基于擬合改進的徑流灰色預測模型研究

武桂芝 王程

摘?要：經典灰色模型可用于水文徑流預測，但其預測精度較差。為了提高模型精度，基于經典灰色理論，對累加后的數據進行精度更高的多項式擬合，建立基于擬合改進的徑流灰色預測模型。該模型簡單易行，且計算精度和效率較高。通過對三門峽水庫的入庫徑流資料進行經典和擬合改進灰色預測，表明擬合改進灰色預測模型可有效地對徑流進行預測，預測精度較經典灰色模型有較大提高。

關鍵詞：徑流預測;灰色預測模型;擬合改進;三門峽水庫

中圖分類號：P338;O159;TV882.1?文獻標志碼：A

doi：10.3969/j.issn.1000-1379.2020.10.007

Research on Runoff Grey Prediction Based of Improved Fitting

WU Guizhi1， WANG Cheng2

（1.Henan Vocational College of Water Conservancy and Environment， Zhengzhou 450008， China;

2.Information Center， Henan Yellow River Bureau， Zhengzhou 450004， China）

Abstract：Classical grey model can be used into hydrologic runoff prediction， but has bad prediction accuracy. Based on the classical grey theory， this paper utilized polynomial fitting to higher precision fit cumulative data and built improved runoff grey prediction model. This model could be easily used and realized by program， and also had high calculation accuracy and efficiency. By predicting inflow runoff of Sanmenxia Reservoir through classical and improved grey prediction， it shows that the latter method can effectively predict runoff and has improved calculation accuracy.

Key words： runoff prediction; grey prediction model; improved fitting; Sanmenxia Reservoir

1?引?言

徑流預測是指根據前期或現時已出現的水文、氣象等信息對徑流進行定量或定性預報，是水利水電工程設計、施工和運行管理的重要依據，如何對徑流進行精確預測是水利工程設計與運行的關鍵問題之一[1]。

目前針對徑流預測已有統計預測法[2]、人工神經網絡預測法[3-4]及機理模型預測法[5-6]等多種預測方法。灰色系統模型是統計預測法中應用較廣泛的，由于灰色系統模型不需要大的統計樣本和數據的規律性分布，且模型簡單易行，因此在徑流預測中得到廣泛應用[7-8]。灰色系統有多個預測模型，其中常用的是灰色系統經典模型，即GM（1，1）模型。灰色系統經典模型適用于累加（累減）后呈指數平滑分布的數據序列，如果累加（累減）后的數據分布與指數分布吻合度較差，那么灰色系統經典模型的適用性就會減弱。徑流資料不確定性強、統計規律較差，導致灰色系統經典模型在進行徑流預測時容易出現較大誤差。

筆者針對灰色理論指數擬合的精度問題，提出精度更高的多項式擬合，該計算模型僅對累加后數據進行高次擬合，精度較經典灰色模型有所提升。

2?基于擬合改進的灰色理論預測模型

灰色系統理論是通過對系統某一相關方面的觀測數據加以數學處理，從而達到了解系統內部總體變化趨勢、相互關系的一種理論。“灰色”是相對于“黑色”和“白色”而言的，“黑色”表示信息缺乏，“白色”表示信息完整，而“灰色”則表示信息不完整、不完備。

灰色系統建模的基本思想是對無規則的原始數據進行處理（累加或累減），生成可尋找出內在規律的數據序列，進而再進行建模預測。將時間序列轉化為微分方程，從而建立抽象系統發展的動態變化模型，可對系統的發展作出相關預測。灰色系統預測具有準確性好、需要原始數據少、數據處理簡單、可靠性高等特點，已在多個領域得到廣泛應用。

灰色系統經典模型GM（1，1）是一個近似指數型發散的預測模型，由一個一階方程和一個預測變量模型組成，適用于累加（累減）序列近似服從指數分布規律的系統。其模型建立與預測規則如下。

（1）設長度為n的原始數據序列為

X（0）=（x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n））（1）

式中：x（0）（n）為數據序列中的第n項。

（2）判斷建模的可行性，進行級比檢驗：

σ（k）=X（0）（k-1）X（0）（k）?（k=1，2，…，n）（2）

式中：σ（k）為原始數據序列X（0）的第k-1項與第k項的比值。

若-2en+1≤σ（k）≤2en+1，則該序列可采用GM（1，1）建模并進行預測。

（3）對數據序列X（0）進行累加處理，得新序列X（1）。

X（1）=（x（1）（1），x（1）（2），…，x（1）（n））（3）

其中x（1）（i）=∑ik=1x（0）（k）。

式中：序列X（1）為對原始數據序列X（0）作一次累加得到的新序列。

（4）由序列X（1）可建立一階微分方程

dx（1）dt+ax（1）=b（4）

式中：a、b均為待定參數，其中a為發展系數，b為灰作用量。

（5）令Z（1）=（z（1）（2），…，z（1）（n）），其中z（1）（i）=0.5[x（1）（i）+x（1）（i-1）]。參數列可表示為

P1=（BTB）-1BTYTn=[a，b]T（5）

BT=-z（1）（2）-z（1）（3）…-z（1）（n）11…1（6）

YTn=[x（0）（2），x（0）（3），…，x（0）（n）]（7）

式中：BT為2×n的矩陣，YT為1×n的矩陣。

（6）采用最小二乘法計算發展系數：

Y（1）（k+1）=[X（0）（1）-ba]e-ak+ba（8）

因Y（1）（k+1）是通過累加計算得出的，故需還原數據得到預測的實際值，即

Y（0）（k+1）=Y（1）（k+1）-Y（1）（k）?（k=1，2，…，n）（9）

式中：Y（0）（k+1）為原始數據序列的第k+1項;序列Y（1）（k+1）、Y（1）（k）分別為對原始數據序列Y（0）作一次累加，得到新序列Y（1）中的第k+1、k項。

