基于變步長分階自適應匹配追蹤算法的振動數據重構方法研究*

王朋飛，盛步云

(武漢理工大學 機電工程學院，湖北 武漢 430070)

0 引 言

機械振動是工程中普遍存在的現象，往往會影響設備工作精度，加劇機器磨損，導致設備發生故障或破壞[1]。

傳統的機械振動信號采樣與重建方法是在奈奎斯特采樣框架下進行的，利用目標信號中最高頻率兩倍以上的采樣率均勻地對目標信號進行采樣。隨著機械振動信號的頻帶范圍越來越廣，若依照上述采樣定律采集振動信號，將導致過多的冗余采樣，不利于信號的傳輸和存儲。

近年來，由Donoho等提出的壓縮感知(compressed sensing, CS)理論作為新的數據處理及重建方法，為振動信號處理技術提供了新的思路[2]。該理論指出，具備稀疏性的信號能夠利用低維的采樣數據無失真地重建出來，其中，信號重構算法的性能決定了重構信號的精度和速度。目前，最常用的信號重構算法是貪婪迭代算法，主要包括匹配追蹤(matching pursuit, MP)、正交匹配追蹤(orthogonal matching pursuit, OMP)、壓縮采樣匹配追蹤(compressive sampling matching pursuit, CoSaMP)等算法[3]。該類算法需要提前得到信號的稀疏度，不便于工程實現。為此，稀疏度自適應匹配追蹤算法[4](sparsity adaptive matching pursuit, SAMP)被提了出來，并有效地解決了實際信號稀疏度未知的問題。但是SAMP算法使用固定的步長，如果初始步長選擇不合適，會使支撐集引入錯誤的原子，嚴重地影響重構信號的精度和速度。

為解決上述問題，筆者提出一種變步長分階自適應匹配追蹤(VSSStAMP)算法，通過閾值來控制步長，使重構結果不過分依賴固定步長的選取，避免人為選取步長產生的誤差；將匹配追蹤、變步長迭代及自適應思想相結合，以彌補傳統壓縮重構算法及SAMP算法的不足。

1 壓縮感知理論

壓縮感知理論的數學表達式為：

y=Φx=ΦΨθ

(1)

式中：y—壓縮后的低維信號，y∈RM；x—傳統尼奎斯特采樣得到的原始數字信號，x∈RN；Φ—測量矩陣，其大小為M×N；Ψ—稀疏矩陣，大小為N×N；θ—K階稀疏系數。

其中：x通常情況下是不稀疏的，但往往會在某個稀疏字典Ψ中表現出稀疏特性，也就是x=Ψθ。

矩陣Φ表示一個降維的投影操作，把RN映射到RM中，一般來說，K

式(1)中，方程的個數遠小于未知數的個數，測量矩陣Φ非滿秩，因此，方程有無限個解，很難重構出原始信號。但是如果信號x或x在稀疏基Ψ下是K階稀疏的，且Φ滿足約束等距特性(RIP)，那么可以實現利用K個系數從M個觀測值中重構出原始信號。

基于壓縮感知理論的機械振動數據重構流程圖如圖1所示。

圖1 基于壓縮感知理論的機械振動數據重構流程

由圖1可知，在壓縮感知理論體系中，有兩個關鍵的問題需要研究：

(1)如何設計測量矩陣Φ，使得它在采樣過程中保存信號x的有效信息；(2)如何基于測量信號y重建出原始信號x[5]。

2 測量矩陣

2.1 常用測量矩陣的類別和性能

在壓縮感知理論中，測量矩陣的選取對測量值獲取、重建復雜度以及信號的恢復程度起到重要作用。在信號重建算法相同的情況下，測量矩陣的性能優劣與信號重構效果好壞呈正相關。

經典的測量矩陣大多數為隨機測量矩陣，如高斯隨機測量矩陣、部分哈達瑪測量矩陣、伯努利測量矩陣等，均滿足約束等距特性(RIP)和非相關特性，其結構簡單，廣泛應用于工程項目中。但該類測量矩陣內部元素具有隨機性，需要占有較多的內存及CPU計算能力，對硬件設備的要求較高。

鑒于隨機測量矩陣的不足之處，部分研究人員提出了確定性測量矩陣，包括利用行向量循環移動生成的托普利茲測量矩陣；通過代數曲線構造代數觀測矩陣；通過多項式方法來構造的多項式測量矩陣等[6-8]。當構造確定性測量矩陣時，只要待測系統的結構和性能已知，其內部元素也隨之確定，系統消耗資源較少。

