分離矩陣歸一化的單通道盲源分離幅度不確定性校正方法

馬藝偉，肖 瑛

(大連民族大學(xué) 信息與通信工程學(xué)院，遼寧 大連 116605)

盲源分離是一種在源信號(hào)和混合矩陣未知的條件下，僅僅通過觀測(cè)信號(hào)獲得源信號(hào)估計(jì)的一種技術(shù)[1]。近年來，盲源分離技術(shù)在語音信號(hào)處理、地震信號(hào)處理、故障檢測(cè)等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[2-3]。但是，單通道盲源分離和盲源分離的不確定性，仍然是制約盲源分離在工程上推廣應(yīng)用的技術(shù)瓶頸問題。盲源分離的不確定性問題包括排列不確定性、相位不確定性和幅度不確定性[4]，其中排列不確定性與相位不確定性通常僅在通信信號(hào)處理中需要解決，在其他較多工程應(yīng)用中均不具有特別影響。而幅度作為信號(hào)統(tǒng)計(jì)特性分析的一個(gè)重要參數(shù)，對(duì)于信號(hào)的時(shí)域以及時(shí)頻域分析往往不能忽略。如在飛行器試驗(yàn)遙測(cè)振動(dòng)信號(hào)處理中，準(zhǔn)確獲得某路單通道振動(dòng)信號(hào)包含的獨(dú)立分量，并確定該分量的幅度，對(duì)于試驗(yàn)鑒定具有重要意義。

單通道盲源分離可看作欠定盲源分離的一種特例[5]，目前較為成功的是稀疏化盲源分離和分解擴(kuò)維的盲源分離方法。其中稀疏化盲源分離利用信號(hào)的稀疏特性或信號(hào)經(jīng)過頻域或時(shí)頻域轉(zhuǎn)換后的稀疏特性，通過濾波實(shí)現(xiàn)源信號(hào)的估計(jì)[6]，當(dāng)信號(hào)本身不具有稀疏特性，或在變換域中信號(hào)的頻譜或時(shí)頻譜具有交疊時(shí)，稀疏化盲源分離效果不佳。分解擴(kuò)維方法是將觀測(cè)信號(hào)進(jìn)行分解，得到多個(gè)分解分量實(shí)現(xiàn)觀測(cè)信號(hào)維數(shù)擴(kuò)展，將欠定問題轉(zhuǎn)化為正定問題，并在此基礎(chǔ)上利用傳統(tǒng)盲源分離方法實(shí)現(xiàn)源信號(hào)的估計(jì)，典型的如結(jié)合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解[7]、奇異值分解的ICA盲源分離方法[8]。而消除盲源分離幅度不確定性影響的主要方法為最小失真法[9]和分離矩陣能量歸一化方法[10]。其中最小失真法以分離信號(hào)與觀測(cè)信號(hào)方差最小為準(zhǔn)則，實(shí)現(xiàn)對(duì)分離信號(hào)幅度的校正，這一方法隱含了混合矩陣具有單位方差的約束，而信號(hào)的混合過程常常是未知的，因此這一方法的應(yīng)用范圍受限。分離矩陣能量歸一化方法強(qiáng)制所有信號(hào)的幅值以單位1為標(biāo)準(zhǔn)，在每個(gè)頻率段上以單位陣為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行統(tǒng)一伸縮，從而消除各頻率段上的幅度不確定性，而非平穩(wěn)信號(hào)中頻率的估計(jì)并不準(zhǔn)確，從而會(huì)使得分離矩陣能量歸一化方法的幅度校正方法失效或結(jié)果誤差較大。

基于單通道盲源分離和盲源分離幅度不確定性的已有研究成果，本文提出一種分離矩陣歸一化的單通道盲源分離幅度不確定性校正方法。利用小波分解實(shí)現(xiàn)單通道信號(hào)的擴(kuò)維，將單通道盲源分離轉(zhuǎn)換為正定盲源分離問題，再利用FastICA方法得到分離矩陣，對(duì)分離矩陣進(jìn)行歸一化處理，最后利用歸一化分離矩陣與小波分解擴(kuò)維信號(hào)相乘得到最終分離信號(hào)，實(shí)現(xiàn)對(duì)盲源分離過程中幅度不確定性的校正。此方法無需額外設(shè)定約束條件，相對(duì)于最小失真法適用范圍更廣，方法直接在時(shí)域分離矩陣上操作，與分離矩陣能量歸一化方法相比實(shí)現(xiàn)更為簡(jiǎn)單。仿真結(jié)果證明，文中提出的分離矩陣歸一化幅度校正方法在無噪聲干擾條件下校正相對(duì)誤差可以達(dá)到10-3，在信噪比大于15 dB條件下，校正相對(duì)誤差可達(dá)到10-2，幅度校正誤差小于最小失真法和分離矩陣能量歸一化方法，可滿足工程中信號(hào)處理分析需求。

