高壓油管的壓力控制

郭士康 沈家輝

摘要：高壓油管是高壓油路的組成部分，油管要能承受一定的油壓而有一定的疲勞強(qiáng)度，保證管路的密封要求。車用高壓油管主要出現(xiàn)在高壓噴射的柴油機(jī)和高壓噴射的直噴汽油機(jī)中，能承受發(fā)動機(jī)運(yùn)轉(zhuǎn)過程中所需的油壓。本論述主要結(jié)合2019年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽A題，在高壓燃油系統(tǒng)中，將燃油視作均質(zhì)流體運(yùn)用流體力學(xué)、阿伏伽德羅定律和伯努利方程，建立數(shù)學(xué)模型，研究單向閥、高壓油泵以及凸輪等部件對燃油進(jìn)入和噴出的間歇性T作過程、高壓油管內(nèi)壓力變化、發(fā)動機(jī)的工作效率等方面的影響。

關(guān)鍵詞：阿伏伽德羅定律;伯努利方程;流體力學(xué);數(shù)學(xué)模型

中圖分類號：TK421+.4

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

1概述

高壓油管是高壓油路中的重要組成部分，隨著我國機(jī)械工業(yè)的快速發(fā)展，高壓油管被應(yīng)用于各個行業(yè)之中，其工作效率和優(yōu)越的性能得到了極大的認(rèn)可[1]。其用途十分廣泛，如用于汽車、柴油機(jī)、挖掘機(jī)等。這決定了高壓油管品種的多樣性和復(fù)雜性，進(jìn)而要求高壓油管具備高質(zhì)量和高性能。研究高壓油管對提高發(fā)動機(jī)效率、推進(jìn)機(jī)械工業(yè)及其他產(chǎn)業(yè)的發(fā)展具有重大意義。

2模型建立與求解

2.1問題一模型的建立與求解

問題（1）：高壓油泵在入口處提供的壓力恒為160MPa，高壓油管內(nèi)的初始壓力為100MPa。如果要將高壓油管內(nèi)的壓力盡可能穩(wěn)定在100MPa左右，如何設(shè)置單向閥每次開啟的時長？如果要將高壓油管內(nèi)的壓力從100MPa增加到150MPa，且分別經(jīng)過約2s、Ss和10s的調(diào)整過程后穩(wěn)定在150MPa，單向閥開啟的時長應(yīng)如何調(diào)整？

問題（2）：在實際工作過程中，高壓油管的燃油來自高壓油泵的柱塞腔出口，噴油由噴油嘴的針閥控制。凸輪驅(qū)動柱塞上下運(yùn)動，柱塞向上運(yùn)動時壓縮柱塞腔內(nèi)的燃油，當(dāng)柱塞腔內(nèi)的壓力大于高壓油管內(nèi)的壓力時，柱塞腔與高壓油管連接的單向閥開啟，燃油進(jìn)入高壓油管內(nèi)。針閥升程為0時，針閥關(guān)閉;針閥升程大于0時，針閥開啟，燃油向噴孔流動，通過噴孔噴出。在問題1的基礎(chǔ)上，確定凸輪的角速度，使得高壓油管內(nèi)的壓力盡量穩(wěn)定在100MPa左右。

問題（3）：在問題2的基礎(chǔ)上，再增加一個噴油嘴，每個噴嘴噴油規(guī)律相同，噴油和供油策略應(yīng)如何調(diào)整？為了更有效地控制高壓油管的壓力，現(xiàn)計劃在D處安裝一個單向減壓閥。單向減壓閥打開后高壓油管內(nèi)的燃油可以在壓力下回流到外部低壓油路巾，從而使得高壓油管內(nèi)燃油的壓力減小。請給出高壓油泵和減壓閥的控制方案。

2.2問題一模型的建立與求解

溫度、溶解度與黏性條件如下：

分子間熱運(yùn)動加劇，會導(dǎo)致高壓油管的溫度上升。溫度驟然發(fā)生變化時，容易導(dǎo)致油管壁的材料、形狀等發(fā)生變化，從而使得問題無法求解。故在進(jìn)油與出油過程中，將高壓油管內(nèi)視為恒高溫狀態(tài)，油管的一系列參數(shù)都可近似等效為不變。由于在高溫條件下，液體對氣體的溶解度大大降低。為簡化計算過程，將燃油對管內(nèi)氣體A的溶解度視為0。