2.2 常用測量矩陣性能差異

下面通過仿真實驗來檢測常用測量矩陣性能差異，包括托普利茲矩陣、部分哈達瑪矩陣、循環矩陣、伯努利矩陣、高斯矩陣和稀疏隨機矩陣6種隨機及確定性測量矩陣。

本次實驗的自變量為不同區間范圍的稀疏度K或測量數M。對于同一組原始信號x∈RN，基于不同的測量矩陣Φ，在區間范圍內等間隔測試，得到觀測信號y∈RM。通過觀測信號y重構信號x，每個觀測值個數均迭代運行1 000次，如果殘差小于10-6信號恢復成功，將信號恢復概率依次累加，得到不同測量矩陣重構成功率與測量數M和稀疏度K的關系，如圖2所示。

從圖2可以看出，在不同測量矩陣重構成功率和測量數M或稀疏度K的關系曲線中，部分哈達瑪矩陣均表現出穩定均衡的重構性能，優于其他測量矩陣，則在以下的重構算法性能驗證中，測量矩陣優選部分哈達瑪矩陣。

圖2 不同測量矩陣重構成功率與測量數M和稀疏度K的關系

3 VSSStAMP算法

在壓縮感知框架下，已知y=Φx，其核心問題是基于y如何重建出原始的稀疏信號x。

針對稀疏度未知的機械振動信號壓縮重建情況，筆者提出了一種新的自適應貪婪算法，即變步長分階自適應匹配追蹤算法，其流程如圖3所示。

該算法通過閾值來控制步長，前期通過大步長快速接近閾值，后期通過小步長逐漸逼近閾值，使其不過分依賴固定步長的選取，從而實現步長自適應的重構振動信號，提高了數據的重構效率，較好地避免人為選取步長產生的誤差。

該算法將匹配追蹤、變步長迭代及自適應思想相結合，解決了傳統壓縮重構算法需提前估計稀疏度及SAMP算法固定步長無法使信號在不同階段都達到真正的稀疏水平的問題，最終提高重構信號的精度和效率，且易于工程實現。

VSSStAMP算法的流程與步驟如下：

圖3 基于變步長分階自適應匹配追蹤算法流程圖

(1)輸入：

測量矩陣ΦM×N，觀測向量yM×1，初始步長大小s；

(2)輸出：

該算法的迭代終止條件是，臨近兩次迭代的廣義最小二乘解的差的范數小于迭代終止閾值ε。

(3)初始化：

具體的算法流程如下：

(6)若重構信號的殘差‖ri-ri-1‖2≤ε，則停止迭代進入步驟7，否則執行步驟1；

該算法一共有兩個階段：其一為變步長階段，另一種為固定步長階段。當I=0時，程序處于步長可變的階段；當I=1時，則信號恢復將切換到步長固定的階段。

在架構上，VSSStAMP算法與SAMP算法類似，增加了變步長的步驟，具體實現在第2步，判斷預選集Ui包含的原子個數是否大于u*M，若滿足條件，則使用小步長s，否則，使用大步長2*s。由公式可以看出，u值的選取對終止條件的影響較大。

下面介紹如何選擇u。

Candes指出[9]，如果要恢復信號，則采樣數應為信號稀疏度的4倍。在該算法中，Ui是當前迭代的列序號集合和先前迭代的支持集的索引的并集，M是測量矩陣的行數。根據上述規則，u應小于1/4。例如，在嚴格稀疏信號中，當初始步長為K且size(Ui)=K時，應選擇u<1/4才能成功恢復原始信號。信號重構的第一階段是通過變步長來快速增加預選集Ui的原子個數。當條件size(Ui)>u*M滿足時，該過程將切換到固定步長的階段。該算法將重復迭代，直到達到終止條件‖ri-ri-1‖2≤ε。

同時，VSSStAMP算法采用了反向跟蹤的思想。因此，即使在先前的迭代中引入了錯誤的支持原子，后續的迭代也可以將錯誤的原子刪除，縮短了步長選取不當的迭代時間，進而實現更好的重構效果。

