非標準氣象條件對計轉數定距引信炸點精度的影響

劉艷欣，王雨時，聞 泉，王光宇

(南京理工大學機械工程學院，江蘇 南京 210094)

0 引言

彈丸外彈道轉速衰減規律直接影響著計轉數定距引信的定距精度，乃至彈丸的外彈道設計。如果要得到較為精確的彈丸質心外彈道轉速衰減規律，就必須建立更加符合實際的數學模型。文獻[1]介紹了第二次世界大戰以來關于彈丸轉速衰減規律的經驗公式，如范特柴里公式、柔格里公式、板口楯雄推薦式等。文獻[2]根據現代彈丸飛行穩定性與工程實際對修正過的柔格里公式等作了進一步推導，得到了冪函數公式和指數函數公式。這些經驗公式反映了彈丸轉速衰減的基本規律。文獻[3—4]針對由圓臺、拱形與圓柱組成的彈丸外形，建立了質心外彈道運動方程組和轉速衰減規律數學模型。文獻[5]針對由半球形、圓柱形組成的彈丸外形，建立了旋轉彈丸外彈道轉速衰減模型。文獻[6]針對準拋物線形頭部輪廓母線旋轉彈丸外形，建立了彈丸外彈道轉速衰減模型。這些數學模型從本質上揭示了這類特定外形彈丸轉速衰減規律的基本特性，具有一定的指導意義，但都是在標準氣象條件下建立的。文獻[7]以斜切尾翼彈為算例，通過推導導轉力矩與極阻尼力矩計算公式，建立了彈丸轉速衰減規律數學模型，但并未分析氣溫、氣壓、風速與海拔高度對定距精度的影響。文獻[8—9]通過風洞試驗得到了極阻尼力矩系數，建立了彈丸轉速衰減規律數學模型，但風洞試驗成本較高。

針對上述問題，本文將應用外彈道學理論和空氣動力學知識，建立非標準氣象條件下(包括氣溫、氣壓、風速、海拔高度)彈丸質心外彈道數學模型和轉速衰減規律數學模型，并應用Matlab軟件以小口徑彈丸為例進行數值計算，研究氣溫、氣壓、風速、海拔高度對彈丸外彈道轉速衰減規律的影響。

1 非標準氣象條件下的旋轉彈丸外彈道轉速衰減規律數值仿真模型

1.1 非標準氣象條件分析

標準氣象條件是指氣象諸元的地面值為標準值(即氣溫15 ℃，氣壓100 kPa，風速0 m/s，海拔高度0 m，空氣密度1.206 kg/m3)且這些氣象條件隨高度變化符合標準定律[10]。非標準氣象條件是指氣象條件不僅隨地點變化，而且在同一地點還隨高度變化[10]。本文中的非標準氣象條件是指氣溫的地面值在范圍-40～+50 ℃內變化，氣壓的地面值在范圍88～100 kPa內變化，風速的地面值在范圍0～25 m/s內變化，海拔高度的地面值在范圍0～1 000 m內變化，且空中分布也會隨這些氣象條件的地面值不同而改變。這些非標準氣象條件的分布將在下面進行介紹。氣溫、氣壓包含于密度函數H(y)，氣壓函數π(y)與聲速cs中，風速包含于彈丸相對速度中。此外，氣溫亦包含于氣體密度ρ與空氣黏度系數μ中。針對常規彈丸外彈道涉及的對流層，下面介紹密度函數H(y)、氣壓函數π(y)、彈丸相對速度vr(vwx，vwy，vwz)以及氣體密度ρ與空氣黏度系數μ的表達式。

1.1.1密度函數、氣壓函數與聲速函數表達式

在對流層內，非標準氣象條件下的氣溫隨高度變化的表達式為[11]：

(1)

式(1)中：Tv1為非標準氣象條件下的氣溫；Tv0為地面氣溫；G1為與氣溫有關常數，取6.328×10-3[10]；y為彈丸飛行高度；Tv0n為標準氣象條件下的地面氣溫，取288.9 K[4]；ΔTv為彈道溫差，即地面實際氣溫與標準氣象條件下的氣溫之差。

由文獻[11]可知，在對流層內，非標準氣象條件下的氣壓函數表達式為：

(2)

式(2)中：P0為非標準氣象條件下的地面氣壓值；P0n為標準條件下的氣壓值，取為100 kPa；g為重力加速度，取為9.806 65 m/s2；R為氣體常數，取為287.05 J/(kg·K)。

由式(2)可知，在對流層內，非標準氣象條件下的氣體密度函數表達式為[11]：

(3)

式(3)中：ρ0n為標準氣象條件下的空氣密度，取為1.206 3 kg/m3。

在對流層內，非標準氣象條件下的聲速函數表達式為[11]：

(4)