1 盲源分離與幅度不確定性

X(t)=AS(t) 。

(1)

如果m=n，則式(1)中給出的混合模型的盲源分離模型稱為正定分離問題，此時(shí)約束混合矩陣A滿足非奇異且時(shí)不變，即分離矩陣A滿秩可逆，則一定可以得到一個(gè)逆矩陣使得式(2)成立。

Y(t)=WAS(t) 。

(2)

式中，Y(t)為源信號(hào)S(t)的估計(jì)。如果源信號(hào)滿足彼此獨(dú)立并且最多有一路為高斯噪聲信號(hào)的條件，分離矩陣W是可解的。如果m>n，即觀測(cè)信號(hào)的數(shù)目多于源信號(hào)的數(shù)目，稱其為超定盲源分離問題。根據(jù)矩陣變換原理，此時(shí)的混合矩陣可以簡(jiǎn)化為秩為m×m的矩陣形式，即超定問題一定可以簡(jiǎn)化為正定問題求解。更為普遍的情況是m

(3)

從最小失真法和分離矩陣能量歸一化方法的實(shí)現(xiàn)過程中可知，雖然最小失真法和分離矩陣能量歸一化方法均在一定條件下解決了盲分離幅度不確定性問題，但兩者都存在一定的局限性。最小失真法本質(zhì)上約束混合矩陣具有單位方差，這一條件在實(shí)際工程上往往難以保證，而分離矩陣能量歸一化方法涉及頻域變換，不僅存在能量泄漏帶來的誤差，同時(shí)對(duì)于非平穩(wěn)信號(hào)，以傅立葉變換為基礎(chǔ)的頻譜本身就無法保證其有效性。

2 結(jié)合小波變換的單通道盲源分離

將多分量單通道非平穩(wěn)信號(hào)分解得到單分量信號(hào)進(jìn)行分析，是故障信號(hào)檢測(cè)和分析的一般方法。目前，小波變換[13]、經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解[14]、局域均值分解[15]等方法在非平穩(wěn)信號(hào)處理中均取得了較好的效果。將非平穩(wěn)信號(hào)分解與盲源分離結(jié)合可以進(jìn)一步保證分解分量信號(hào)的正交性，獲得更好的處理結(jié)果。文中結(jié)合小波變換和盲源分離實(shí)現(xiàn)單通道信號(hào)的處理和分析，處理流程如圖1。

在非平穩(wěn)信號(hào)的各種分解方法中，小波變換具有嚴(yán)格正交性，同時(shí)小波變換基函數(shù)包含尺度因子和平移因子，可以根據(jù)信號(hào)頻率內(nèi)容的不同得到更為精細(xì)的分解結(jié)果，因此小波變換在非平穩(wěn)信號(hào)的處理中具有獨(dú)特優(yōu)勢(shì)，根據(jù)Mallat算法[16]可以方便實(shí)現(xiàn)小波的分解與重構(gòu)。

雖然單通道多分量信號(hào)x(t)經(jīng)過小波分解可以得到一系列小波分量yi(t)，(i=1,2,…,m)，但由于小波分解層數(shù)和小波分解基函數(shù)的選擇不同，小波分解的性能也有所不同，因此得到的小波分量yi(t)一般不會(huì)達(dá)到理想的分析結(jié)果。以小波分解分量作為盲源分離的觀測(cè)信號(hào)進(jìn)行盲源分離，可以進(jìn)一步保證分量信號(hào)之間的正交性，得到分離后的信號(hào)分量xi(t)，(i=1,2,…,m)。在xi(t)基礎(chǔ)上進(jìn)行信號(hào)頻域或時(shí)頻域的處理，將更有利于得到清晰的處理結(jié)果，如采用xi(t)進(jìn)行WVD求解信號(hào)的時(shí)頻分布可以有效避免交叉項(xiàng)干擾問題[17]。

3 分離矩陣歸一化幅度校正方法

針對(duì)盲源分離幅度不確定性問題，提出一種簡(jiǎn)單易實(shí)現(xiàn)的分離矩陣歸一化幅度校正方法。根據(jù)單通道盲源分離的實(shí)現(xiàn)過程可知，利用小波分解后的細(xì)節(jié)分量和近似分量求和可以還原單通道多分量信號(hào)，即在單通道盲源分離模型中，等效的混合矩陣并未改變信號(hào)中各個(gè)分量的幅度信息，因此，經(jīng)盲源分離得到的各個(gè)分離分量幅度的變化是由分離矩陣引起的。設(shè)經(jīng)盲源分離算法估計(jì)得到的分離矩陣如式(4)。

(4)

那么分離信號(hào)Y(t)可以表示為

Y(t)=WX(t) 。

(5)

根據(jù)矩陣系數(shù)乘積展開后可以得到

(6)

