磁-電-彈性半空間在軸對稱熱載荷作用下的三維問題研究1)

胡克強(qiáng) 高存法 仲政 Chen Zengtao

*(南京航空航天大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與振動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,南京 210016)

?(哈爾濱工業(yè)大學(xué)(深圳)理學(xué)院,深圳 518055)

**(Department of Mechanical Engineering,University of Alberta,Edmonton,AB,T6G 2G8,Canada)

引言

磁-電-彈性材料是一種同時(shí)具有壓電壓磁磁電耦合效應(yīng)的復(fù)合材料,這種材料在工程結(jié)構(gòu)中,尤其是在智能材料和結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中,有越來越廣泛的應(yīng)用.磁-電-彈性材料所固有的力電磁耦合特性使它們成為智能結(jié)構(gòu)中傳感與執(zhí)行元件的首選材料,廣泛應(yīng)用于傳感器、執(zhí)行器、濾波器、換能器和其他智能器件,在能量轉(zhuǎn)換系統(tǒng)中有著非常可觀的潛在的應(yīng)用前景[1-8].由于這些智能器件通常在復(fù)雜的力、電、磁和熱耦合載荷環(huán)境下工作,因此對磁-電-彈性材料在多場耦合環(huán)境下的響應(yīng)問題研究具有重要的意義.

近年來,關(guān)于磁-電-彈性材料力學(xué)問題的研究備受關(guān)注.Wang 等[9]推出了各向異性磁-電-彈性半空間在圓周方向載荷作用下的解析解.利用推廣的Stroh 公式和坐標(biāo)變換技術(shù),Qin[10]求得了磁-電-彈性介質(zhì)中含有任意方向半平面或雙材料界面時(shí)的Green 函數(shù)解.利用積分變換和奇異積分方程方法,Hu 等[11]研究了磁-電-彈性和正交各向異性半空間中的界面裂紋問題,發(fā)現(xiàn)裂紋尖端的振蕩奇異性或非振蕩奇異性取決于雙材料的特定材料屬性組合.段淑敏等[12]用奇異積分方程法求解了磁-電-彈性材料與加層間的界面裂紋在反平面剪切沖擊載荷和面內(nèi)電磁沖擊載荷作用下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)問題,討論了載荷、材料及幾何參數(shù)對能量釋放率的影響.Ma等[13]用擴(kuò)展有限元法分析了磁-電-彈性雙材料界面裂紋的靜態(tài)斷裂和多場耦合效應(yīng).Yang 和Li[14]通過考慮表面效應(yīng)并利用Kirchhoff薄板理論,獲得了納米尺度圓盤狀磁-電-彈性薄板彎曲和自由振動(dòng)的解析解.

鑒于磁-電-彈性材料和結(jié)構(gòu)通常會(huì)用在磁場、電場和溫度場等多場耦合的載荷環(huán)境中,而其性能通常會(huì)受到溫度載荷顯著的影響,因此有必要對其熱效應(yīng)進(jìn)行深入的研究[15].Hou 等[16]求得了各向同性磁-電-彈性材料中的二維形式的通解和基本解.通過弓入5 個(gè)調(diào)和函數(shù),Chen 等[17]推導(dǎo)出了橫觀各向同性磁-電-熱彈性體的一般解并得到了各耦合場的表達(dá)式.Carman 等[18]提出了一個(gè)含有保守非線性的磁-電-彈性材料中的微觀機(jī)械模型.利用微觀機(jī)械方法可以對完全耦合的磁-電-熱彈性多相復(fù)合材料的性能進(jìn)行系統(tǒng)的分析[19-20].Ke 和Wang[21]基于非局部理論和Kirchhoff板理論研究了磁-電-彈性納米板的自由振動(dòng),發(fā)現(xiàn)其固有頻率對于力、電和磁載荷很敏感但對熱載荷不敏感.田曉耕和沈亞鵬[22]討論并綜述了磁-電多場耦合的廣義電磁熱彈性耦合問題方面的研究以及計(jì)及擴(kuò)散效應(yīng)和黏彈性效應(yīng)的廣義熱彈性理論的發(fā)展.He 等[23]研究了無限長空心圓柱體中的廣義電磁熱彈性問題.Ootao 和Tanigama[24]研究了多層磁-電-熱彈性板條在非穩(wěn)定及非均勻熱載荷作用下的動(dòng)態(tài)響應(yīng).Karimi和Shahidi[25]利用非局部理論研究了磁-電-彈性納米板在外加磁勢、面內(nèi)剪切和熱載荷作用時(shí)的自由振動(dòng)及表面效應(yīng).Gao 等[26]根據(jù)廣義Stroh 公式研究了完全耦合的磁-電-彈性介質(zhì)中的共線電滲透型裂紋問題并給出了在遠(yuǎn)場均勻熱流作用時(shí)磁-電-彈性場強(qiáng)度因子的簡潔表達(dá)式.利用積分方程法,Niraula 和Wang[27]求得了磁-電-彈性介質(zhì)中的圓幣型裂紋在均勻熱流作用下的精確解.Li 等[28]求得了具有橫觀各向同性性質(zhì)的無限大熱-磁-電-彈性介質(zhì)中的圓幣型裂紋的三維基本解.Zhao 等[29-30]用擴(kuò)展的位移間斷邊界積分方程法分析了三維橫觀各向同性熱-磁-電-彈性雙材料中任意形狀的界面裂紋問題并討論了電-磁場邊界條件對各個(gè)場強(qiáng)度因子的影響.