式(4)中：k為絕熱指數，取1.404。

1.1.2彈丸相對速度vr

如圖1所示，以炮口為原點O、以海平面為基準面建立Oxyz坐標系。平面Oxy為彈丸射擊平面，彈丸速度v與y軸的正向呈θ夾角，vwx、vwz分別為縱風與橫風。

圖1 彈丸質心外彈道運動坐標系Fig.1 The movement coordinate system of the centroid external ballistics of the projectile

由外彈道學理論可知，縱風和橫風的大小分別為[10]：

(5)

式(5)中：vw為風速，αN為射擊方向與正北方向的夾角，αw為風向與正北方向的夾角，負號“-”表示風速與彈丸飛行速度相反。

彈丸相對速度vr為：

(6)

1.1.3氣體密度與空氣黏度系數表達式

由式(3)可知，氣體密度表達式為：

ρ=H(y)ρ0n

(7)

由文獻[5]可知，標準氣象條件下的空氣黏度系數μ的表達式為：

(8)

式(8)中：βa為常數，取1.458×10-6kg/(s·m·K0.5)；Ts為常數，取110.4 K；τ為標準條件下的氣溫函數。

將式(1)代入式(8)可得非標準氣象條件下的空氣黏度系數μv1的表達式為：

(9)

1.2 非標準氣象條件下的旋轉彈丸外彈道轉速衰減規律數學模型

1.2.1彈丸表面產生的摩擦力矩

將式(6)代入彈丸極阻尼力矩表達式[10]得：

(10)

式(10)中：ω為彈丸自轉角速度，rad/s；d為彈丸直徑，m；S為彈丸橫截面積，m2，其表達式為：S=πd2/4。

彈丸摩阻cxf的表達式為[10]：

(11)

式(11)中：Ss為彈丸側面積，m2。

形狀修正系數ηλ的表達式為[10]：

(12)

式(12)中：l為彈丸長度，m。

考慮空氣可壓縮性的修正系數ηm的表達式為[10]：

(13)

式(13)中：a為常數，其表達式為[10]：

雷諾系數Re的表達式[10]為：

馬赫數Ma表達式為：

1.2.2彈帶產生的摩擦力矩

由文獻[6]可知，彈帶的計算公式為：

(sinα1sinα2+cosα1cosα2)

(14)

式(14)即為非標準氣象條件下的旋轉彈丸外彈道轉速衰減規律數學模型。該模型為一階非線性微分方程，無解析解，須聯立非標準氣象條件下的彈丸質心外彈道數學模型求解。

1.3 數值仿真模型

文獻[11]給出了非標準氣象條件下的彈丸質心外彈道方程組，聯立式(10)和式(14)可得：

(15)

式(15)中：t為彈丸飛行時間，s；x為彈丸水平飛行距離，m；y為彈丸飛行高度，m；z為彈丸偏離彈道平面側向位移，m；vx為彈丸速度在x軸方向的分量，m/s；vy為彈丸速度在y軸方向的分量，m/s；vz為彈丸速度在z軸方向的分量，m/s；θ為彈道傾角，(°)；m為彈丸質量，kg；cx0為零升阻力系數，由仿真求得。

式(15)即為非標準氣象條件下的旋轉彈丸外彈道轉速衰減規律數值仿真模型。該模型求解的初始條件為：當t=0時，vx=v0cosθ0，vy=v0sinθ0，vz=0，θ=θ0，x=z=0，y=y0，ω=ωg，P=P0。

2 模型可信性驗證

下面以105 mm坦克炮實彈射擊試驗結果來驗證非標準氣象條件下旋轉彈丸外彈道轉速衰減規律數值仿真模型的可信性。試驗用彈為殺爆彈，彈長485.46 mm，直徑105 mm，平均彈重16.136 kg。試驗5發，射角0.7 °，裝定炸點轉數534。應用多普勒脈沖式雷達測得膛口速度，通過設立靶桿的方法測得炸點距離。表1給出了105 mm口徑彈丸數值仿真用參數。表2給出了105 mm口徑彈丸數值仿真結果與靶試結果。

表1 105 mm口徑殺爆彈彈丸外彈道數值仿真用參數Tab.1 External ballistic numerical simulation related parameters of the 105-caliber projectile

由表2可知，仿真所得彈丸炸點距離相對于實測值的誤差較小。因此，本文建立的非標準氣象條件下旋轉彈丸外彈道轉速衰減規律數值仿真模型具有可信性。

表2 在非標準氣象條件下105 mm口徑殺爆彈彈丸裝定轉數534時的炸點距離數值仿真結果和靶試結果Tab.2 Numerical simulation results and target test results of projectile burst distance under non-standard meteorological conditions

