多項式插值和最佳逼近簡析及比較

（南京航空航天大學理學院 江蘇·南京 210016）

0 引言

在工程實際中，經常需要用簡單函數對未知函數或者復雜函數進行近似。常用的簡單函數有多項式函數和三角函數。多項式近似是本科課程“計算方法”和研究生課程“數值分析”的核心內容之一，也是高等數學中微分近似和泰勒公式的推廣。之所以要對函數進行簡單近似，主要基于三個原因：

（1）函數以離散、列表的方式給出，函數表達式未知，需要計算不可測量點處的函數值；

（3）如果函數的原函數不是初等函數或者原函數比較復雜，需要用簡單函數計算積分的近似值。

產生近似多項式的方式一般有兩種：插值和逼近，而逼近通常又包含最佳一致逼近和最佳平方逼近。下面對這幾種方式分別進行討論。

1 多項式插值

表 1：不同[a,b]、n時A(1)的條件數

2 連續函數的最佳一致逼近多項式

關于最佳一致逼近多項式的幾點說明：

（2）最佳一致逼近找最佳就好比在許多班級中比較各班級最后一名的成績，成績最高者所在班級為最優秀班級。

（3）最佳一致逼近將每一點的誤差看作同等重要，過于重視小區間段上的誤差，其他點處的信息會被最大誤差點的信息所覆蓋和吞噬。

（4）工程應用中，最佳一致逼近度量能提供我們更安全的解。

3 平方可積函數的最佳平方逼近多項式

表2：不同積分區間、不同時A(2)的條件數

表2：不同積分區間、不同時A(2)的條件數

?

表3：不同區間、不同時A(3)的條件數

表3：不同區間、不同時A(3)的條件數

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（3）最佳平方逼近弱化每一點的誤差，重視整體上的誤差，每一點的信息對最佳平方逼近多項式都有影響。

（4）最佳平方逼近的目標函數嚴格凸、可導，這使得最佳逼近元的求解非常簡單。

（5）最佳平方逼近找最佳就好比在許多班級中比較各個班級的平均分，均分最高的班級為最優秀班級。

4 小結

本文系統地對多項式插值、最佳一致逼近和最佳平方逼近做了簡單討論，意在加深學生對插值和逼近的概念和各自特點有更深的理解。最后，圍繞多項式插值、最佳一致逼近和最佳平方逼近的相互關系，給出如下的說明：

（4）雖然最佳逼近比插值具有更好的收斂性，也能有效地過濾數據誤差對近似多項式的影響，但需要利用先驗信息確定最佳逼近多項式的次數 。