從檢索到的相關(guān)文獻(xiàn)資料來看,現(xiàn)有的工作主要集中在求解無限大磁-電-彈性體中的力學(xué)問題或者相應(yīng)的熱載荷是作用在全部邊界上的情形,而考慮邊界的影響以及局部范圍內(nèi)分布載荷的作用則更具有實(shí)際意義.本文利用積分變換方法推導(dǎo)并求解了磁-電-彈性半空間在邊界上作用軸對稱溫度載荷時(shí)的熱傳導(dǎo)和控制方程,得到了磁-電-彈性半空間中的溫度場、應(yīng)力、電位移和磁通量的解析解.本文結(jié)果對磁-電-彈性材料在熱環(huán)境中的應(yīng)用具有重要的指導(dǎo)意義.

1 基本公式

考慮一個(gè)橫觀各向同性的磁-電-彈性材料,其極化方向沿z軸方向,各向同性平面為xy平面,如圖1 所示.對于軸對稱問題,線性磁-電-彈性介質(zhì)的本構(gòu)方程為

其中,場變量為r和的z函數(shù),與角度θ 無關(guān);ur和uz分別是徑向和軸向彈性位移的分量;φ 和φ 分別是電勢和磁勢;σrr,σθθ,σzz,σrz為應(yīng)力張量的分量;Dr和Dz為電位移的分量;Br和Bz為磁通量的分量;c11,c12,c13,c33,c44為彈性模量;e15,e31,e33為壓電常數(shù);ε11,ε33為介電常數(shù);d11,d33為電磁常數(shù);μ11,μ33為磁滲透系數(shù); βj(j=1,2,...,5) 是熱應(yīng)力系數(shù); ΔT是溫度變化量; [ ]′表示矩陣的轉(zhuǎn)置; ()表示對相應(yīng)坐標(biāo)的求偏導(dǎo).

圖1 軸對稱熱載荷作用下的磁-電-彈性半空間Fig.1 A magnetoelectroelastic half-space under axisymmetric thermal loading

電場Ej(j=r,z)和磁場Hj(j=r,z)可以分別由電勢和磁勢的偏導(dǎo)數(shù)表示為

若不計(jì)體力及自由電荷,平衡方程可以表示為

將方程(1)和(2)代入以上方程可以得到關(guān)于位移ur,uz,電勢φ 和磁勢φ 的控制方程如下

2 問題求解

考慮一個(gè)在其邊界表面上作用有軸對稱熱載荷的磁-電-彈性半空間,如圖1 所示.采用柱坐標(biāo)(r,θ,z),并假定極化方向沿z軸方向;TB(r)是一個(gè)定義在圓域(r≤a,z=0)內(nèi)的軸對稱函數(shù).