3 小口徑旋轉彈丸非標準氣象條件下外彈道轉速衰減規律計算

基于非標準氣象條件下的旋轉彈丸外彈道轉速衰減規律數值仿真模型，以30 mm口徑旋轉彈丸為算例，研究氣溫、氣壓、風速(順風和逆風)以及海拔高度對計轉數引信定距精度的影響。

3.1 物理模型

根據30 mm口徑旋轉彈丸的外形，可將其劃分為四個基本單元，分別為圓臺形、拱形、圓柱形和彈帶部，如圖2所示。

圖2 30 mm口徑榴彈彈丸外形Fig.2 A 30-caliber grenade projectile shape

3.2 彈丸數值仿真參數

表3列出了30 mm口徑榴彈彈丸數值仿真的相關參數。

表3 30 mm口徑彈丸外彈道數值仿真相關參數Tab.3 External ballistic numerical simulation related parameters of the 30-caliber projectile

式(12)中的彈丸阻力系數cx0是影響外彈道的重要參數之一，與彈丸外形密切相關。由外彈道學知識可知，cx0是關于彈丸馬赫數的函數。為了得到更為準確的彈丸阻力系數，采用了Fluent軟件對該30 mm口徑彈丸的外形空氣動力學特性進行了仿真，并采用OriginLab軟件對所得阻力系數進行了曲線擬合，所得結果見式(16)。

(16)

3.3 非標準氣象條件下彈丸轉速衰減規律數值仿真

為了得到彈丸的外彈道諸元，將式(16)代入式(15)，采用Matlab軟件編寫程序，并通過龍格-庫塔算法進行數值仿真[12]。

3.3.1氣溫對計轉數引信定距精度影響分析

假設氣溫的變化范圍為-40～+50 ℃，以-40、-25、-10、+5、+20、+35、+50 ℃為例對彈丸外彈道轉速衰減規律數學模型進行數值仿真并對引信定距精度進行分析。假設彈丸的初速為960 m/s、射角為20°、彈重為0.346 kg、氣壓為100 kPa、風速為0 m/s、海拔高度為0 m，以地面氣溫15 ℃時引信裝定炸點距離500、1 000、1 500、2 000、2 500 m為標準條件，可仿真得到不同氣溫時的彈丸炸點距離，如表4所列。圖3給出了以地面氣溫15 ℃時引信裝定炸點距離500、1 000、1 500、2 000、2 500 m為基準，氣溫對定距精度的影響。圖中橫坐標T為地面氣溫值，縱坐標Δx為炸點距離變化量。

表4 不同氣溫時的炸點距離仿真結果Tab.4 The simulation results of burst distance at different temperatures m

由圖3可知：彈丸炸點距離的變化與地面氣溫的變化方向相同，即地面氣溫越高，彈丸炸點距離變化就越大；在地面氣溫小于15 ℃時，引信裝定炸點距離越大，彈丸炸點距離變化越小；當地面氣溫大于15 ℃時，引信裝定炸點距離越大，彈丸炸點距離變化越大。因此，引信定距精度隨氣溫的增大，先升高后降低，隨裝定距離的增大而降低，當引信裝定距離小于1 000 m時，可認為氣溫對引信定距精度的影響較小。

圖3 氣溫對定距精度的影響Fig.3 The influence of the temperature on the precision of fixed distance

3.3.2氣壓對計轉數引信定距精度影響分析

假設氣壓的變化范圍為88～100 kPa，以88、90、92、94、96、98 kPa為例對彈丸外彈道轉速衰減規律數學模型進行數值仿真并對引信定距精度進行分析。假設彈丸的初速為960 m/s，射角為20°，彈重為0.346 kg，氣溫為15 ℃，風速為0 m/s，海拔高度為0 m，以氣壓值100 kPa時引信裝定炸點距離500、1 000、1 500、2 000、2 500 m為標準條件，可仿真得到不同氣壓時的彈丸炸點距離，如表5所列。圖4給出了以氣壓值100 kPa時引信裝定炸點距離500、1 000、1 500、2 000、2 500 m為基準，氣壓對定距精度的影響。圖中橫坐標P0為地面氣壓值，縱坐標Δx為炸點距離變化量。

表5 不同氣壓時的炸點距離仿真結果Tab.5 The simulation results of burst distance at different atmospheric pressures m

由圖4可知：彈丸炸點距離的變化與地面氣壓值的變化方向相反，即地面氣壓值越大，彈丸炸點距離變化就越小；彈丸炸點距離的變化與引信裝定距離的變化方向相同，即引信裝定炸點距離越大，彈丸炸點距離變化越大。因此，引信定距精度隨氣壓值的增大而升高，隨裝定距離的增大而降低，當引信裝定距離小于1 000 m時，可認為氣壓對引信定距精度的影響較小。

圖4 氣壓對定距精度的影響Fig.4 The influence of the atmospheric pressure on the precision of fixed distance

