數形結合重設計，學力提升增效益

李佳

摘要：為有效提升學生的數學學習質量，促進學生盡早形成發展性學習思路，教師可嘗試以形輔數，引導學生進行整體性學習，以數助形，助力學生進行實踐性學習，讓學生自覺地從知識結構化、整體化視角出發，利用數形結合，更清晰地去解決數學問題，最終養成數形結合的思維模式。

關鍵詞：數形結合;整體性;實踐性;發展性

浙教版七上教材教學建議中明確指出，借助數軸讓學生經歷有理數乘法法則的發生過程。由此，筆者從七上“2.3.1有理數的乘法”有效情境的創設中得出思考：（1）結合學生小學所學“數的乘法”，不難得出3×2=3+3=6，繼而利用數軸得出“乘法就是求相同數的和”這一結論：

（2）通過3×2=6可以推理出（-3）×2=（-3）+（-3）=-6，

在數軸上應表示為：? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，

數擴充到有理數后，一方面，（-3）×2可以看成是兩個-3的和;另一方面，單從負號表示的意思來看，它就是3×2這個整體數式的相反數。（3）啟發學生通過比較3×2=6與（-3）×2=-6兩式，尤其需要注意左邊乘數符號的變化引起右邊結果的變化，從而悟出“改變相乘兩數中一個乘數的符號時，其積就變為原來的相反數”。（4）在（3）的結論下，通過比較3×（-2）與3×2兩式，猜想它們的結果有怎樣的關系。（5）最后在（3）（4）的基礎上，學生通過比較得出

（-3）×（-2）與3×（-2）兩式結果之間的關系，從而歸納出乘法法則。這就是借助數軸，讓學生理解原來基礎上數的負號即為原數方向的反方向，讓學生考量數軸的實際意義，正確認識“正負”即表示一對意義相反的量。

一、“數軸”概念的引入

眾所周知，數擴充到有理數后，二者最大的區別就是出現了負數，而詮釋負數最好的工具是數軸。數軸在規定了原點和正方向以后，就對數做了定性的分類，原點右邊的數為正數，原點左邊的數為負數，這正是進一步學習不等式邊界值取值范圍題型中經常用到的“簡易數軸”。在給數軸定性的基礎上，我們同時進行定量的學習，再給數軸加上第三要素——單位長度，數軸的三要素就齊了。數軸由無數個點組成，對于每一個有理數，在數軸上都能找到唯一確定的點和它一一對應，而有理數的學習，可以通過它們在數軸上點的位置來刻畫（實數亦是如此），由此，學生對抽象知識的學習有了形的直觀，并且力求讓學生在知識的理解、掌握和運用上時刻不忘它的形（數軸上的點），具象化相關數學問題，以數形結合的方式更好地理解所學知識。另外，數軸也是檢驗學生是否真正理解、掌握相關數學知識的一個有效手段。

除簡易數軸外，直角坐標系更是實現數形結合的有效途徑。笛卡爾發明的直角坐標系是經緯網確定物體位置局部的一個縮影，能有效提高將圖形量化的可能性，將圖形和數對有機結合起來，成功實現從一維到二維的轉變。直角坐標系里的每個點都對應一個數對 ，這極其有利于學生數形思維的形成。其實，無論是數軸上點與數的對應，還是直角坐標系里點與數對的對應，都是數形結合的有機體現。

二、整體觀念的思考

筆者從運算之間的聯系進行思考，發現加、減、乘、除、乘方、開方之間的關系非常緊密，可以說每種運算里都有加法的影子，其中乘法是相同加數的和，可以把它看作特殊的加法。一旦認識到乘法其實是加法的簡便計算，在有理數乘法運算法則的學習過程中，學生已經借助數軸成功得出“兩個正數相乘就是求兩個對應相同正數和”的結論，繼而從“負號”所表示的實際意義即為“相反”出發，讓學生領悟“-3”中的負號僅表示“下降”的意思，即為向數軸原點的左邊移動。同時，讓學生借助生活中具有相反意義的量，如“向右和向左”“盈利和虧損”“收入和支出”等來理解負數，明確一旦規定正方向，負數就出現了。

