斯涅爾定律及其推廣和應(yīng)用*

凌曉輝 王友文 戴志平

(衡陽師范學(xué)院物理與電子工程學(xué)院 湖南 衡陽 421002)

反射和折射定律是光學(xué)和電磁學(xué)課程的基本知識點，描述了光波(電磁波)在界面反射和折射時所遵循的基本法則，由荷蘭科學(xué)家斯涅爾(Snell，1580-1626)首次提出，并因此而得名. 斯涅爾定律的基本內(nèi)容[1]：入射、反射和折射光線位于同一面內(nèi)，入射角等于反射角(反射定律可以看成是斯涅爾定律的一個特例)，且折射角與入射角滿足如下關(guān)系

n2sint=n1sini

(1)

這里n1和n2為界面兩側(cè)媒質(zhì)的折射率，i和t分別為入射角和折射角. 這一定律是物理學(xué)中的經(jīng)典定律，適合于電磁波、聲波等.

斯涅爾定律看似簡單，實則博大精深，蘊(yùn)含了能量守恒、動量守恒和角動量守恒等基本物理規(guī)律. 然而，實際上斯涅爾定律一直都在發(fā)展，新的科學(xué)發(fā)現(xiàn)不斷賦予它新的內(nèi)涵和外延.近年來，斯涅爾定律被科學(xué)家們極大地拓展，產(chǎn)生了許多新的研究前沿，如負(fù)折射[2]、超構(gòu)材料[3,4]、超構(gòu)表面[5～7]和光的自旋霍爾效應(yīng)[8～12].本文將在介紹經(jīng)典斯涅爾定律的基礎(chǔ)上，引入斯涅爾定律的幾項重要拓展，討論其在上述前沿領(lǐng)域的推廣和應(yīng)用.

1 假設(shè)折射率為負(fù)數(shù) 斯涅爾定律會導(dǎo)致什么現(xiàn)象？

當(dāng)折射媒質(zhì)的折射率為負(fù)數(shù)時，會發(fā)生什么現(xiàn)象？此時斯涅爾定律是否仍然適用？經(jīng)典的斯涅爾定律顯示，當(dāng)界面兩邊媒質(zhì)的折射率均為正數(shù)時，折射光線與入射光線居于法線的兩側(cè)，即正折射. 然而，當(dāng)出射媒質(zhì)的折射率為負(fù)值時，折射光線將與入射光線居于法線的同側(cè)，這種異常折射被稱為負(fù)折射(圖1). 這一結(jié)論可由式(1)直接得出，即當(dāng)n2<0時，折射角t也必然為負(fù)，也就是說，入射光線與折射光線位于法線的同側(cè).

負(fù)折射由前蘇聯(lián)科學(xué)家Veselago在1968年首次提出[2]，然而他的論文發(fā)表后一直沒有受到人們太多的關(guān)注. 因為負(fù)折射率材料要求材料的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率同時為負(fù)值，但迄今為止，自然界中沒有找到這樣的材料. 那能否人工合成負(fù)折射率材料呢？2000年，美國加州大學(xué)Smith等人首次設(shè)計出微波段的人工等效負(fù)折射率材料，并在實驗上驗證了負(fù)折射現(xiàn)象[3].負(fù)折射率材料具有許多新穎的物理性質(zhì)，如平板成像、超透鏡、反常多普勒效應(yīng)、逆切倫科夫輻射等，因此被稱為超構(gòu)材料[4].超構(gòu)材料是近20年來的研究熱點，引起了光電子學(xué)、電磁學(xué)、材料物理、凝聚態(tài)物理、微波、天線等學(xué)科革命性的變化和發(fā)展，在信息、能源、國防等領(lǐng)域具有重要的應(yīng)用前景. 它被美國Science雜志列為21世紀(jì)前10年的十大重要科學(xué)進(jìn)展之一，更被美國國防部列為六大顛覆性技術(shù)之一.

圖1 光在兩種媒質(zhì)界面的反射和折射

2 在界面上加一個橫向相位梯度會發(fā)生什么現(xiàn)象？

從動量守恒的角度看，入射光、反射光和折射光在平行于界面方向的波矢分量應(yīng)當(dāng)相等，即

k1sini=k1sinr=k2sint

(2)

試想，如果人為地在界面上加一個橫向的相位梯度(即加一個橫向的波矢分量kx)，將會發(fā)生什么現(xiàn)象？斯涅爾定律要做什么樣的修正？此時式(2)變?yōu)?/p>

k1sini+kx=k1sinr=k2sint

(3)

這里kx=Φx,且Φx為沿x方向的線性梯度相位，因此kx為常數(shù). 此時反射角和折射角都將得到修正，式(3)也被稱為廣義斯涅爾定律[5].很容易由該定律得知，光垂直入射時(入射角為零)，反射和折射角將不再為零. 以反射為例，如圖2所示，當(dāng)入射光垂直入射時，隨著相位梯度逐漸增大，反射角也將逐漸增大. 當(dāng)相位梯度滿足kx>k0時，光束將不再反射，而是變?yōu)檠刂缑鎮(zhèn)鞑サ谋砻娌╗6,7].現(xiàn)在的問題是，如何實現(xiàn)這種線性的相位梯度？

