基于向量式有限元的起重機桁架結構破斷過程分析*

楊曉華 劉 龍 馬 月 王傳存

1 上海振華港機重工有限公司 2 上海海事大學上海離岸工程研究院

1 引言

桁架結構具有自重輕、布置靈活等特點，在建筑、橋梁以及海上工程裝備領域得到廣泛的應用，其結構安全性也日益引發關注[1,2]。

結構破壞過程中伴隨大變形、大位移問題，是復雜的非線性問題。近年來出現的向量式有限元理論[3]，將連續體在空間上離散為一系列質點的集合，在時間上離散為一系列分段的途徑單元的集合，并在各時間段內直接用牛頓第二定律取代連續體偏微分方程來描述這些質點的運動，為結構破壞行為研究提供有力的分析思路。該方法能夠實現結構倒塌變形的全過程分析，成功應用于建筑、海洋工程等領域。喻瑩[4]建立了空間鋼結構構件的斷裂準則和斷裂模式，實現了空間鋼結構構件斷裂行為的模擬。段元鋒等[5]應用分層纖維梁柱單元，計算斜拉橋在地震作用下的結構響應，對其倒塌破壞全過程進行了模擬。基于梁單元理論，朱明亮、郭正興[6]對大跨度鋼結構進行動力學分析。李效民等[7]采用平面彎曲桿件單元計算海洋立管在海流、波浪作用下的動力響應特性。鐘杰[8]對框架結構斷裂過程進行仿真計算。

針對起重機典型桁架結構應用向量式有限元梁單元理論，進行桿件破斷后結構運動全過程分析，分析結構局部和整體的內力和位移變化。

2 向量式有限元梁單元理論

向量式有限元基于點值描述、逆向運動和途徑單元概念，將結構的空間形態用點值描述，構成節點和單元；利用單元逆向運動獲取純變形以計算內力；將結構在一時間段內的運動變形劃分為多個時間微段的途徑單元，每個途徑單元都會更新局部坐標系，實現結構位置形狀的步步更新。

下面通過三維梁單元描述整個過程。

2.1 點值描述

根據實際結構，向量式有限元將研究對象離散為一系列空間質點，質點具有一定質量，單元不存在質量。

空間梁單元用于分析三維空間結構，節點包括3個平移量和3個轉動量，單元內力包括軸力、剪力和彎矩。

由于梁單元沒有質量，通過結構單元的質量計算彎曲桿件單元的等效質量和慣性矩。

控制方程是一組由牛頓運動定律得到節點平動和轉動微分公式，并運用顯式中心差分公式進行求解。

2.2 逆向運動

向量式有限元將質點運動分析的全過程在時間上分為一系列小時間段，每一時段為一途徑單元。在途徑單元內結構元變形很小，因此每一途徑單元的內力增量，包括軸向力，剪力和彎矩，都可以用材料力學公式計算。

在途徑單元內，向量式有限元均利用逆向運動求結構變形，逆向運動包括剛體平移與剛體轉動。

如圖1所示，單元1a-2a經運動變形到達1-2，令其作一個虛擬的平移轉動逆向運動，則得到該單元在每一微小時間段內長度轉角的純變形。

圖1 梁單元的運動變形

2.3 單元內力計算

梁單元的變形和內力是根據材料力學的撓曲理論來進行主軸坐標分析，包括長度的變化、軸向的扭力彎曲以及兩組彎曲變形，先各自運算，然后矢量相加。對于三維梁單元，計算時還要考慮繞單元主軸的轉動。

梁單元節點內力和彎矩：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

上述內力以全局坐標表示，實際計算時還需轉換到構件的局部坐標系中，經過坐標轉換和剛體轉動后得到節點力。

2.4 計算過程

向量式有限元的計算流程如下：

(1)確定結構的材料、截面性質、阻尼、計算步長及總時長等參數。

(2)將結構劃分為節點和梁單元。

(3)通過中央差分控制方程求解節點的運動。

(4)由逆向運動獲得單元的純變形，并確定內力的大小和方向。

(5)更新控制方程中的外力和內力。

(6)判斷是否達到計算終止時間。若否，則重復3～5；若是，則輸出分析結果。

3 岸橋桁架前大梁破斷過程分析

選取某港口岸邊集裝箱起重機前大梁結構，尺寸見圖2。材料為Q345，彈性模量為2.06×1011Pa，泊松比為0.3，密度為7 850 kg/m3，屈服應力為345 MPa。桁架截面為圓管，為簡便計算，統一設置圓管外徑為0.16 m、內徑為0.14 m。

圖2 起重機臂架示意圖

3.1 模型創建

根據結構尺寸，建立離散化模型，共有102個節點，232個單元(見圖3)。

圖3 起重機大梁向量式有限元模型

3.2 外載荷施加及約束

在大梁節點施加外載荷，包括起重機額定載重與吊具重量，一共389 158 N，緩慢施加于大梁海側最遠端節點28、61(見圖4、5)。

圖4 外載施加節點位置

圖5 外載荷時程圖

根據大梁圖紙，在大梁端部和斜拉桿節點處進行固定約束，位于節點2、3、35、36和102(見圖6)。

圖6 約束節點位置

3.3 三維臂架結構的斷裂過程分析

假設臂架在水平位置，單元90在2 s后突然發生斷裂。為簡化斷裂分析計算，假設斷裂僅發生在單元兩端，同時不考慮單元斷裂后的碰撞問題，斷裂后脫離結構的單元節點外力只考慮重力。

由圖7可以看出，單元90發生斷裂后，彎矩和軸力波動較大，然后逐漸趨近于0。圖中1、2分別表示單元兩個節點。

圖7 單元90內力變化圖

對受載節點局部的單元進行內力分析。單元89與斷裂單元90相鄰。在發生斷裂后，各自形成自由端，彎矩大幅增加，軸力由拉變為壓，較斷裂前大幅減小(見圖8)。

圖8 單元89內力變化圖

接下來選取外載節點附近的26、27單元進行分析。單元26和27由于靠近受載節點，彎矩變大，軸力增加幅度更大。斷裂發生后承受更大的外載(見圖9、10)。

圖9 單元26內力變化圖

圖10 單元27內力變化圖

4 結語

基于向量式有限元梁單元理論對起重機臂架結構進行破斷過程分析，展示了某一個單元發生斷裂后局部結構到整體結構的內力變化，為研究起重機大型鋼結構倒塌演變機理、探索倒塌模式控制奠定了基礎，為結構倒塌分析提供了新的思路，為結構安全設計提供參考。本研究主要考慮結構強度安全，沒有考慮構件失穩、碰撞等破壞形式，對此有待進一步深入研究。