建構(gòu)單元認(rèn)知的整體框架

陳金英 王華民

摘要：“單元整體建構(gòu)課”的教學(xué)目標(biāo)是讓學(xué)生管中窺豹，建構(gòu)單元認(rèn)知的框架結(jié)構(gòu)，從整體上把握研究方向和路徑，了解主體內(nèi)容和方法，以發(fā)展數(shù)學(xué)思維，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。基于《二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)》一節(jié)起始課的教學(xué)設(shè)計(jì)，闡述對(duì)“單元整體建構(gòu)課”總體特點(diǎn)、設(shè)計(jì)策略、實(shí)施價(jià)值的思考。

關(guān)鍵詞：?jiǎn)卧w建構(gòu)課 知識(shí)結(jié)構(gòu) 研究方法 《二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)》

在日常的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師往往將內(nèi)容進(jìn)行分割與細(xì)化，重點(diǎn)關(guān)注一些具體的知識(shí)和問(wèn)題，缺乏整體思考。這種碎片式教學(xué)，雖然能使學(xué)習(xí)難度有所下降，但學(xué)生收獲的多是“點(diǎn)狀”內(nèi)容，容易形成“只見(jiàn)樹(shù)木，不見(jiàn)森林”的學(xué)習(xí)狀況。

為改變這種狀況，江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究室正在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中推行一種新的課型——單元整體建構(gòu)課。其中的“單元”是指知識(shí)結(jié)構(gòu)相對(duì)完整的部分教學(xué)內(nèi)容，可以是教材中的一章或一節(jié)。而“單元整體建構(gòu)課”的教學(xué)目標(biāo)是，讓學(xué)生管中窺豹，建構(gòu)單元認(rèn)知的框架結(jié)構(gòu)，從整體上把握研究方向和路徑，了解主體內(nèi)容和方法，以發(fā)展數(shù)學(xué)思維，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

2019年江蘇省初中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課觀摩與評(píng)比活動(dòng)的課題之一便是蘇科版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)第5章第2節(jié)《二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)》起始的整體建構(gòu)。陳金英老師作為參賽者執(zhí)教了這節(jié)“單元整體建構(gòu)課”。以下分享這節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)和對(duì)“單元整體建構(gòu)課”的教學(xué)思考。

一、教學(xué)目標(biāo)

《二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)》一節(jié)是《二次函數(shù)》一章的核心內(nèi)容。它是在學(xué)生學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)以及二次函數(shù)概念的基礎(chǔ)上教學(xué)的，也是學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)二次函數(shù)的確定與應(yīng)用的基礎(chǔ)。

基于對(duì)“單元整體建構(gòu)課”的認(rèn)識(shí)，我們制訂了如下教學(xué)目標(biāo)：（1）建構(gòu)二次函數(shù)圖像和性質(zhì)的研究路徑和方法;（2）會(huì)用“描點(diǎn)法”畫(huà)出二次函數(shù)y=ax²（a≠0）的圖像，了解由函數(shù)y=ax²的圖像到y(tǒng)=a（x+m）²、y=ax²+n（a≠0）的圖像，再到y(tǒng)=a（x+m）²+n（a≠0）的圖像的形成過(guò)程，了解函數(shù)y=aX²+bx+c（a≠0）的圖像是一條拋物線(xiàn);認(rèn)識(shí)二次函數(shù)的開(kāi)口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱(chēng)軸和增減性等性質(zhì);（3）感受類(lèi)比、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)觀察、操作、分析、歸納等良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

二、教學(xué)過(guò)程

（一）運(yùn)用類(lèi)比，整體建構(gòu)二次函數(shù)的研究路徑和方法

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)，教師可以引導(dǎo)他們運(yùn)用類(lèi)比，整體建構(gòu)二次函數(shù)圖像和性質(zhì)的研究路徑和方法。具體設(shè)計(jì)如下：