自然界中的實際流體都具有粘性，所以實際流體又稱粘性流體，是指流體質(zhì)點間可流層間因相對運(yùn)動而產(chǎn)生摩擦力而反抗相對運(yùn)動的性質(zhì)。對于一定的液體，內(nèi)摩擦力F與兩流體層的速度差△u成正比，與兩層之間的垂直距離△v成反比，與兩層間的接觸面積S成正比，即：

F=u△u/△y·s

（1）

根據(jù)阿伏伽德羅定律定律p·v=n·R·T，同溫，同物質(zhì)量的情況下，V越大，P越小。

由題意可得，問題一中的隱藏條件為：針閥以100ms為一個工作周期，1s內(nèi)工作10次。每個工作周期包含實際工作時間2.4ms和虛擬工作時間97.6ms。根據(jù)這個隱藏條件，我們可以得出：在一定時間內(nèi)，進(jìn)油量等于出油量時，高壓油管內(nèi)的壓力才能近似保持為100MPa[2]。

而為了使管內(nèi)壓強(qiáng)在2s、5s、10s內(nèi)迅速上升到150MPa，就必須在管內(nèi)積累一定量的燃油，才能使管內(nèi)壓強(qiáng)上升。并在2s、5s、10s之后，再調(diào)整進(jìn)油口的速率，穩(wěn)定管內(nèi)壓力為150MPa。

根據(jù)題中已知條件，可得高壓油管最大容量，A口單位時間內(nèi)的進(jìn)油速率由以下方程組可得：

QA=C×A×√2△P/ρ

A=pj×（dA/2）^2

△P=160-100

ρ150MPa=ρ100MPa+ρ×△P/E

（2）

B口在一個周期100ms內(nèi)的出油量，由圖1可知：

得到在100 ms內(nèi)YB為44mm3。

然而單向閥開關(guān)控制供油時間的長短，單向閥每打開一次就需要關(guān)閉10ms。為了穩(wěn)定高壓油管內(nèi)的壓力為100MPa，假定在以100ms為一個周期的時間內(nèi)，進(jìn)油量與出油量需近似相等，即Y進(jìn)=Y出=44，設(shè)N為在單位時間內(nèi)，單向閥的關(guān)閉次數(shù)，則可以得到以下平衡式：

Y進(jìn)=Y出

（t+10）*N=100

Y進(jìn)=15.34*t*N

Y出=44

（3）

可求得單向閥供油時間。

將高壓油管內(nèi)的壓力從100 MPa分別在2s、5s、10s內(nèi)增加到150MPa，隨后穩(wěn)定在150MPa。

可以分兩個步驟解決這個問題：

（1）從0到n秒進(jìn)油速率大于出油速率，使高壓油管內(nèi)的壓力從100MPa達(dá)到150MPa;

（2）在n秒后，進(jìn)油速率等于出油速率，高壓油管內(nèi)的壓力不再變化。

建立數(shù)學(xué)模型找出壓力與時間的關(guān)系如圖2所示。

為了使高壓油管的壓力在給定時間內(nèi)從100MPa上升到150MPa，并穩(wěn)定下來。需要在第一階段使管內(nèi)壓力增加，燃油在管內(nèi)堆積，由阿伏伽德羅定律可得：

V管×P100MPa=（V管-V燃油）×P150MPa

Y進(jìn)=44×（2000/100）

Y進(jìn)=15.34×t×N

（t+10）×N=2000

V燃油=Y進(jìn)-Y出

（4）

根據(jù)此方程組可解得不同條件第一階段單向閥每次開啟時間t1。

根據(jù)QA=C×A×√2△P/ρQA計算A口的流量Q1變動之后的值。

第二階段為了將管內(nèi)壓強(qiáng)穩(wěn)定在150MPa，在以100ms為一個周期的時間內(nèi)，需使進(jìn)油量近似等于出油量，將已知條件代入方程組（3），即可得到不同條件下第二階段單向閥開啟時間t2。