筆者提出的灰色系統改進模型引入擬合多項式作為累加（累減）后的“微分方程式”，通過擬合后的多項式建立數據統計規律，對新序列進行預測分析，將累加（累減）后得到的值作為改進模型的灰色預測值。該模型對數據的適應性強，可針對數據進行高精度的數據擬合，從而得到較為精確的預測值。對式（9）進行多項式擬合，生成了新序列Y（1）。

Y（1）（i）=a0+a1i1+…+akik+…+amim?（i=1，2，…，n） （10）

式中：ak為擬合多項式的系數;m為多項式的最高次冪。

由于新序列Y（1）是對X（1）序列進行預測得到的，因此對Y（1）進行累減可生成預測實際值Y（0）。

Y（0）（i+1）=Y（1）（i+1）-Y（1）（i）?（i=1，2，…，n）（11）

式中：Y（0）（i+1）為原始序列的第i+1項;序列Y（1）（i+1）、Y（1）（i）分別為對原始序列Y（0）作一次累加后得到新序列Y（1）的第i+1、i項。

改進灰色理論預測模型不改變灰色系統經典模型內部的運行機理及其適用范圍，僅對累加后數據進行更高精度擬合，在不影響計算效率的基礎上，預測精度有較大提高。

3?實例分析

3.1?實例選擇

選擇三門峽水庫對本研究構建的徑流預測系統進行驗證。三門峽水庫是黃河上的第一座大型水利樞紐工程，1957年正式投入使用，是治黃工程體系最重要的組成部分，擔負著黃河下游防洪、防凌的重任。

3.2?入庫徑流分析

采用參考文獻[7]中三門峽水庫1968—1993年共26 a的入庫徑流量作為分析數據，年徑流量變化過程及其趨勢線如圖1所示。水庫多年平均入庫徑流量為376.94億m3，其中最大徑流過程發生在1968年，為527.2億m3，最小徑流過程發生在1974年，為307.4億m3。

為對入庫徑流過程進行水文分析，將多年徑流量序列按年徑流量從大到小進行排頻，并采用P-Ⅲ型曲線進行擬合，擬合成果如圖2所示。

根據年徑流量P-Ⅲ型曲線擬合結果，分別選擇對應頻率P=5%、25%、50%、75%、95%的年份作為特豐年、豐水年、平水年、枯水年、特枯年，并在三門峽實際入庫徑流過程中選擇對應的典型年進行分析，其對應關系見表1。

對豐水年、平水年和枯水年的設計年徑流量與水庫實際的多年徑流過程進行比較，如圖3所示。

通過對表1及圖3的分析可知，本研究選擇的三門峽水庫的入庫徑流過程包括特豐年（5%頻率）、豐水年（25%頻率）、平水年（50%頻率）、枯水年（75%頻率）和特枯年（95%頻率），水文徑流過程具有一定的代表性。

3.3?徑流預測分析

以1968—1988年作為原始數據年份，以1989—1993年作為預測徑流年份，并對1989—1993年的預測年徑流量與實測年徑流過程進行對比分析。

對選取的1968—1988年的年徑流資料進行累加生成新的序列，分別對其進行經典灰色理論指數擬合和改進灰色理論多項式擬合，擬合結果的相對誤差如圖4所示。可以看出，改進灰色理論擬合的相對誤差較經典灰色理論有所減小，經典灰色理論擬合相對誤差平均值為1.48%，而改進灰色理論擬合相對誤差平均值僅為0.93%。

利用經典灰色預測模型和改進灰色預測模型對三門峽水庫1989—1993年的年徑流過程進行預測，并與實際徑流過程進行對比，見圖5和表2。

由圖5及表2可知，經典灰色理論模型和改進灰色理論模型均可以對徑流過程進行預測，且預測結果與實測徑流過程的趨勢均吻合。經典灰色理論擬合預測數據呈直線上升，與實測徑流量吻合較差，而改進灰色理論預測數據呈二次曲線分布，且變化規律與實測徑流量較為吻合，原因是改進灰色理論預測模型對累加數據進行了誤差更小的多項式擬合，消除了累加數據的擬合誤差。

由表2可知，經典灰色理論模型的預測相對誤差平均值為13.15%，最大預測相對誤差為14.37%，最小預測相對誤差為12.55%;改進的灰色理論模型的預測相對誤差平均值僅為5.07%，最大預測相對誤差為9.60%，最小預測相對誤差為1.61%，預測精度有較大幅度提高。可見，在采用灰色預測模型進行徑流預測時，可以采用本研究提出的預測精度更高的改進灰色預測模型進行預測。

4?結?語

改進灰色理論預測模型不改變灰色系統經典模型內部的運行機理及其適用范圍，僅對累加后數據進行更高精度擬合，改進后的模型在三門峽入庫徑流預測中的應用表明，在不影響計算效率的基礎上，其預測精度有較大提高。

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【責任編輯?張?帥】