導(dǎo)語(yǔ)：近日，我們結(jié)識(shí)了一位新朋友——二次函數(shù)，請(qǐng)說(shuō)出二次函數(shù)的定義。

問(wèn)題1：前面我們研究過(guò)哪些函數(shù)，還記得嗎？對(duì)于這些函數(shù)，在知曉定義的基礎(chǔ)上，我們又做了哪些深入研究？（一次函數(shù)、反比例函數(shù);函數(shù)的圖像和性質(zhì)）

問(wèn)題2：對(duì)于新學(xué)的二次函數(shù)，你覺(jué)得可以從哪些方面來(lái)更深入地研究？（圖像和性質(zhì)）

問(wèn)題3：一次函數(shù)y=kx+b的圖像和性質(zhì)，我們是怎么研究的？（從解析式想圖像，得大致性質(zhì);再畫(huà)圖，得精細(xì)性質(zhì)）

問(wèn)題4：當(dāng)時(shí)是如何畫(huà)圖的？（從具體、特殊的圖像出發(fā)，到抽象、一般）

問(wèn)題5：請(qǐng)類(lèi)比一次函數(shù)的研究路徑和方法，建構(gòu)二次函數(shù)的研究路徑和方法。（研究路徑：二次函數(shù)的定義→二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)→二次函數(shù)的應(yīng)用。研究方法：數(shù)形結(jié)合、從特殊到一般，具體見(jiàn)圖1。這也是研究函數(shù)問(wèn)題的一般路徑和方法）

從學(xué)生熟悉的舊知過(guò)渡到新知，通過(guò)問(wèn)題1和問(wèn)題2，引導(dǎo)學(xué)生思考函數(shù)模型研究的一般路徑;通過(guò)問(wèn)題3和問(wèn)題4，引導(dǎo)學(xué)生得出函數(shù)問(wèn)題研究的一般方法，從而從整體上建構(gòu)本單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容。

（二）把握重點(diǎn)，研究y=ax²的圖像和性質(zhì)

明確了研究路徑和方法（即主線(xiàn)）后，還要考慮單元知識(shí)結(jié)構(gòu)生長(zhǎng)的基礎(chǔ)，并進(jìn)行重點(diǎn)研究。對(duì)于二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，“基點(diǎn)”無(wú)疑是函數(shù)y=ax²（a≠0）的圖像和性質(zhì)。具體設(shè)計(jì)如下：

活動(dòng)1：從解析式看圖像。

（1）函數(shù)y=x²的自變量x的取值范圍是什么？（x∈R）

（2）生成的函數(shù)值y的取值范圍又是什么？（y≥0）

（3）根據(jù)自變量取一對(duì)相反數(shù)時(shí)，函數(shù)值相等，可以猜測(cè)圖像的對(duì)稱(chēng)性嗎？（關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)）

活動(dòng)2：用“描點(diǎn)法”作圖。

（1）列表：根據(jù)函數(shù)3=x²的特征，選取自變量x的值，計(jì)算對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y，并填表。

（2）描點(diǎn)：以表中的每個(gè)z值為點(diǎn)的橫坐標(biāo)、對(duì)應(yīng)的y值為點(diǎn)的縱坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中描出相應(yīng)的點(diǎn)。

（3）連線(xiàn)：用平滑的曲線(xiàn)順次連接描出的點(diǎn)，即得二次函數(shù)y=x²的圖像。

（4）思考：能用直線(xiàn)連接嗎？（幾何畫(huà)板演示）

（5）交流：比較不同的列表、作圖方法的優(yōu)劣以及得到的圖像是否一致。

活動(dòng)3：從圖像看性質(zhì)。

（1）你能描述函數(shù)y=x²圖像的形狀嗎？圖像具有怎樣的對(duì)稱(chēng)性？（拋物線(xiàn);關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)）