2.3問題二模型的建立與求解

凸輪驅(qū)動柱塞上下運(yùn)動，凸輪邊緣曲線與角度的關(guān)系恒定，建立數(shù)學(xué)模型，將凸輪極徑與活塞高度擬合，如圖3所示。

需要從圖中確定一個壓力值最早達(dá)到100MPa的點。當(dāng)柱塞腔內(nèi)的壓力大于高壓油管內(nèi)的壓力時，柱塞腔內(nèi)的燃油將被擠到高壓油管內(nèi)。

通過一個噴油周期內(nèi)針閥升程與時間之間的關(guān)系，模擬出圖4[4]。

由于針閥升程的變化，使得實際的噴孔面積發(fā)生變化。在通過流出高壓油管的流量QB=C×A×√2△P/ρ算出高度△h與噴油速率之間的關(guān)系。

為了讓高壓油管的壓力穩(wěn)定在100MPa，需滿足在固定時間段內(nèi)，進(jìn)油量等于出油量，使凸輪的ω與不同大小的流量速率相擬合。

從題中：柱塞運(yùn)動到上止點時，殘余容積為20mm3，可知：上止點高度h1為1.019mm。而到下止點時，低壓燃油充滿柱塞腔的壓力為0.5MPa，可知：下止點高度h2為5.845mm。

由于柱塞向上運(yùn)動時壓縮柱塞腔內(nèi)的燃油，高壓油管內(nèi)的壓力為100MPa，當(dāng)柱塞腔內(nèi)的壓力大于高壓油管內(nèi)的壓力時，柱塞腔與高壓油管連接的單向閥開啟。由阿伏伽德羅定律可知：當(dāng)柱塞腔內(nèi)的壓力從0.5MPa上升到100MPa時，體積減小了V1，如下式：

V=pi×（d柱塞/2）^2xh2

P0.5MPa×V=P100MPa×（V-Vi）

解得V1=94.758mm3，h=4.826mm。

分析得到凸輪的角速度是影響高壓油泵供油速度的直接因素，凸輪角速度不變，根據(jù)凸輪邊緣曲線與角度的關(guān)系、上止點時柱塞腔殘余容積以及柱塞腔直徑，可以計算出高壓油泵柱塞腔上止點和下止點的高度分別為h1=1.02mm，h2=5.846mm。

對于重力場中不可壓縮均質(zhì)流體，利用流體力學(xué)的伯努利方程[3]：

P+ρ×g×h+1/×ρ×v2=C

P1+ρ×g×h1+1/2×ρ×v2=P2+ρ×g×h2+1/2×ρ×v22

（5）

聯(lián)立解得燃油作為流體的速度v。

為了使高壓油管的壓力穩(wěn)定在100MPa左右，要進(jìn)、出油大致平衡，構(gòu)建一個出油處噴油嘴的出油口面積S和針閥升程h的數(shù)學(xué)模型：

S=0.0785h2+1.24h

（6）

通過注2，高壓油管出油量Q=CA√2△P/ρ，

Q=0.85x（0.0785h2+1.24）x√199.8/0.85≈1.02h2+16.16h

利用割補(bǔ)法可近似求出2.45s內(nèi)的出油量：72.8mm3;即相等時間的進(jìn)油量，通過進(jìn)油量即可求出：

ω=v/r≈0.31rad/ms。

2.4問題三模型的建立與求解

在問題二的基礎(chǔ)上，再增加一個噴油嘴，每個噴油嘴的噴油規(guī)律相同，即相同時間內(nèi)的噴油量是相同的。建立出此時關(guān)于高壓油管內(nèi)的壓力與時間的關(guān)系模型如圖5所示。

在此，通過角速度ω的不同可將進(jìn)油速率分為三個階段：

（1）ω≤ω0：根據(jù)噴油嘴C距A口比噴油嘴B近，假設(shè)從A口的進(jìn)油量全部由噴油嘴C進(jìn)行排出，噴油嘴B不工作;