橫觀各向同性材料在軸對稱條件下的穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程為

其中,T=T(r,z) 是介質(zhì)中的溫度分布函數(shù),kr和kz分別為r和z方向的熱傳導(dǎo)系數(shù).應(yīng)用Hankel 變換可以得到溫度的表達(dá)式為

其中,A(ξ)為待求函數(shù),A0是一個(gè)可以由遠(yuǎn)場邊界條件確定的常數(shù),J0()是第一類零階Bessel 函數(shù),系數(shù)λ 定義為

假設(shè)無窮遠(yuǎn)處的溫度為一有限值TI并且作用于磁-電-彈性介質(zhì)邊界上有界區(qū)域內(nèi)的溫度為TB,即

則A0和A(ξ)可以表示為

將方程(10) 代入方程(7) 可以得到溫度場的表達(dá)式為

溫度變化可以表示為

對方程(5)做Hankel 變換,可以得到彈性位移,電勢和磁勢的通解如下

其中,Aj(ξ) (j=1,2,3,4),B(ξ),C(ξ),D(ξ),E(ξ) 為待求的未知函數(shù),aj,bj,dj,(j=1,2,3,4) 是與材料系數(shù)相關(guān)的已知的系數(shù),見附錄;J1()是第一類的一階Bessel 函數(shù),γj(j=1,2,3,4) 為以下特征方程的特征根

其中,|M|表示矩陣M的行列式值.這里需要指出的是,八階特征方程(17)有8 個(gè)特征根成對出現(xiàn),每一對大小相同符號相反,復(fù)根以共軛形式成對出現(xiàn).在式(13)～式(16)中,取特征根γj(j=1,2,3,4)的實(shí)部為正,以確保穩(wěn)定系統(tǒng)的內(nèi)能正定[31-32].

利用本構(gòu)方程,可以得到應(yīng)力,電位移及磁通量的各個(gè)分量為

當(dāng)在半無限大體的表面只作用有熱載荷作用時(shí),磁-電-彈性半空間表面上電、磁和機(jī)械邊界條件為

將方程(18)～(21) 代入方程(23),可以得到以下關(guān)系式

未知函數(shù)B(ξ),C(ξ),D(ξ),E(ξ) 可以由函數(shù)A(ξ) 表示為

其中,Δj(j=1,2,3,4)的表達(dá)式在附錄中給出.

Yj(j=1,2,3,4)可以表示為A(ξ)的函數(shù)

Aj(ξ)(j=1,2,3,4)與A(ξ)的關(guān)系為

求解以上方程可得

其中,Ωj(j=1,2,3,4)在附錄中給出.

本文考慮如下定常相對溫度作用在磁-電-彈性半空間表面上一個(gè)圓域上的情形

需要指出的是,T0是作用在圓域上的溫度與圓域外的溫度的相對值,而所考查的半空間中的磁-電-彈性場的變化與T0有關(guān).

將方程(31)代入方程(10)可以得到

溫度場的積分表達(dá)式如方程(7)所示,利用關(guān)系式(26)和式(30),可以得到位移、電勢、磁勢、應(yīng)力、電位移和磁通量的解析形式的表達(dá)式.在此略去具體的細(xì)節(jié),應(yīng)力、電位移和磁通量的分量可以表示為

其中,系數(shù)Vk(k=1,2,...,6),Ej,Fj,Gj,Hj,Kj,Lj(j=1,2,3,4)在附錄中給出,積分算子Ij(λ)(j=1,2)定義為

常數(shù)βj(j=1,2,3,4,5)可表示為

其中,αi(i=r,θ,z)為熱膨脹系數(shù).

由以上所得到的磁、電、熱彈性場的解析表達(dá)式可知,對于在任意區(qū)域作用任意溫度載荷的情形,本文的結(jié)果可以作為一個(gè)基本解,在線彈性和小變形范圍內(nèi)利用疊加原理可以得到一般溫度載荷情形的解.需要指出的是,由于解的表達(dá)式中含有無限積分項(xiàng),在不能獲得精確積分結(jié)果的情況下,數(shù)值積分可能會(huì)產(chǎn)生一定的誤差.