根據(jù)式(6)可知，分離信號(hào)Y(t)可以表示成為分離矩陣W與觀測(cè)信號(hào)X(t)的線性組合，那么如果保證經(jīng)過分離后信號(hào)的幅度保持不變，則對(duì)于分離矩陣的每一列必然要求式(6)成立。

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

4 仿真實(shí)驗(yàn)

仿真中利用三個(gè)中心頻率不同的正弦信號(hào)疊加模擬多分量單通道信號(hào)，采樣頻率fs=2 048Hz，三個(gè)正弦信號(hào)的中心頻率分別為f1=5Hz，f2=20Hz，f3=100Hz。

(12)

其中幅度系數(shù)bi分別設(shè)置為b1=2、b2=3、b3=5，仿真信號(hào)的時(shí)域波形如圖2。

實(shí)際應(yīng)用中，單通道盲源分離需要事先確定源信號(hào)中獨(dú)立分量數(shù)目，本文采用邊際譜峰值確定源信號(hào)中所包含的獨(dú)立分量數(shù)目[18]，仿真信號(hào)的邊際譜如圖3，從圖中可以確定源信號(hào)中包含3個(gè)獨(dú)立分量。

對(duì)仿真信號(hào)利用小波變換進(jìn)行分解，分解層數(shù)設(shè)置為6，小波基函數(shù)選擇db30，并重構(gòu)小波細(xì)節(jié)分量和近似分量，依據(jù)各層分量所包含頻率內(nèi)容，將小波分解分量組合為3路觀測(cè)信號(hào)，然后利用FastICA算法進(jìn)行盲源分離。在FastICA算法中設(shè)置最大迭代次數(shù)為5 000，學(xué)習(xí)步長為0.005。分離后的信號(hào)如圖4。

從圖4中可知，經(jīng)過盲源分離后的各個(gè)分量幅度均發(fā)生了畸變，利用FastICA算法估計(jì)得到分離矩陣W，并根據(jù)式(9)和式(11)對(duì)分離后的信號(hào)進(jìn)行幅度校正，校正結(jié)果如圖5。

由FastICA算法得到分離矩陣W為

(13)

計(jì)算得到校正系數(shù)

λ=[-0.2805 0.4703 -0.7003] 。

(14)

(15)

經(jīng)過歸一化分離矩陣進(jìn)行幅度校正后，分離分量信號(hào)的幅度均接近對(duì)應(yīng)的仿真信號(hào)分量幅度。為了量化說明幅度校正結(jié)果，利用幅度校正后的分離信號(hào)與對(duì)應(yīng)源信號(hào)分量方差的殘差評(píng)價(jià)幅度校正精度。

δj=|σyj-σsj| ，j=1,2,3 。

(16)

計(jì)算可得δ1=0.001,δ2=0.005,δ3=0.004，說明分離矩陣歸一化盲源分離幅度不確定性校正方法具有較高的精度，而最小失真法和分離矩陣能量歸一化方法幅度校正后的殘差均大于本文提出方法。為進(jìn)一步說明分離矩陣歸一化幅度校正方法的有效性，在仿真信號(hào)中加入噪聲，驗(yàn)證在噪聲干擾條件下該方法的性能，以幅度校正后的分離信號(hào)與源信號(hào)方差的殘差平均值作為幅度校正精度，與最小失真法、分離矩陣能量歸一化方法進(jìn)行比較，進(jìn)行500次蒙特卡洛仿真的結(jié)果如圖6。

從圖6可知，最小失真法在信噪比較低的條件下幅度校正精度優(yōu)于分離矩陣能量歸一化方法，而當(dāng)信噪比大于20 dB時(shí)，分離矩陣能量歸一化方法幅度校正精度優(yōu)于最小失真法，說明分離矩陣能量歸一化方法受噪聲影響較大。本文提出的分離矩陣歸一化幅度校正方法在不同信噪比條件下均有最高的幅度校正精度。

(17)

5 結(jié) 語

針對(duì)盲源分離幅度不確定性問題，在深入分析幅度不確定性產(chǎn)生原因的基礎(chǔ)上，通過小波變換擴(kuò)維方法解決了單通道盲源分離問題，并利用分離矩陣歸一化方法對(duì)分離信號(hào)幅度進(jìn)行校正，仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明分離矩陣歸一化方法實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，具有較高的校正精度。盲源分離特別是單通道盲源分離幅度不確定性問題的解決，對(duì)推進(jìn)盲源分離技術(shù)的工程應(yīng)用具有實(shí)際意義，是解決信號(hào)頻域或時(shí)頻域幅度能量準(zhǔn)確獲取和分析的前提。在單通道盲源分離問題中，單通道信號(hào)所包含信號(hào)源數(shù)目的準(zhǔn)確判別仍有待進(jìn)一步的研究。