凸顯比較過程 建構倍的概念

胡勝平

數(shù)學中倍的概念涉及兩個量之間的比較，十分抽象，不易理解。教師在進行活動設計時，要盡量通過設計連續(xù)的情境，不斷改變兩個比較的量的數(shù)量，讓學生在有趣的“變化”中進一步認識“倍”，在不斷比較和抽象的過程中建立倍的概念。

割裂——目標單一，缺乏聯(lián)系。學生在初步理解“倍”的概念并完成了一組基本鞏固練習后，教師設計了兩道練習題進行提升。第1題是給出5朵黃花，請學生猜一猜，如果要擺紅花，并且黃花和紅花的數(shù)量要有倍數(shù)關系，可以怎么擺。第2題則較為靈活，請學生畫三角形和正方形，且正方形的個數(shù)是三角形的3倍，試圖讓學生感受標準量和比較量都在發(fā)生變化，但是它們之間的倍數(shù)關系是不變的。

第1題看似開放，但學生的思維水平并沒有得到提升。第2題是確定三角形為標準量，只不過三角形具體的量可以有所變化，練習設計目標單一。這兩道練習選用的材料是完全不同的，缺乏聯(lián)系。

調整——實現(xiàn)整合對比。基于上述思考，我將練習情境進行了調整：給出4個三角形，請學生畫圓形，使三角形和圓形之間有倍數(shù)關系。

在整合中，促使材料功能最大化。因為選用了數(shù)據“4”，學生既可以將“4個三角形”作為標準量，也可以將“4個三角形”作為比較量。學生作品呈現(xiàn)的種類會更加豐富，有利于加深對“倍”這一概念的理解。用一個材料解決兩個問題，也使得整節(jié)課的版塊更加清晰，目標更加明確。

在對比中，激發(fā)學生的認知沖突。在新情境的反饋過程中，我直接將學生各種有代表性的作品同時呈現(xiàn)。學生乍一看，會覺得以“4個三角形”為比較量的那些是錯誤的，且對“1倍”畫法的作品產生疑問。這樣集中、直觀的呈現(xiàn)，會激發(fā)學生對“倍”這一概念進行更深入的思考。

在分類中，加深概念的本質理解。與之前逐一反饋不同，新情境下我大膽地請學生給這些作品進行分類。在分類的過程中，學生會直觀地根據圓形的數(shù)量和三角形的數(shù)量將它們分成三類：圓形比三角形多、圓形比三角形少、圓形和三角形同樣多。但通過教師的適時追問，學生會發(fā)現(xiàn)其實只需要分成兩類即可。當三角形和圓形數(shù)量相等時是一種比較特殊的情況，既可以說“圓形的個數(shù)是三角形的1倍”，也可以說“三角形的個數(shù)是圓形的1倍”。因此，可以將它歸在這兩類之間，滲透集合的思想。

拓展——在變化中真實感知。我采用新情境進行教學實踐，與預設的一樣，大部分學生以“4個三角形”為標準量畫圓形。教師提示學生盡量畫得跟別人不一樣。

感受倍數(shù)的變化引起比較量的變化。在明確了以“4個三角形”為一份之后，教師追問：為什么同樣都是把三角形看作1份，而圓形的數(shù)量卻可以有很多變化呢？引發(fā)學生對倍數(shù)與比較量的思考。學生會發(fā)現(xiàn)，當倍數(shù)發(fā)生了變化，那么所畫的圓形個數(shù)也會相應發(fā)生變化。“幾倍”就是畫同樣的“幾份”。

感受標準量的變化引起倍數(shù)的變化。開始，學生陷入了一種固定思維，認為圓形的數(shù)量一定會畫得比三角形多，怎么可能比三角形少呢？因為選的標準量不同。此時教師再追問：為什么同樣都是“4個三角形”，而和圓形的倍數(shù)關系卻一直在變呢？這個時候引導學生觀察可知：標準量可以發(fā)生變化，標準量的“量”也可以發(fā)生變化。

感受“1倍”的與眾不同。首先，有部分學生還是不能理解“1倍”的意思。這時就請學生當小老師進行解釋，將“4個三角形”看作1份，圓形也有這樣的1份，所以圓形的個數(shù)是三角形的1倍。其次，有了比較的經驗，學生舉一反三，可以把“4個圓形”看作1份，三角形有這樣的1份，所以三角形的個數(shù)是圓形的1倍。

（作者單位：浙江省杭州市文瀾實驗學校）

責任編輯：歐陽秀娟