4 仿真信號分析及實例驗證

為了驗證VSSStAMP算法的正確性和有效性，筆者對帶有阻尼的受迫振動系統進行重構仿真驗證。

施加初始沖擊后，系統將在阻尼的作用下作持續的衰減運動。三階阻尼振動方程式為：

(2)

式中：x(t)—仿真模擬信號；e(t)—隨機高斯白噪聲，其SNR為10 dB；Ai—各組成諧波信號的幅值，A1,A2,A3分別是0.6,1.2,1.8；fi—載荷頻率，f1,f2,f3大小為98 Hz,105 Hz,118 Hz；ξi—阻尼系數，ξ1,ξ2,ξ3分別為0.010,0.008,0.006。

原始仿真信號的時域和頻域波形如圖4所示。

圖4 原始仿真信號的時域和頻域波形

得到仿真信號后，筆者對提出的重構算法與OMP、CoSaMP和SAMP算法的重構效果、重構精度和運算時間3方面進行比較。

已知測量矩陣為部分哈達瑪測量矩陣，對于不同的重構算法，信號重構時域、頻域效果如圖5所示。

由圖5可知：OMP、CoSaMP、VSSStAMP重構算法的去噪效果良好，SAMP算法未將去噪效果考慮進去且VSSStAMP算法的重構效果明顯優于其他算法，因此，在時域波形的恢復效果上，VSSStAMP算法具有較大優勢。

由圖5還可知：由于載荷頻率f1和f2差別較少，OMP、VSSStAMP重構算法未能正確識別載荷頻率f1，丟失關鍵頻率特征；SAMP重構算法恢復完整的載荷頻率信息，但不足之處是未將噪聲排除，干擾頻率較多，對后續分析產生影響；而VSSStAMP重構算法得到了完整頻率信息，且基本無干擾頻率。因此，在頻域波形的恢復效果上，VSSStAMP算法優于其他算法。

不同算法信號重構的修復誤差及運行時間如表1所示。

圖5 不同算法信號重構效果對比圖

表1 不同算法信號重構的修復誤差及運行時間

由表1可知：VSSStAMP算法在重構精度和運算時間上均優于傳統的OMP、CoSaMP和SAMP重構算法。

綜上，VSSStAMP算法可以解決稀疏度未知信號的重構問題，且在重構效果、重構精度和運算時間上均優于傳統的重構算法。

為了更好地驗證VSSStAMP算法的性能，筆者采用XJTU-SY軸承數據中心提供的滾動軸承加速實驗數據[10]進行壓縮重構處理。其實驗平臺主要由支撐軸承、交流發動機、液壓加載系統、測試軸承和轉軸等構成。主軸轉速為2 100 r/min，采集水平方向的振動信號，采樣頻率設置為25.6 kHz。

正常狀態下，采用VSSStAMP算法重構的軸承振動信號如圖6所示。

圖6 正常狀態下VSSStAMP算法重構軸承信號

圖6中：實驗平臺采集的正常狀態下的軸承振動數據的時域及頻譜圖中，振動信號的長度N大小為4 096，測量信號數目M大小為1 024，測量矩陣選取部分哈達瑪測量矩陣ΦM×N；通過改進的VSSStAMP算法對該組數據進行壓縮重構。

由圖6可以看出，重構信號的時域及頻域恢復效果具有良好的魯棒性，可提取出振動信號的有效成分。

同理，可得到4種工況下重構信號后，計算VSSStAMP算法的重構精度和運算時間，如表2所示。

表2 VSSStAMP算法的重構精度和運算時間

由表2可知，對于任意工況，基于VSSStAMP算法均能夠以較高的重構精度以及合適的重構時間，來實現振動數據的壓縮與重構。

5 結束語

以壓縮感知理論為基礎，筆者首先對測量矩陣進行了篩選，選擇了性能最優的測量矩陣用以得到最佳觀測向量，提高了信號重構成功概率；其次結合匹配追蹤、變步長迭代及自適應思想，針對傳統壓縮重構算法需提前估計稀疏度，及SAMP算法固定步長無法使信號在不同階段都達到真正的稀疏水平的問題，在未知振動信號稀疏度的前提下，提出了基于變步長分級自適應匹配追蹤振動數據重構算法。

仿真分析和實驗結果均表明：在時域、頻域波形恢復效果、重構精度和運算時間方面，VSSStAMP算法均優于傳統的OMP、CoSaMP和SAMP重構算法，因此，它是一種綜合性能優異的振動數據重構方法。