基于分離變量法的滲透率突變地層非穩態滲流研究

康浩 宋新民 雷征東 高建 王再宙 付超

摘要：在油氣田高效開發的過程中，受原始地層沉積作用或者后期儲層改造措施等的影響，經常出現非均質雙區復合油藏的滲流，對其非穩態參數求解方法的研究具有重要的實際價值。本論述以分離變量法為求解手段，考慮了物性參數不等的兩區界面之間的流動，以第三類邊界條件為例，將分離變量法成功推廣到雙區復合油藏滲流問題的求解中，有效求得了不同區域內壓力隨時間變化的精確解析解。既擴大了分離變量法的適用范圍，也為日益復雜滲流問題的求解提供了重要的參考依據。

關鍵詞：線性流;不穩定流;分離變量法;非均質;復合油藏

中圖分類號：TE357.7

文獻標志碼：A

隨著人類對能源需求的持續增長，如何合理高效地開發油氣田成為了擺在科技工作者面前的重大課題。油氣在地下的滲流，作為油氣田開發工程的基礎問題之一，其重要性不言而喻。由于受到成藏過程等因素的影響[1-3]，實際油藏都是非均質的，截止目前，已經有大量學者針對非均質油藏的滲流問題做出了非常深入細致的研究，有效指導了油氣田的開發[4-7]。本論述以區域橫向滲透率突變線性滲流的壓力分布問題為研究對象，考慮不同滲透率地層界面之間的流動，建立了相應的滲流模型，并且運用分離變量法，并結合具體問題的特點，成功求解了該滲流問題的精確解析解，旨在為運用分離變量法求解復雜滲流問題提供一定的借鑒意義。

1模型建立

假定非均質復合油藏中，滲流情形如下：地層為水平地層，由滲透率分別為K1和K2的兩個區域組成，各自的區間分別為0≤x≤x1，x1≤x≤x2，導壓系數分別為h1和h2，初始壓力分布分別是I1（x）和I2（x），考慮兩個區域界面間的流動，不失一般性，假定各邊界間滿足一般的第三類邊界條件。求t>0時，該復合油藏巾各區域的壓力分布。

結合上述已知條件，參考滲流數學模型的建立方法[8-9]，則該問題的數學表述為：

2分離變量法

考慮到以上定解問題為滲流方程的齊次邊值問題，故采用分離變量法求解。關于分離變量法的思想、求解步驟已經在很多文獻中進行了論述[10-12]。為了便于求解問題，現總結它的求解過程如下：

（1）設所求的解p（x，t）以p（x，t）=X（x）T（t）的形式代入偏微分方程，針對x和t進行變量分離后，得到兩個常微分方程。

（2）利用已知的p（x，t）的邊界條件，導出X（x）所應滿足的邊界條件，從而得到所應滿足的一個常微分方程特征值問題。

（3）通過求解特征值問題決定特征值λm以及相應的特征函數X（x）。

（4）決定相應的T（t）的形式。

（5）以∑cmXm（x）Tm（t）的函數疊加形式給出p（x，t），并將初始條件做對應展開，從而決定解的無窮級數表達式中的常數。

3模型求解

設p1（x，t）=X1（x）T1（t），p1（x，t）=X2（x）T2（t）代入上述控制方程、邊界條件和銜接條件分離變量，得：

由以上式子可見，T1和T2最多只相差一常數因子，該常數因子可以吸收到X中去，故可令：

因而，分離常數λ1=λ1=λ=β2。于是，分離結果為：

式（16）為該復合油藏的本征值問題，由其可解得本征值βm和分段表示的本征函數：

式中的待定系數A1，B1，A2，B2和本征值β由其邊界條件和銜接條件確定。

注意到式（16）中的邊界條件與銜接條件只有4個，不能確定5個未知數，但由于本征函數只需在線性相關的函數中任意選擇一個即可，在此不妨令某個不為零的系數A1=1，則有如下系數矩陣方程：

將式（31）-（36）的計算結果代入式（29）和式（30），即可將本征函數完全確定。再將式（29）和式（30）代入式（27）和式（28），即得分段表示的該雙區復合油藏內的壓力分布。

4結論

以平面雙區復合油藏滲流為例，考慮了兩區界面之間的流動，運用分離變量法的思想，注重銜接條件和邊界條件的運用，有效地解得了不穩定滲流各個區域內壓力隨時間變化的精確解析解。研究擴大了分離變量法在油氣滲流問題求解中的應用，有利于更好地分析油氣田開發過程中儲層的層內平面非均質性問題，也為求解相關復雜滲流問題提供了重要的依據。

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收稿日期：2020-05-30

基金項目：河北省教育廳科技項目資助（項目編號：QN2018158）;河北師范大學科技類基金項目資助（項目編號：L2017B21）

作者簡介：康浩（1987 -），男，漢族，河北石家莊人，博士，講師，主要研究方向：油氣資源的開發與利用。