3.3.3風速對計轉數引信定距精度影響分析

假設風速的變化范圍為0～25 m/s，以5、10、15、20、25 m/s為例對彈丸外彈道轉速衰減規律數學模型進行數值仿真并對引信定距精度進行分析。假設彈丸初速為960 m/s、射角為20°，彈重為0.346 kg，氣溫為30 ℃，氣壓100 kPa，海拔高度為0 m，以無風時引信裝定的炸點距離500、1 000、1 500、2 000、2 500 m為標準條件，可仿真得到不同風速時的彈丸炸點距離，如表6所列。圖5、圖6分別給出了以無風時引信裝定炸點距離500、1 000、1 500、2 000、2 500 m為基準，順風和逆風對定距精度的影響。圖5中橫坐標vw+為順風，縱坐標Δx為炸點距離變化量；圖6中橫坐標vw-為逆風，縱坐標Δx為炸點距離變化量。

表6 不同風速時的炸點距離仿真結果Tab.6 The simulation results of burst distance at different wind m

圖5 順風對定距精度的影響Fig.5 The influence of along the wind on the precision of fixed distance

由圖5可知：彈丸炸點距離的變化與vw+大小的變化方向相同，即vw+越大，彈丸炸點距離變化就越大；彈丸炸點距離變化與引信裝定距離的變化方向相同，即引信裝定炸點距離越大，彈丸炸點距離變化越大。因此，引信定距精度隨順風速與裝定距離的增大而降低，當引信裝定距離小于1 500 m時，可認為順風速對引信定距精度的影響較小。

由圖6可知：彈丸炸點距離的變化與vw-大小的變化方向相同，即vw-越大，彈丸炸點距離變化就越大；彈丸炸點距離的變化與引信裝定距離的變化方向相反，即引信裝定炸點距離越大，彈丸炸點距離變化越小。因此，引信定距精度隨逆風速與裝定距離的增大而降低，當引信裝定距離小于1 500 m時，可認為逆風速對引信定距精度的影響較小。

圖6 逆風對定距精度的影響Fig.6 The influence of the inversus wind on the precision of fixed distance

綜上所述，彈丸炸點距離變化與風速的變化方向相同，與逆風速時引信裝定距離的變化方向相反，與順風速時引信裝定距離的變化方向相同。因此，引信定距精度隨風速與裝定距離的增大而降低，當引信裝定距離小于1 500 m時，可認為風速對引信定距精度的影響較小。

3.3.4海拔高度對計轉數引信定距精度影響分析

假設海拔高度的變化范圍為0～1 000 m，以200、400、600、800、1 000 m為例對彈丸外彈道轉速衰減規律數學模型進行數值仿真并對引信定距精度進行分析。假設彈丸的初速為960 m/s，射角為20°，彈重為0.346 kg，氣溫為15 ℃，氣壓100 kPa，風速為0 m/s，以海拔高度0 mm時引信裝定的炸點距離500、1 000、1 500、2 000、2 500 m為標準條件，可仿真得到不同海拔高度時的彈丸炸點距離，如表7所列。圖7給出了以海拔高度0 mm時引信裝定炸點距離500、1 000、1 500、2 000、2 500 m為基準，海拔高度對定距精度的影響。圖中橫坐標y0為海拔高度，縱坐標Δx為炸點距離變化量。

表7 不同海拔高度時的炸點距離仿真結果Tab.7 The simulation results of burst distance at different altitudes m

由圖7可知：彈丸炸點距離的變化與海拔高度的變化方向相同，即海拔高度越大，彈丸炸點距離變化就越大；彈丸炸點距離變化與引信裝定距離的變化方向相同，即引信裝定炸點距離越大，彈丸炸點距離變化越大。因此，引信定距精度隨海拔高度與裝定炸點距離的增大而降低，當引信裝定距離小于1 000 m時，可認為海拔高度對引信定距精度的影響較小。

圖7 海拔高度對定距精度的影響Fig.7 The influence of the altitude on the precision of fixed distance

4 結論

本文在考慮氣溫、氣壓、風速(順風、逆風)以及海拔高度的條件下建立了非標準氣象條件下(包括氣溫、氣壓、風速以及海拔高度)彈丸質心外彈道數學模型和轉速衰減規律數學模型，并應用Matlab軟件針對30 mm口徑彈丸進行數值計算，研究了氣溫、氣壓、風速以及海拔高度對彈丸外彈道轉速衰減規律的影響。結果表明：引信外彈道計轉數定距精度隨氣溫的增大，先升高后降低，隨氣壓的增大而升高，隨風速的增大而降低，隨海拔高度的增大而降低。這些氣象條件對引信外彈道計轉數定距精度的影響隨裝定炸點距離的增大而降低。當引信裝定距離小于1 000 m時，氣溫、氣壓、風速與海拔高度對引信外彈道計轉數定距精度影響較小。