彈丸最大射程落點諸元與彈道系數和初速關系經驗公式

王 朋，王雨時，聞 泉

(南京理工大學機械工程學院，江蘇 南京 210094)

0 引言

特定彈丸的阻力特性和初速確定后，最大射程落點彈道諸元包括最大射程、落速、全飛行時間和最大射程角也就可以確定了。最大射程落點彈道諸元在一定程度上代表了全彈道上各點諸元的極值，對引信和彈丸的總體論證、初步設計以及摸底試驗結果分析和評估，均有一定意義。文獻[1—4]給出了真空彈道條件下彈道諸元與初速的關系式。文獻[5]舉例定量分析了特定火炮最大射程落點諸元與初速的關系。為建立彈丸最大射程落點彈道諸元與彈丸阻力特性和初速之間的顯式函數經驗關系式，本文以文獻[6]報道的彈丸質心外彈道計算機求解程序求解出的落點諸元數據為基礎，應用SPSS軟件和1stOpt軟件進行數據分析和擬合。

1 擬合軟件介紹及擬合原始數據

1.1 數據前處理軟件

SPSS原文為“statistical package for social science”，即“社會科學統計軟件包”。SPSS12.0 for Windows的運行管理方式與SPSS以前各版本基本相同。SPSS12.0 for Windows在數據整理、數據分析方面功能相比前幾個版本有所增加，包括根據已知數據能夠生成散點圖。散點圖(scatterplots)又稱散布圖或相關圖，它是以點的分布反映變量之間相關情況的統計圖形，根據圖中的各點分布走向和密集程度，大致可以判斷變量之間協變關系的類型[7]。

1.2 擬合軟件

1stOpt(first optimization)是我國七維高科有限公司獨立開發的一套數學優化分析綜合工具軟件包，主要用于非線性回歸、曲線擬合、非線性復雜模型參數估算求解、線性/非線性規劃等領域。1stOpt軟件不僅操作界面簡單，而且其核心計算方法——通用全局優化算法(universal global optimization,UGO)克服了當今世界上在優化設計領域使用迭代法必須給出合適初始值的難題，即不需要用戶給出參數初始值，在絕大多數情況下，僅依靠自身的全局搜索能力，從任意隨機值出發，就可求得最優解[8]。

1.3 擬合原始數據

按常規彈藥，取彈道系數數值范圍c43=0.25～4.0，取初速數值范圍v0=50～1 400 m/s。以文獻[6]報道的彈丸質心外彈道計算機程序為工具，求解上述彈道系數和初速數值范圍內的彈丸質心空氣外彈道最大射程落點諸元，結果分別如表1—表4所列。

表1 彈丸最大射程Xm與彈道系數c43和初速v0之間的關系Tab.1 The relationship between the maximum range of a projectile and the ballistic coefficient and the muzzle velocity of the projectile

表2 彈丸最大射程角θmax與彈道系數c43和彈丸初速v0之間的關系Tab.2 The relationship between the maximum range angle of the projectile and the ballistic coefficient and the muzzle velocity of the projectile

表3 彈丸全飛行時間T與彈道系數c43和彈丸初速v0之間的關系Tab.3 The relationship between the total flight time and the ballistic coefficient and the muzzle velocity of the projectile

表4 彈丸最大射程落速Vc與彈道系數c43和初速v0之間的關系Tab.4 The relationship between the projectile’s maximum range falling velocity and the ballistic coefficient and the muzzle velocity

應用該程序的計算結果是可信的[6]。表中彈道系數c43的計量單位是m2/kg，初速和落速v0的計量單位是m/s，射程的計量單位是m，時間的計量單位是s。

2 彈丸全飛行時間、落速、最大射程角和最大射程與彈道系數和初速關系式的經驗擬合

2.1 最大射程與彈道系數和初速關系擬合

通過表1給出的數據，由SPSS12.0 for Windows驗證彈道系數和初速與最大射程之間的相關性，得出彈道系數和初速的顯著性小于0.001，其中彈道系數與最大射程是負相關，初速與最大射程是正相關。文獻[5]通過試驗數據擬合得出火炮最大射程和彈丸初速近似呈線性關系的結論。彈道系數和彈丸初速這兩個影響因子共同對火炮最大射程的影響就變得極為復雜。

由于此模型未知，應用1stOpt軟件進行自動擬合即在函數庫中自主選擇擬合公式，算法選擇通用全局優化算法和麥夸特法，得到最佳的擬合公式的形式為：

Xm=

(1)

