直觀與抽象并行凸現數學概念本質

胡勇

數學概念是數學知識的基礎、數學學習的起點和邏輯推理的重要依據，而概念課的教學是培養學生核心素養、實現“數學育人”目的的重要教育素材。三角函數是高中數學的重要內容，弧度制是三角函數這一內容的重點。弧度制這一概念的形成是弧度制教學中的難點， 2019年10月，筆者參加江蘇省優課比賽并獲得一等獎，下面以參賽課題 “弧度制”部分教學過程為例，談談對概念教學的認識和感悟。

一、實驗：直觀感知

PPT展示圓形蛋糕，經過中心將圓形蛋糕切三刀分成了6塊，這6塊大小相差無幾，現從中挑出最大的一塊，有什么辦法？

問題1：在半徑為r的圓O中，如何比較∠AOB與∠COD的大小，并說明理由。

生1：用量角器量角。∠AOB=55.2°，∠COD=62.5°。

師：很好！通過用量角器直接測量，這是比較精確的，因為我們初中已學過角的度量，將一個圓周角分成360等份，每一份就叫作1度，所以周角等于360°，平角等于180°。根據需要，還可將1°分為60等份，也就是1°=60'，同理，1'=60"。我們把這種用度作為單位來度量角的單位制叫作角度制。

生2：比較弦AB和CD的長。

師：那你這樣操作的理由是什么呢？

生2：在同圓或等圓中，等弦對等角，等弦對等弧。（老師補充完善）

生3：比較 ?和 ?的長，因為在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦相等。

師：很棒！同學們在初中學得很扎實！那么后兩種方案是在什么前提下完成的？

生：在同圓或等圓中。

師：非常好！我們通過方案三（生3）可以發現：在同圓或等圓中，可以用弧長比較兩個角的大小（即半徑一定時）。

【設計意圖】 數學源于生活，對生活中的深刻研究是數學發現的最自然的來源。結合情境，讓學生直觀感知，抽象出數學模型，并通過實驗操作、合作交流來比較∠AOB與∠COD的大小，重溫了角度制，對同圓或等圓中的弦、弧、圓心角之間的關系進行了回顧，培養了學生直觀想象、數學建模的能力。

二、引導：實踐應用

做一做：在下圖中寫出各特殊角所對應的弧度數。

例題：請將下表中的弧度和角度互化。

【設計意圖】 強化弧度與角度之間的互化，一方面幫助學生鞏固所學，正確進行弧度與角度的互化，熟記特殊角的弧度數;另一方面，通過規范化思考問題，提升學生的數學運算素養。

師：同學們，我們剛才進行了角度制和弧度制的互化，初中我們學習過扇形的弧長和面積公式，那么現在學習了弧度制，這些公式又是怎樣的呢？

三、教學感悟

1.精心設計問題，感悟概念的本原與發展

根據建構主義理論，建立在真實事件或真實問題上的概念生成，不僅能夠激起學生的學習興趣，而且對學生更具有感染力。所以對概念的認識應當是有具體背景的，通過合適的問題情境，讓學生感悟問題的本原和數學表達的意義。本節課從“切蛋糕挑出一塊最大的”生活場景引入，親切自然，讓學生通過直觀感知抽象出數學模型。對于弧度制的概念，不是直接呈現給學生，避免學生感到生硬、“無中生有”的感知，而是通過實驗操作、合作交流，讓學生體會各種不同比較角的大小的方法，逐步領悟角的大小與弧長、半徑之間的關系，讓學生感受到弧度制衡量角的大小的科學性和實用性，在激發學生學習興趣和好奇心的同時，提高學生對概念本質的數學理解，為新知搭建橋梁，促使學生順理成章地進入弧度制概念的探究中。

2.注重思維提升，發揮學習的自主性和能動性

充分發揮學生學習的自主性和能動性，學習才能高效發生。 本節課在學生探究出弧度制的概念后，由于新的度量角的系統對學生來說非常陌生，已有的角度制在學生頭腦中根深蒂固，只知道一個角是多少度，怎么能夠用一個實數來表示角呢？為了扭轉學生這種認知上的沖突，讓學生逐漸接受新的概念，并將新概念融入原有認知架構中，如通過具體的半徑與弧長，讓學生親手操作，體會弧度制這一新的度量角的系統，熟悉熟練用實數表示角的大小;通過量角器，讓學生感受弧度制、弧度制與角度制的互化，進一步加深對概念本質的熟悉理解。在此環節中，提倡學生敢想、敢做、敢說，充分發揮學生學習的自主性和能動性，學生思維極度活躍，踴躍提出自己的觀點，享受數學發現的喜悅，最大限度地讓學生在體驗中學習數學技能，體驗其中蘊含的發現，提升學生思維的發散性和靈活性。

3.培養數學能力，達成核心素養發展目標

對學生而言，弧度制概念的難點在于“為什么可以這樣規定？”為了讓學生突破這些困惑，教學中，弧長與半徑的比值為定值沒有直接呈現給學生，而是引導學生從一些生活場景中自主發現，滲透用數學眼光觀察世界的核心素養。本節課的探究過程是培養學生數學核心素養的很好素材，踐行數學六大核心素養的背后，是培養學生的理性精神，是培養學生的學習能力，讓學生學會思考、學會學習。這是學生應具備的、能夠適應其終身發展需要的關鍵能力，是“數學育人”的關鍵所在。在這個教學過程中，由于學生思維的高度參與，課堂充滿了活力，學生對弧度制的本質有了更深刻的理解，學生思考問題的意識、角度、方法和能力都會得到提升。我想，數學課除了應該教給學生知識，還應該讓學生體會知識背后的智慧，教育的本質是知識遺忘之后剩下的全體。

【參考文獻】

[1]金山.“弧度制”教學：注重概念生成凸顯概念本質[J].中學數學雜志，2019（1）：11-13.

[2]梅滋亞.把握來龍去脈 凸顯核心素養 ———“弧度制”教學實錄及反思[J].中國數學月刊（高中版），2018（10）：39-42.