有n=n0。于是|an-an0|=0<ε。

定義1.3除了有定義1.2的功能外主要是強調多元函數本身定義域的廣泛性，可以是曲線或曲面等等。 筆者建議數學專業教材《數學分析》中一元和多元函數的連續定義應該統一。這樣不僅教材上下冊中連續函數概念一致順延，同時也使學生加深理解函數的連續性是相對的概念，并為后續課程奠定基礎，易于學生理解和掌握拓撲學、泛函、流形上的微積分等相關課程。

2 無窮小相減可否等價替換

在以往教學中，無窮小加減情況一般不允許等價替換，任何微積分教科書中都有說明，此處省略。但在一些資料上仍然見到如下錯誤命題：

錯誤命題2.1[6]設α,β,α',β'都是無窮小量，若α～α',β～β'，且α,β不是等價無窮小，則：α-β可以用α'-β'替換。

文獻[7]給出數列情形的反例說明以上命題是錯誤的。本文給出另外一個反例。

當x→0時，α～α',β～β',且α,β不是等價無窮小。

那么，什么情況下無窮小量的差可以等價替換呢?事實上有如下結論(見參考文獻[4，8], 本文給出比較簡潔的證明)。

證明:

(1)

(2)

α-β可以用α'-β'替換。

雖然無窮小減法情況的等價替換問題看上去簡單，但容易出錯，多年來的實踐證明，對于初學者加減法時不建議使用等價替換，以免發生不必要的錯誤。

3 伯努利不等式問題

常用的伯努利不等式為：(1+h)n≥1+nh，(h≥0)；

在一般的教材中為(1+h)n≥1+nh，(h≥-1)；

更一般的[1]給出(1+h)r≥1+rh，(h≥-1,r∈R+)；

文獻[9]給出(1+h)n≥1+nh當且僅當h≥-2,該證明的后半部分有一處邏輯順序需要更正。

定理3.1 (1+h)n≥1+nh當n是偶數時恒成立。當n是奇數時當且僅當h≥-2成立。

證明: 充分性:假設h≥-2。

(1) 當n是偶數時, 當h≥-1時根據原來不等式有(1+h)n≥1+nh。

當h<-1時, (1+h)n≥0≥1-n≥1+nh，即當n是偶數的時候對h沒有限制。

(2) 假設n是奇數, 當n=1時等號成立,n=3時, (1+h)3≥1+3h。

假設n=2k-1時有(1+h)2k-1≥1+(2k-1)h,

這樣(1+h)2k+1=(1+h)2k-1(1+h)2≥[1+(2k-1)h](1+2h+h2)≥1+(2k+1)h+

h2(4k-2+(2k-1)h),

而:4k-2+(2k-1)h≥4k-2+(2k-1)(-2)=0，

于是:(1+h)2k+1≥1+(2k+1)h。

反之, 如果存在h0<-2, 記:h0=-2-α,α>0。

由于n是奇數, 這樣:

(1+h0)n-(1+nh0)=(-1-α)n-(1-2n-αn)=-(1+α)n-(1-2n-nα)。

所以當(1+h)n≥1+nh必有h≥-2。

下面給出Bernoulli 不等式的應用: Jacobsthal不等式 (Jacobsthal’s inequality)。

注3.3 在研究神經網絡的穩定性分析時用到了Jacobsthal不等式[10]，而Jacobsthal不等式的理論意義在于其等價Young不等式(p為自然數時)。

因此, 當p為自然數時, 上面不等式可以做到a≥-1,b>0。