層裂損傷孔洞增長模型參數的確定方法及其應用*

張鳳國 劉軍 何安民 王裴 王昆 周洪強 趙福祺

(北京應用物理與計算數學研究所, 北京 100094)

1 引 言

沖擊載荷作用下, 反射沖擊波在靶板內部疊加形成拉伸作用區域, 當拉伸應力足夠高時, 延性材料內部層裂面處經歷孔洞的成核、增長、匯合直至材料斷裂破壞的損傷演化過程, 即層裂破壞. 包括爆轟加載、撞擊以及激光加載等均可能造成結構材料的層裂破壞, 因而該問題的研究具有重要的實用價值. 同時, 層裂屬于一維拉伸破壞問題, 應力狀態簡單、實驗易行, 研究層裂損傷演化過程也有助于分析材料的理論強度、揭示材料的損傷斷裂機理[1?3].

在層裂損傷問題的研究歷程中, 為了數值模擬分析材料的損傷演化過程及其對結構的影響, 采用的損傷模型不斷發展完善, 從最初的瞬時斷裂模型、損傷累積模型到目前采用的耦合材料微細觀結構信息的損傷累積模型[4?10], 使得對損傷演化過程的描述逐漸精細化, 同時, 結合實驗和理論研究深入探討損傷演化特性[11?20], 逐步加深了對材料損傷微細觀機理的認識. 在層裂損傷模型的發展過程中, 人們過多地關注如何完善損傷模型, 更好地使計算結果與材料內部損傷狀態相符合, 而忽略損傷模型參數如何標定這一重要問題. 對于一些損傷模型, 模型參數的改變不僅對計算結果的影響很大,而且模型參數本身也可能是相關的, 同時, 部分參數的選取具有一定的人為性, 這就為損傷模型的具體應用造成了困擾, 也降低了計算結果的可信度.以目前應用較為廣泛的孔洞增長VG模型(void growth model)[5]為例: 該模型考慮了基體材料的率效應, 并基于空心球殼得到了孔隙度α(空心球殼總體積與基體體積之比)隨時間變化的增長率與外加拉伸載荷p之間的關系為(本文中變量對時間的導數“ d /dt”均表示為“.”)

模型包含的三個基本參數: 初始孔隙度α0定義為距離層裂面較遠處的孔隙度, 這個定義本身具有人為性;η為剪切黏性系數, 但實際應用時作為計算參數, 并根據實驗數據進行調整; 基于理論推導,系 數αs與 基 體 材 料 的 屈 服 強 度Y0相 關 , 即αs=2Y0/3, 而實際應用時, Johnson[5]定義其為與孔洞周圍基體材料的硬化強度相關, 同樣也為計算參數. 此外, Johnson[5]的文章中只是給出了OFHC高純銅材料的損傷模型參數, 對于其他材料, 參數如何確定就值得商酌, 這極大地降低了計算結果的可信度. 同時, 三個參數的改變也直接影響了損傷演化過程的宏觀外在表現——自由面速度變化.圖1給出了采用VG模型計算模擬的飛片撞擊靶板的自由面速度, 計算結果顯示, VG模型參數的選取不同將導致靶板材料發生損傷破壞(速度曲線有回跳)或沒有損傷產生(速度曲線沒有回跳)兩種極端情況. 因此, 需要進一步解析損傷模型參數所包含的物理涵義, 給出參數的確定方法.

圖 1 損傷模型參數對自由面速度的影響 (a) 初始孔隙度的影響; (b) 剪切黏性系數的影響; (c) 材料硬化參數的影響Fig. 1. Influences of spall model parameters on free surface velocities: (a) Effects of initial porosity; (b) effects of shear viscosity; (c) effects of work hardening.

本文結合自由面速度曲線的斜率和回跳點等變化特性與層裂面處損傷演化過程之間的對應關系、損傷與應力改變之間的關聯等, 進一步解析損傷模型參數所包含的物理涵義, 探討基于物理的損傷模型參數的確定方法, 并通過與文獻中不同延性金 屬材料的層裂實驗數據比較, 驗證了該方法的合理性.

2 層裂損傷模型參數的確定方法

層裂損傷機理認識的不斷提高得益于近年來實驗診斷技術的進步, 其中基于VISAR, DISAR等光學表面診斷技術獲得的自由面速度曲線是認識層裂損傷演化規律最重要的一個窗口.根據波的相互作用理論, 層裂面處的損傷演化與自由面速度曲線的變化之間存在間接的對應關系, 因此, 深入解讀自由面速度曲線的變化特性有助于揭示材料內部的損傷變化機理和損傷模型的物理建模.