（2）ω1>ω>ω0：此時A口的進(jìn)油量遠(yuǎn)大于噴油嘴C所能排出的量，噴油嘴B開始工作。噴油嘴B、C同時工作能夠及時排出完來自于A口的進(jìn)油量;

（3）ω>ω1：這時候，噴油嘴B和C同時工作仍然不能及時排出來自于A口的進(jìn)油量。每處作一段時間，就會在管內(nèi)積壓一定量的燃油。高壓油泵長時間工作會導(dǎo)致管內(nèi)的積油量逐漸上升，直到燃油充滿油管。

在管內(nèi)安裝一個單向減壓閥，打開后高壓油管內(nèi)的燃油可以在壓力下回流到外部低壓油路中，從而使得高壓油管內(nèi)燃油的壓力減小。這種方式可以很大程度上減小當(dāng)ω>ω1，時管內(nèi)積累燃油的風(fēng)險。

為了使噴油嘴的使用效率最大化，A口的進(jìn)油速率應(yīng)該滿足：讓噴油嘴B和C都ω作，但最大值不應(yīng)該超過兩個噴油嘴在100ms內(nèi)的最大排油量。為簡化計算，將兩個噴油嘴同時工作近似等效為一個噴油嘴工作。高壓油管出油量Q0=2×CA√2△P/ρ

Q=2×0.85×（0.0785h2+1.24）×√199.8/0.85≈2.04h2+32.32h

利用割補(bǔ)法可近似求出2.45s內(nèi)的出油量：145.6mm3;即相等時間的進(jìn)油量，通過進(jìn)油量即可求出：

ω1=v/r≈0.62（rad/ms）

即：將進(jìn)油速率轉(zhuǎn)化為凸輪的角速度ω，應(yīng)滿足：

0.62>ω>0.31（rad/ms）

此后，在D處增加了一個單向減壓閥。為保證高壓油管長期工作的安全性，對單向減壓閥設(shè)定了一個參考壓力值：

P減壓=125MPa

由于進(jìn)油速率過快，管內(nèi)積攢燃油后，當(dāng)管內(nèi)壓力大于125MPa時，單向減壓閥開啟，管內(nèi)燃油在壓力下回流到外部低壓油路中。單向減壓閥的出油速率Q低壓通過以下模型計算：

Q低壓=CA√2△P/ρ

△P/△ρ=E/p

（7）

解得：Q低壓≈22.265mm3/ms。

3模型的評價與推廣

本論述通過對高壓油管中各物理量的處理，找出了許多變量之間的潛在關(guān)系。并能與實際緊密聯(lián)系，結(jié)合實際情況對問題進(jìn)行求解，使得模型具有很好的通用性和推廣性。但是查閱文獻(xiàn)[5]得知溫度對阿伏伽德羅定律是有影響的，而且燃油作為液體，會與高壓油管壁產(chǎn)生摩擦力，為了模型的簡便，本論述未考慮溫度和摩擦力的影響。本數(shù)學(xué)模型建模方便，計算簡單，便于理解，可操作性強(qiáng)，準(zhǔn)確性高，不僅能解決題目中的問題，還可以推廣到現(xiàn)實生活中去，用于各種管道的設(shè)計與控制問題。

參考文獻(xiàn)：

[1]解方喜.柴油機(jī)燃油射流運(yùn)動行為特點及對燃燒的影響研究[D].長春：吉林大學(xué)，2010.

[2]李玉婷.柴油機(jī)高壓油管密封性能分析[D].北京：北京理工大學(xué)，2015.

[3]嚴(yán)導(dǎo)淦.流體力學(xué)中的總流伯努利方程[J].物理與工程，2014，24（4）：47-53.

[4]蔡梨萍.基于MATLAB的柴油機(jī)高壓噴油過程的模擬計算[D].武漢：華中科技大學(xué)，2005.

[5]張艷燕，劉娟，馬曉棟.理想氣體狀態(tài)方程推導(dǎo)中的幾個問題[J].新疆師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2010，29（4）：70-71.

收稿日期：2020-05-25

作者簡介：郭士康（1999-），男，漢族，河南商丘人，大學(xué)本科在讀，主要研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)。