從初一“數的認識”開始，無論是“有理數”“有理數的運算”乃至“實數”，每節課的學習里面都有一個共同的載體，那就是數軸。像相反數、絕對值的概念，里面都有數軸的影子。

數軸規定往右為正，往左為負，這樣分類討論的思想也就有了。對于學生來說，分類討論并不陌生。比如，小學典型的分類討論：分母相同，比分子;分子相同，比分母。再如，“絕對值等于5的數”，絕對值是一個正數，答案有2個;絕對值等于0，答案有1個;絕對值等于負數，無解。這與將在之后學習中遇到的“平方根”“一元二次方程”“二次函數圖象與x軸交點個數”頗為類似，“2個解”“1個解”“無解”的結論充分促進學生理解數與數量的關系，提升運算結果分析、類比、歸納等方面的能力，培養學生的數感。另外，數軸上的任意一對相反數，距離原點兩側均勻分布，用對稱的眼光來看，每一對相反數都關于原點對稱，這也十分有助于培養學生的數形思維。

三、以形輔數，引導學生整體性學習

例：已知二次函數y=x2-2x-3

（1）求函數圖象的頂點坐標、對稱軸和與坐標軸交點的坐標，并畫出函數的大致圖象;

（2）自變量x在什么范圍內時，y隨著x的增大而增大？何時y隨著x的增大而減少？并求出函數的最大值或最小值;

（3）已知（-2，y1），（1，y2），（? ? ?，y3）是拋物線y=x2-2x-3上的點，試比較y1，y2，y3的大小;（圖象法解二次函數）

（4）根據y=x2-2x-3圖象，求出一元二次方程x2-2x-3=0的解;

（5）若一元二次方程x2-2x-3=k有兩個不相等的實數根，求k的取值范圍;（函數中的方程問題）

（6）結合二次函數y=x2-2x-3圖象，說出關于x的不等式x2-2x-3>0的解;（函數中的不等式問題）

（7）根據圖象，求關于x的不等式x2-2x>x的解。（兩個函數間的位置關系）

從以上例題不難得出，在整個解題過程中，由數到代數的演變是一個難點，學生往往很難理解式中字母所代表的一般意義以及字母系數與未知數之間的站位。其實，一個未知數已經涉及方程的學習，涵蓋兩個未知數（變量）就是函數的學習了，這是一個量變的過程，并不是一蹴而就的。當然，無論是方程還是函數，它們之間相互聯系、相輔相成。其中，代數問題圖化法，往往能使抽象問題具象化，實現數學的直觀想象，使復雜問題變得簡單，從而達到事半功倍的效果。

數學學習中的推理建模是一件很有意思的事情，培養學生用數學的眼光看問題，把生活問題數學化、數學問題函數化，讓函數法成為通式、通法。正所謂“數少形時少直觀，形少數時難入微，數形結合實在妙，數學問題難變易”，數“形”的學習，外延至“型”的討論，讓學生充分了解數學模型是數學學習應用過程中，根據預判選定的解決數學問題的知識和方法，這也就是通常我們常說的建模。

本文以數軸展開討論，結合課堂教學實例，一方面，展示數形結合這一重要的數學思維，利用數軸幫助學生更好地理解正負數的抽象意義，掌握數的擴充，以便圍繞數軸，得到算理、算法;另一方面，數軸規定向右為正，運用“往右為正，往左為負”這一準則，引導學生進行歸納，遷移得出另一重要數學思想——分類討論，使學生養成多角度思考問題的習慣。數學學習本身就是一個尋找聯系、建立關系的過程，數形結合針對空間形式及數量關系之間的關系進行探究，使代數問題幾何化、圖形問題代數化得到了實現，促使學生進一步學會用數學知識解決生活中的實際問題，從生活中發現數學問題、提出問題，繼而將自己所學的數學知識運用于問題的解決，提高學生的數學綜合應用能力。

參考文獻：

吳波.以形建數，培養數感[J].湖北教育（教育教學版），2020（09）.

（責任編輯：韓曉潔）