隨著層裂損傷研究的深入, 人們對自由面速度曲線的認識不斷提高. 圖2顯示了2 mm飛片以185 m/s的速度撞擊 9 mm OFHC 高純銅靶板的自由面速度實驗測量結果[21]. 沖擊波達到自由面后, 速度達到峰值, 之后沖擊波在自由面反射形成卸載稀疏波, 速度曲線下降達到第一個低點, 即回跳點, 峰值與回跳點之間的速度差 ?u與靶板內部層裂面處卸載稀疏波相互疊加引起的拉伸應力相關, 即層裂強度; 回跳點左側曲線下降斜率與拉伸應力的增長率相對應, 而右側速度曲線上升的斜率與材料內部損傷增長率相關[2]. 對于回跳點所包含的物理涵義, 近期的實驗分析和研究表明:自由面速度曲線的回跳信號不是材料完全分離的一個標志, 其與孔洞的成核以及早期增長相關, Tonks等[6]定性給出其對應的孔隙度近似為1.0005. 結合文獻關于材料彈塑性效應對層裂損傷影響的分析[22], 可以進一步明確回跳點對應層裂面處因孔洞早期增長引起材料完全塑性變形的時刻, 此時刻的臨界孔隙度為

其中G為剪切模量, 對應的臨界應力-層裂強度的計算采用1980年Romanchenko和Stepanov[23]給出的公式:

其中,ρ0為初始基體材料密度,Cl為基體材料的縱波聲速,C0為體積聲速,h=0.5Cl·?t, 為層裂片厚度.

圖 2 自由面速度曲線典型特征Fig. 2. Characters of free surface velocity profile.

首先, 計算過程中采用的含損傷格林內森狀態方程的微分形式可以表示為

其中Γ0為格林內森系數,E為單位初始體積內能,體積應變μ=ρ/ρ0?1 ,ρ為當前基體材料密度. 對于一維層裂損傷問題, 在基體材料不可壓的假設條件下,而內能的改變量為

將 (5)式代入 (4)式并積分 (α0到αcr), 同時考慮在孔洞早期增長過程中則有

考慮到p0=αsln[α0/(α0?1)], 代入 (6)式有:

其次, 在確定模型參數時, 只需討論孔洞早期增長過程, 即則 (1)式可以近似改寫為

其中P/Y0為體現加載強度的無量綱量, 而包含材料特性的系數 (α0?1)2/3Y0/η本身的量綱只與時間相關, 因此, 不妨假設將其值定義為與材料無關的常數, 結合 Johnson 給出的數據, 即有

最后, 當自由面速度曲線回跳時, Antoun等[2]給出了其對應層裂面處的孔隙度增長率為為拉伸應力開始增長時的應力率,同時, 根據波的相互作用有則有

結合(1)式可以得到:

至此, 基于理論推導, 并結合自由面速度曲線的實驗結果, 本文給出了VG層裂損傷模型參數的確定方法: (8)式、(10)式、(12)式均對應速度回跳時刻各物理量之間的關系, 聯立(8)式、(10)式、(12)式可以數值求解VG模型的三個參數α0,η和αs; 也可以將(8)式和(10)式代入(12)式, 利用數學軟件Mathematica中FindRoot命令求解參數α0, 然后代入(10)式和(12)式得到其他參數. 同時指出, 參數α0并非實際的初始孔隙度, 而是參考初始孔隙度; 自由面速度曲線回跳點對應層裂面處材料因孔洞增長達到塑性變形; 此外, VG模型雖然簡單、實用, 但因為沒有考慮慣性和材料微結構的影響, 模型本身并不完善, 這使得參數η和αs雖然賦予了一定的物理涵義, 而實際上屬于調整損傷增長的模型參數.

3 參數確定方法的實驗驗證

為了驗證本文給出的參數確定方法的適用性, 這里采用數值方法模擬兩種典型延性金屬材料OFHC銅和鉭的層裂實驗給出的自由面速度剖面. 延性金屬材料的層裂損傷演化屬于從微觀的孔洞成核、增長到宏觀破壞的多尺度問題, 相對而言, 基于微觀物理機理的ZA本構方程更適合層裂損傷的計算[24,25].因此, OFHC銅本構方程選用針對FCC材料的ZA本構方程:

表 1 OFHC 銅和鉭的基本力學參數Table 1. Material parameters of OFHC copper and tantalum.

表 2 OFHC 銅和鉭的 ZA 本構模型參數Table 2. Material parameters of OFHC copper and tantalum for Zerilli-Armstrong constitutive relations.

金屬鉭的本構方程選用針對BCC材料的ZA本構方程:

兩種金屬的基本材料參數[25,26]見表1和表2.

