技術融合數學創課，發展數學核心素養
——以“平行四邊形的性質”教學片段為例

梁美玲 徐中依 蔣文榮

（[1]廣西師范大學 廣西·桂林 541004；[2]桂林市第十九中 廣西·桂林 541001）

1 創課背景與問題

平行四邊形的性質是湘教版初中數學八年級下冊第二章的內容，本節既是平行線與全等三角形等知識的延續與深入，也是后續學習矩形、菱形、正方形等特殊平行四邊形的性質的基礎；學習本節一般要經歷觀察研究對象、猜想圖形的性質、驗證性質、證明性質等一系列的數學活動，有助于培養學生數學抽象、直觀想象的核心素養。在傳統教學中，通過對模型的測量引導學生發現平行四邊形的性質，難以幫助學生獲得平行四邊形的性質的證明思路，難以理解平行四邊形的性質，難以促進學生深度學習。文章試圖基于“魚漁欲”三位一體的教學理念，并將Hawgent皓駿動態數學技術(下簡稱“皓駿”)深度融合數學創課，用好用活教材，突出重點和破解難點的同時，促進學生發生深度學習，發展數學核心素養，提升數學教學的有效性。

2 創課設計與實錄

針對傳統教學中用量角器、尺子等測量模型不精確，且不具一般性的不足，對“平行四邊形的性質”的教學進行創課思考，結合皓駿積件經歷測量、觀察、猜想、驗證、證明等教學過程，努力實現授人以“魚”的同時授人以“漁”和“欲”。教學主要設計三個環節，環節一：實物測量，展開猜想。通過提問，讓學生動手測量手中的平行四邊形的邊、角、對角線的數值，引發關于平行四邊形的性質的猜想。環節二：動感展示，助力猜想。開展小組活動，讓學生親自動手操作動態的數學積件，任意拖動平行四邊形，改變大小，觀察對邊、對角、兩條對角線被交點所截的四條線段的測量值，同時通過旋轉使兩個三角形重合，驗證猜想。環節三：回歸圖形，證明猜想。通過數學推理與數學直覺，教師引導學生建立做輔助線的思路，啟發學生的思維，進而讓學生自主證明猜想，得出平行四邊形的性質。根據上述的創課思路，設計了如下“平行四邊形的性質”教學片段。

環節一：實物測量，展開猜想。

師：同學們，我們知道平行四邊形的兩組對邊分別平行，那對邊的長度與對角的大小分別有什么關系呢？大家不妨動手量一量手中的平行四邊形，看一下有什么發現!

生：老師，我發現這個平行四邊形的兩組對邊分別相等，并且對角也是相等的。（用尺子和量角器測量）

師：很好，大家再探究一下對角線的關系，動手測量兩條對角線被交點所截的四條線段的長度，又能發現什么呢?

生：哇，好神奇，我發現兩條對角線是互相平分的。

師：通過測量后的結果，你能做出什么猜想嗎？

生：平行四邊形的對邊相等、對角相等、對角線互相平分。

師：不錯。是不是對任意的平行四邊形都有這樣的特點呢？

片段實錄分析教師先是把平行四邊形的邊和角這兩個基本要素作為探究性質的切入點，再深入探究平行四邊形對角線的奧秘，學生通過直接測量模型發現平行四邊形的特點，教師追問是否任意的平行四邊形都有這些特點，引發學生強烈的好奇心，同時也促進學生深度思考，激發學生學習新知的欲望。

環節二：動感展示，助力猜想。

師：小組同學利用手中的平板操作積件，對平行四邊形進行隨意拖動，并觀察邊和角測量值，你會有什么發現呢？

生：不管平行四邊形怎么變，它的對邊總是相等，對角也相等。

師：好。我們再觀察兩條對角線被交點所截的四條線段的長度，能說明任意平行四邊形都有對角線互相平分嗎?