圖2 廣義斯涅爾定律. 橫向的相位梯度使光產(chǎn)生 異常反射(或折射)，甚至變成表面波

美國哈佛大學(xué)Capasso教授等人在 2011年率先提出廣義斯涅爾定律[5]，并用等離子超構(gòu)表面在實驗上實現(xiàn)了界面的線性相位梯度. 這種超構(gòu)表面由亞波長的“超原子”構(gòu)成，每個“超原子”結(jié)構(gòu)參數(shù)不同，按一定規(guī)則排列，使反射和折射光波產(chǎn)生不同的相位響應(yīng)，從而可實現(xiàn)線性的相位梯度. 超構(gòu)表面的厚度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于波長，因此可以看成是二維的超構(gòu)材料，能夠在波長和亞波長尺度有效地調(diào)控光波的偏振、相位、振幅、波前等性質(zhì)，在光學(xué)、納米光子學(xué)、等離子光學(xué)等領(lǐng)域具有重要應(yīng)用前景.

3 非平面波入射時 斯涅爾定律又將如何起作用？

理想光線和平面波嚴(yán)格遵循斯涅爾定律，入射、反射和折射光線處于同一個平面之內(nèi). 而對于實際光束或波包，由角譜理論可知[1]，可以看成是由許多具有稍微不同的傳播方向的平面波相干疊加而成，它的反射和折射行為又將如何？此時，反射(折射)光束是由不同入射角平面波的反射(折射)的疊加，它將表現(xiàn)為光束發(fā)生垂直于入射面的、自旋相關(guān)的橫向位移，即光的自旋霍爾效應(yīng),如圖3所示[8～12].

光的自旋霍爾效應(yīng)為操控光的自旋和軌道角動量提供了前所未有的手段，在精密計量、信息處理以及自旋霍爾光子器件等方面具有重要的應(yīng)用潛力[9,12,13]. 從角動量守恒的角度看，由于界面具有旋轉(zhuǎn)不變性，z方向的角動量應(yīng)該守恒. 光束發(fā)生反射和折射時，自旋角動量發(fā)生改變，因為光的自旋角動量的方向與光的傳播方向平行. 由于z方向的總的角動量守恒，因此自旋角動量的變化量會轉(zhuǎn)化為軌道角動量，這種軌道角動量體現(xiàn)為橫向的自旋霍爾位移[13]. 然而這種自旋-軌道耦合效應(yīng)非常微弱，其導(dǎo)致的橫向位移也非常微小，一般處于亞波長量級(波長的數(shù)十分之一). 因此長期以來，這一效應(yīng)并未被人們所觀察到.2008年，美國科學(xué)家引入量子弱測量技術(shù)，將自旋霍爾位移放大數(shù)千倍，從而首次在實驗上觀測到了光的自旋霍爾效應(yīng)[9].之后，這一領(lǐng)域得到了越來越多研究者的關(guān)注. 近年來，隨著納米光子學(xué)、近場光學(xué)、等離子光學(xué)、拓?fù)涔庾訉W(xué)等領(lǐng)域的迅速發(fā)展，亞波長尺度的光子自旋霍爾效應(yīng)變得越來越重要，因為這些領(lǐng)域本身研究的就是波長和亞波長尺度的效應(yīng)[12,13].

圖3 光的自旋霍爾效應(yīng).線偏振高斯光束入射到界面時，其 左、右旋圓偏振分量產(chǎn)生垂直于入射面的、微小的橫向位移

值得一提的是，在全反射的情況下，反射光束除了產(chǎn)生橫向的自旋霍爾位移，還會發(fā)生位于入射面內(nèi)的、側(cè)向的古斯-漢森(Goos-H?nchen)位移，大小一般也在波長量級. 1947年，古斯-漢森位移首次在實驗上被觀察到，已為人們所熟知，相關(guān)內(nèi)容見諸于各種光學(xué)教科書[1].其產(chǎn)生的機(jī)制與光的自旋霍爾效應(yīng)雖有不同，但本質(zhì)上都可以認(rèn)為是由于光束中各平面波分量具有不同的入射角而造成的，兩種效應(yīng)可以在理論上被統(tǒng)一地描述起來[14].

4 結(jié)論

斯涅爾定律是一個經(jīng)典的物理定律，具有豐富的內(nèi)涵和外延，雖然在幾百年前已被發(fā)現(xiàn)，但仍在不斷地迸發(fā)新的生命力. 本文簡要介紹了近年來斯涅爾定律在負(fù)折射、超構(gòu)材料或表面、光的自旋霍爾效應(yīng)等科學(xué)前沿的推廣和應(yīng)用. 在斯涅爾定律的實際教學(xué)過程中，可以通過文中所討論的幾個啟發(fā)性的提問，將其與最新的科學(xué)研究前沿聯(lián)系起來，促使學(xué)生積極思考、發(fā)現(xiàn)問題，從而開拓學(xué)生的視野，激發(fā)學(xué)生的想象力和學(xué)習(xí)物理的興趣，以達(dá)到事半功倍的教學(xué)效果.