首先, 采用上述方法確定OFHC高純銅材料的VG層裂損傷模型參數. 基于圖2給出的層裂實驗的自由面速度曲線[21]有: 速度差 ?u= 65.2 m/s、曲線斜率根據波的相互作用, 飛片加載層裂實驗的層裂片厚度近似為飛片厚度, 即h= 2 mm, 則由 (3)式計算得到層裂強度pspall= 1.682 GPa. 根據 (8)式、(10)式和 (12)式計算得到:α0= 1.00048;η= 1.368 Pa·s;αs=0.193 GPa. 圖3顯示了采用VG模型原參數和本文給出參數計算得到的自由面速度曲線與實驗測量結果均符合較好. 此外, 若取α0= 1.0003, 則根據 (8)式和 (10)式得到η= 1.0 Pa·s以 及αs=0.182 GPa, 這與 Johnson 給出的α0= 1.0003,η=1.0 Pa·s以及αs= 0.17 GPa 近似相同. 總體而言,對比結果表明: 1)新的參數標定方法不僅可以還原VG層裂損傷模型的參數, 而且基于實驗和物理給出的參數也能夠很好地模擬自由面速度變化情況(對應材料內部的層裂損傷演化過程), 證明了本文給出的參數標定方法的有效性; 2)從另一個角度而言, 同一個物理模型有兩套有效參數, 這也說明層裂損傷模型本身還不完善.

圖 3 OFHC 銅層裂的自由面速度曲線Fig. 3. Simulated free surface velocity profile for OFHC copper.

表 3 實驗列表Table 3. Parameters of shock experiments.

進一步驗證本文給出的參數確定方法合理性的關鍵是采用VG模型對其他延性金屬材料層裂實驗結果的有效計算模擬, 這里包含兩個層次的驗證: (10)式假設條件的成立以及參數確定方法的合理性. 金屬鉭是研究金屬材料層裂損傷機理的常用典型延性金屬之一, 表3列出了文獻給出的不同加載速率和不同加載飛片厚度的5發實驗: 對比實驗1—實驗3, 飛片和靶板厚度相同, 飛片的撞擊速度不同, 實驗反映了加載強度對自由面速度(損傷)的影響; 對比實驗5、實驗2和實驗4, 靶板厚度相同, 飛片的撞擊速度近似, 但飛片的厚度不同,實驗反映了飛片厚度(即加載應變率)對自由面速度(損傷)的影響[17]. 本文根據實驗2的自由面速度剖面特征確定VG模型參數: 層裂片的厚度近似為飛片厚度, 即 3 mm, 自由面速度曲線速度差 ?u=134.2 m/s、曲線斜率由(3)式計算得到層裂強度pspall= 5.18 GPa, 再根據 (8)式、(10)式和 (12)式計算得到:α0= 1.00676;η= 37.23 Pa·s;αs= 0.8506 GPa. 這里可以看出:高強度延性金屬鉭的初始孔隙度α0遠遠大于銅的初始孔隙度, 這與原文提到的初始孔隙度的概念相悖, 從而說明了初始孔隙度應定義為VG損傷模型應用時的參考初始孔隙度.

圖 4 不同飛片撞擊速度的自由面速度曲線Fig. 4. Simulated free surface velocity profiles with varied impact velocities.

圖 5 不同飛片厚度的自由面速度曲線Fig. 5. Simulated free surface velocity profiles with varied flyer thickness.

采用VG模型和本文給出的參數, 圖4給出的是不同撞擊速度加載條件下層裂實驗1—實驗3的自由面速度觀測結果和計算模擬結果, 圖5給出的是不同飛片厚度在相近撞擊速度加載條件下層裂實驗5、實驗2和實驗4的自由面速度觀測結果和計算模擬結果. 采用相同參數對不同實驗模擬對比發現: 首先, 對于速度曲線回跳后上升的斜率,模擬結果與實驗結果相差較大, 這可能是VG損傷模型本身沒有考慮慣性影響的原因[22]; 其次, 對于層裂損傷分析所關注的自由面速度回跳點、回跳后曲線上升的幅值以及回跳后曲線的振蕩周期 ?t,模擬結果與實驗結果均符合較好, 從而驗證了參數確定方法的適用性; 最后, 因可以較好模擬不同加載強度和加載應變率實驗結果, 也說明本文給出的參數確定方法可以較好地適用于飛片撞擊加載的層裂損傷問題研究.

采用本文給出的參數確定方法, 通過對不同材料、不同加載環境下層裂損傷實驗結果的有效模擬, 一方面驗證了(10)式所給出的假設條件具有一定的合理性, 另一方面也驗證了模型參數確定方法的適用性, 從而完善了VG損傷模型、擴展了模型本身的適用范圍.

4 結 語

本文進一步解析了層裂實驗自由面速度曲線的變化特征與材料內部損傷演化之間的相互關聯,并基于自由面速度曲線實驗測量結果, 經過理論推導, 給出了VG層裂損傷模型參數的理論標定方法, 相關實驗結果的有效模擬驗證了方法的適用性, 進而提高了計算結果的可信度. 同時, 本文所采用的技術路線不僅為其他損傷模型參數的確定提供參考, 也有利于層裂損傷模型的進一步完善和發展.