生：通過積件測量，發現總有OA=OC，OB=OD，可以驗證任意平行四邊形，對角線互相平分。（如圖1所示）

圖1

師：很好，通過測量積件可以驗證剛才對于平行四邊形的猜想。下面看一下圖1，如果將左邊的三角形ABO繞點O旋轉180°，旋轉后會有什么效果？大家也可以操作手中的平板電腦將三角形ABO繞點O旋轉180°，看看它與三角形CDO有什么關系？

生：三角形ABO繞點O旋轉180°后與三角形CDO完全重合了。

師：沒錯，兩個三角形重合說明這兩個三角形全等，所以有OA=OC、OB=OD。下面大家根據剛才的驗證結果，填寫相應表格。

片段實錄分析傳統教學往往只關注知識生成的結果，而忽視了知識生成的過程。利用皓駿直觀驗證平行四邊形的特點，使學生認知過程視覺化，自然而然地展示了知識的發生發展路線，助力培養學生直觀想象的數學核心素養。學生參與小組實驗經歷合作探究的過程，不同思維的碰撞有效地促進數學深度學習。

環節三：回歸圖形，證明猜想。

師：我們已經通過實驗驗證了任意平行四邊形都有對邊相等、對角相等、對角線互相平分的特點。在數學中，我們是講究嚴謹性的，那應該如何證明平行四邊形的這些特點呢？

師：我們想要證明邊與邊相等、角與角相等，大家可以想到以前的什么知識？

生：在全等三角形中有對應邊、對應角分別相等。

師：所以我們就要考慮構造兩個全等三角形，那在平行四邊形中怎么構造三角形？

生：直接連接對角線就可以。

師：不錯的想法，大家不妨試著寫出證明過程。

形成構造全等三角形的思路后，先由學生獨立完成推理證明，再通過講評規范證明過程，最后引導學生用符號語言表達平行四邊形的性質。

片段實錄分析：數學的嚴謹性體現了證明的必要性，教師通過提問并結合所學知識引導學生深入思考，建立連接對角線作輔助線的思路，適當的引導后放手給學生獨立寫出證明過程，提供自主探索的空間，讓學生經歷合情推理和演繹推理的數學推理過程，體悟數學思想方法。

3 創課實踐與反思

創課首先是理念的創新，其次才是技術基于理念深度融合教學實踐中，這需要“五位一體”的系統思考。這里主要分享2點反思。

3.1 動態數學技術融合數學活動中，發展學生直觀想象的核心素養

一般而言，數學課堂需要經歷多元的數學活動，多元活動單有助于發展學生的數學核心素養。這里設計三個活動單：實物測量，展開猜想；動感展示，助力猜想；回歸圖形，證明猜想，充分發揮了教師的主導作用和學生的主體作用，主要體現在：一方面，學生通過測量看得見、摸得著的平行四邊形實物模型，大膽提出猜想，并動手操作皓駿積件驗證猜想，助力直觀想象核心素養的發展；以學生為主體，有效地開展小組合作探究活動，讓學生經歷探索發現數學知識的過程；另一方面，教師主導課堂，通過學生的反饋情況控制課堂教學的進程，并作適當的提問、點撥。譬如，通過皓駿演示旋轉后兩個三角形重合為證明中需要構造全等三角形埋下伏筆，教師引導學生利用數學直覺與數學推理建立作輔助線，構造全等三角形的思路，助力平行四邊形性質的證明。

3.2 動態數學技術融合提問鏈中，促進學生深度理解數學知識本質

技術可以作為“顯微鏡”，有效展示授人以“魚”的“魚”，促進學生理解數學知識的本質。傳統教學僅通過測量單一的數學模型，直接猜想性質對學生來說比較難，為了促進學生深度思考，不能只滿足猜想和驗證層面。本創課借助皓駿的動感積件引導學生發現平行四邊形變中不變的規律，提升數學教學的有效性。提問鏈發揮“望遠鏡”的作用，聚焦平行四邊形的性質，教師通過“平行四邊形對邊的長度與對角的大小分別有什么關系？”“平行四邊形兩條對角線被交點所截的四條線段有什么關系？”“對任意平行四邊形，都有這些關系嗎？”“如何證明這些關系？”等層層深入的提問鏈，深度追問導向學生在知識構建的過程中進行深度思考，不僅直觀凸顯知識的本質，還有助于發展數學思維品質，促進數學深度學習。