擬合后的曲線如圖1所示。

圖1 彈道系數和初速與最大射程的擬合曲線Fig.1 The fitted curve for ballistic coefficient and muzzle velocity with maximum range of artillery

當c43=0時，擬合公式為：

Xm=

(2)

取c43=0,同時取v0分別為50、700、1 400 m/s，得到真空彈道條件下的最大射程值和原有數據對比誤差如表5所列。

表5 最大射程擬合后的公式與原數據的相對誤差Tab.5 The relative error between the maximum range fitting formula and the original data

2.2 最大射程角與彈道系數和初速關系擬合

在空氣彈道中，由于受到外彈道阻力的影響，落角的絕對值肯定會比射角大。文獻[5]中得到了在誤差允許的范圍內，擬合后彈丸落角與彈丸初速近似呈線性關系，初速越大，落角絕對值也越大。

目前未見到有彈道系數和初速與最大射程角之間的關系，因而使用1stOpt軟件自帶的自動搜索匹配公式的功能進行擬合，經過分析對比選用的擬合公式為：

(3)

擬合后的關系式為：

θmax=

(4)

擬合后的曲線如圖2所示。

圖2 彈道系數和初速與最大射程角的擬合曲線Fig.2 The fitted curve for ballistic coefficient and muzzle velocity with the falling angle of maximum range of artillery

當c43=0時，擬合公式為：

(5)

取c43=0,同時取v0分別為50、700、1 400 m/s，得到真空彈道條件下的最大射程角和原有數據對比誤差如表6所列。

表6 最大射程角擬合后的公式與原數據的相對誤差Tab.6 The relative error between the maximum range angle fitting formula and the original data

2.3 彈丸全飛行時間與彈道系數和初速關系擬合

根據表3給出的數據，由SPSS12.0 for Windows驗證彈道系數和初速與全飛行時間的相關性，得出彈道系數和初速的顯著性系數小于0.001，彈道系數與全飛行時間呈負相關，初速與全飛行時間呈正相關。由文獻[5]可知，彈丸全飛行時間與彈丸初速近似呈線性關系,從圖3可以清楚地看出彈道系數和初速與全飛行時間是多元非線性的關系。

圖3 彈道系數和初速與全飛行時間的散點圖Fig.3 The scatter diagram of ballistic coefficient and muzzle velocity with full flight time

由于此模型未知，應用1stOpt軟件進行自動擬合即在函數庫中自主選擇擬合公式，算法選擇通用全局優化算法和麥夸特法，得到最佳的擬合公式的形式為：

T=

(6)

擬合后的曲線如圖4所示。

圖4 彈道系數和初速與全飛行時間的擬合曲線Fig.4 The fitted curve for ballistic coefficient and muzzle velocity with full flight time

當c43=0時，擬合公式為：

(7)

取c43=0,同時取v0分別為50、700、1 400 m/s，得到真空彈道條件下的全飛行時間和原有數據對比誤差如表7所列。

表7 全飛行時間擬合后的公式與原數據的相對誤差Tab.7 The relative error between full flight time fitting formula and the original data

2.4 落地速度與彈道系數和初速關系擬合

根據表4給出的數據，由SPSS12.0 for Windows驗證彈道系數和初速與落地速度的相關性，得出彈道系數和初速的顯著性系數小于0.001，彈道系數與落地速度呈負相關，初速與落地速度呈正相關。從圖5可以清楚地看出彈道系數和初速與落地速度是多元非線性的關系。

圖5 彈道系數和初速與落地速度的散點圖Fig.5 The scatter diagram of ballistic coefficient and muzzle velocity with landing speed

由于此模型未知，應用1stOpt軟件進行自動擬合即在函數庫中自主選擇擬合公式，算法選擇通用全局優化算法和麥夸特法，得到最佳的擬合公式的形式為：

vc=

(8)

擬合后的曲線如圖6所示。

圖6 彈道系數和初速與落地速度的擬合曲線Fig.6 The fitted curve for ballistic coefficient and muzzle velocity with landing speed

當c43=0時，擬合公式為：

(9)

取c43=0,同時取v0分別為50、700、1 400 m/s，得到真空彈道條件下的落地速度和原有數據對比誤差如表8所列。

表8 落地速度擬合后的公式與原數據的相對誤差Tab.8 The relative error between landing speed fitting formula and the original data