3 數(shù)值計(jì)算及分析

在數(shù)值計(jì)算中,不失一般性,我們?nèi)∫痪哂型耆臋C(jī)械、電和磁場耦合作用的橫觀各向同性性質(zhì)的磁-電-彈性材料-復(fù)合材料BaTiO3-CoFe2O4,其材料常數(shù)為[31]

對于以z軸為極化方向的橫觀各向同性材料,徑向和切向的熱膨脹系數(shù)相同,即αr=αθ.因此,由方程(40)可知β1=β2.在以下的數(shù)值計(jì)算中,熱膨脹系數(shù)假定為αr=αz=7.0×10-6K-1,圓域內(nèi)的相對溫度值假設(shè)為T0=100 K.

圖2 給出了磁-電-彈性半空間中的無量綱化的正應(yīng)力的分布.圖中顯示最大應(yīng)力發(fā)生在沿-軸方向距離半空間邊界約z≈1.3a的位置.可以推斷當(dāng)溫度載荷作用的圓域半徑增大時(shí)(a增大),最大應(yīng)力發(fā)生的位置會(huì)遠(yuǎn)離半無限大體的邊界,即最大應(yīng)力會(huì)發(fā)生在更深處; 反之當(dāng)溫度載荷作用的圓域半徑減小時(shí)(a減小),最大應(yīng)力發(fā)生的位置會(huì)靠近半無限大體的邊界,即最大應(yīng)力會(huì)發(fā)生在靠近邊界的位置.需要指出的是,在圓域外(r＞a)的正應(yīng)力很小.

圖2 正應(yīng)力σzz/β3T0 的分布Fig.2 Distributions of the normalized stress σzz/β3T0

圖3 顯示了在圓域溫度載荷作用下磁-電-彈性半空間中最大剪應(yīng)力σrz/β3T0的分布.最大剪應(yīng)力發(fā)生在靠近邊界表面大約在圓形區(qū)域的邊上(r≈a).在遠(yuǎn)離溫度載荷作用區(qū)域(r＞2a,z＞a)時(shí),剪應(yīng)力變得相當(dāng)小.

圖3 剪應(yīng)力σrz/β3ΔT 的分布Fig.3 Distributions of the shear stress σrz/β3ΔT

圖4 給出了無量綱化的電場的分布,可以看出,電場在溫度載荷作用的圓域內(nèi)在邊界表面附近有明顯的強(qiáng)化.這一結(jié)果預(yù)示在高溫載荷情形時(shí),高溫度區(qū)域可能會(huì)出現(xiàn)電擊穿的情形.圖5 顯示了半無限大空間中磁場的分布,正的和負(fù)的磁場在不同的區(qū)域都得到了強(qiáng)化:負(fù)的磁場在z軸附近約的區(qū)域強(qiáng)化顯著,而正的磁場在z≈0.1a,r=1.2a的區(qū)域得到了強(qiáng)化.

圖4 電場e33Ez/β3ΔT 的分布Fig.4 Distributions of the normalized electric field e33Ez/β3ΔT

圖5 磁場h33Hz/β3ΔT 的分布Fig.5 Distributions of the normalized magnetic field h33Hz/β3ΔT

4 結(jié)論

本文給出了磁-電-彈性半空間在軸對稱溫度載荷作用下的磁-電-熱-彈性多場耦合的解析解.利用變換法成功求解了磁-電-彈性介質(zhì)中的熱傳導(dǎo)方程和控制方程,得到了溫度場分布的解析表達(dá)式,并進(jìn)一步獲得了應(yīng)力,電位移和磁通量在半空間中的場分布.數(shù)值結(jié)果表明在溫度載荷作用下應(yīng)力,電位移和磁通量在各自特定的區(qū)域內(nèi)會(huì)得到強(qiáng)化,磁-電-彈性場強(qiáng)化區(qū)域的強(qiáng)化程度跟溫度載荷的大小和作用區(qū)域大小相關(guān).本文結(jié)果對磁-電-彈性材料和結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)和應(yīng)用具有重要的理論指導(dǎo)意義.

附 錄

方程(13),方程(15)和(16)中的常數(shù)aj,bj,dj(j=1,2,3,4)定義為

其中,γj(j=1,2,3) 為特征方程(17) 的特征根.在方程(26) 中Δj(j=1,2,3,4)定義為

在方程(30)中Ωj(j=1,2,3,4)定義為

其中分量Xi j(i,j=1,2,3,4)在方程(25)中定義.

方程(33)～(38)中的系數(shù)Vk(k=1,2,...,6)定義為