3 分析與討論

在擬合彈道系數和初速與落地速度、全飛行時間、最大射程和最大射角關系經驗擬合公式時，R方擬合優度接近于1。由彈道系數和初速擬合出來的公式來驗證其可信度，擬合數據結果如表9所列。

表9 擬合后彈道諸元的數據結果Fig.9 The data result of fitted post-ballistic element

由于要求擬合關系式的R方擬合度盡量接近于1，所以選取擬合公式較為復雜。利用SPSS12.0 for Windows和1stOpt來驗證彈道系數和初速與全飛行時間、落地速度、最大射程角和最大射程關系經驗擬合的相關性。由于各種火炮的空氣彈道規律大體上是相同的，所得基本規律對于其他火炮同樣適用，應該具有普適性，有助于彈藥和引信總體論證、初步設計、性能分析和試驗評估的外彈道特性估算參考。

在處理多元非線性擬合分析時，需要先判斷自變量之間是否相關；若相關，再分析出相關自變量的函數關系來降低維數。由于自變量與因變量之間的函數關系未知，本文又是兩個不相關自變量與單個因變量的非線性擬合，采用1stOpt軟件進行三維非線性擬合，迭代過程中以R方擬合優度為標準，越接近1，擬合程度越好，設置迭代的次數，擬合算法選擇通用全局優化算法和麥夸特法(非線性最小二乘法)。擬合算法的選取標準是使迭代過程中迭代次數越少且擬合的程度越好。

4 應用舉例

為驗算由彈道系數和初速擬合出的經驗公式的適用范圍和準確度，用以下三個算例來檢驗得出的公式。

已知某122 mm榴彈炮普通榴彈初速v0=402 m/s,彈道系數c43=0.689,最大射程落點諸元的值分別為全飛行時間T=47.05 s、落地速度vc=269.16 m/s、最大射程角θmax=44°和最大射程Xm=9 720 m/s。將122 mm榴彈炮普通榴彈炮的初速和彈道系數代入由彈道系數和初速擬合出的經驗公式，得出的計算值與原有值的相對誤差如表10所列。

表10 122 mm榴彈炮普通榴彈外彈道諸元經驗公式估算結果Tab.10 The empirical formula estimation results of the 122 mm howitzer projectile exterior ballistics firing data

已知某120 mm迫擊炮普通榴彈初速v0=272 m/s,彈道系數c43=0.788 5,最大射程落點諸元的值分別為全飛行時間T=35.34 s、落地速度vc=214.10 m/s、最大射程角θmax=43°和最大射程Xm=5 889.26 m/s。將120 mm迫擊炮普通榴彈炮的初速和彈道系數代入由彈道系數和初速擬合出的經驗公式，得出的計算值與原有值的相對誤差如表11所列。

表11 120 mm迫擊炮普通榴彈外彈道諸元經驗公式估算結果Tab.11 The empirical formula estimation results of the 120 mm mortar ordinary grenade exterior ballistics firing data

已知某155 mm加榴炮普通榴彈初速v0=325 m/s,彈道系數c43=0.6,最大射程落點諸元的值分別為全飛行時間T=41.68 s，落地速度vc=251.95 m/s，最大射程角θmax=43°和最大射程Xm=8 200 m/s。將155 mm加榴炮普通榴彈炮的初速和彈道系數代入由彈道系數和初速擬合出的經驗公式，得出的計算值與原有值的相對誤差如表12所列。

表12 155 mm加榴彈炮普通榴彈外彈道諸元經驗公式估算結果Tab.12 The empirical formula estimation results of the 155 mm gun-howitzer projectile exterior ballistics firing data

5 結論

本文提出了利用SPSS12.0 for Windows和1stOpt分別對炮彈的彈道系數，包括初速與全飛行時間、落地速度、最大射程角和最大射程等進行了相關性分析和經驗公式擬合，提出了利用擬合函數關系得到具有較高精度的快速彈道諸元近似預估值的方法。擬合結果表明：全飛行時間、落地速度和最大射程角的均方根誤差比較小，預測值跟真實值接近，得出的函數關系式可信；最大射程的均方根誤差較大，預測模型描述實驗數據的精確度不高，但是R方擬合優度最接近于1，擬合趨勢最接近于真實的情況；彈道系數越小，初速越大，彈丸的全飛行時間就越長，落地速度、最大射程角和最大射程越大。可在信息量偏少時，用于引信和彈藥初步設計、性能和質量分析、試驗數據評估與鑒別等。