（2）當(dāng)z<0和z>0時(shí)，各有怎樣的增減性？（左減、右增）

（3）當(dāng)x取什么值時(shí)，y的值最小？最小值是什么？（x=0，y=0）

活動(dòng)4：從特殊到一般。

（1）函數(shù)y=-x²的圖像會(huì)是一條怎樣的拋物線(xiàn)？有什么特征？

（3）你能?chē)L試歸納函數(shù)y=aX²（a≠0）的圖像和性質(zhì)嗎？（從開(kāi)口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱(chēng)軸、增減性等方面，以表格呈現(xiàn)）

活動(dòng)1由“數(shù)”想“形”，讓學(xué)生通過(guò)二次函數(shù)的解析式探索二次函數(shù)圖像的位置、大致形狀，有利于學(xué)生正確作圖，也為之后由“形”想“數(shù)”做鋪墊。活動(dòng)2作圖，旨在通過(guò)動(dòng)手實(shí)踐，讓學(xué)生對(duì)二次函數(shù)圖像的形狀和變化趨勢(shì)有較深刻的理解;并通過(guò)動(dòng)畫(huà)演示，增強(qiáng)學(xué)生的直觀認(rèn)識(shí)，特別讓學(xué)生注意原點(diǎn)附近圖像的變化趨勢(shì)。活動(dòng)3由“形”想“數(shù)”，讓學(xué)生驗(yàn)證前面的發(fā)現(xiàn)，并發(fā)現(xiàn)更多的性質(zhì)。活動(dòng)4從特殊到一般，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合特殊函數(shù)的圖像，全面歸納函數(shù)y=aX²（a≠0）的性質(zhì)。

（三）突破難點(diǎn)，建構(gòu)從y=ax²到y(tǒng)=aX²+bx+c的路線(xiàn)圖

一節(jié)課，重點(diǎn)研究了單元知識(shí)結(jié)構(gòu)生長(zhǎng)的基礎(chǔ)后，自然無(wú)法（也無(wú)須）充分研究單元知識(shí)結(jié)構(gòu)的其他部分，但是可以（也需要）理清基礎(chǔ)知識(shí)與其他知識(shí)的關(guān)系，為后續(xù)的充分研究做鋪墊。函數(shù)y=aX²（a≠0）的圖像與y=a（x+m）²、y=ax²+n（a≠0）的圖像的關(guān)系，是本課教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)。如何有效突破難點(diǎn)？還要注意從容易到困難，從特殊到一般，讓學(xué)生通過(guò)表格數(shù)據(jù)與圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，感受上下、左右平移的規(guī)律。具體設(shè)計(jì)如下：

活動(dòng)1：建構(gòu)從y=aX²到y(tǒng)=aX²+n的變化規(guī)律。

（1）從“數(shù)”上體會(huì)：對(duì)函數(shù)y=x²+1與y=x²列表取值。

（2）從“形”上驗(yàn)證：對(duì)函數(shù)y=x²+1與y=x²描點(diǎn)連線(xiàn)。

（3）思考：函數(shù)y=x²+1的圖像與y=x²的圖像的位置有什么關(guān)系？

（4）變式：函數(shù)y=x²-2的圖像與y=x²的圖像的位置有什么關(guān)系？圖像知道了，能否類(lèi)比說(shuō)出一些性質(zhì)呢？（作為課后思考，以后繼續(xù)學(xué)習(xí)）

活動(dòng)1、活動(dòng)2都由具體實(shí)例人手，通過(guò)特殊值的變化和圖表，讓學(xué)生感受上下平移、左右平移的變化規(guī)律，經(jīng)歷用“數(shù)”說(shuō)理，用“形”驗(yàn)證，數(shù)形結(jié)合研究問(wèn)題，由特殊逐步走向一般等研究過(guò)程。有了前面的鋪墊，學(xué)生不難運(yùn)用類(lèi)比手段完成活動(dòng)3。

（四）回顧小結(jié)，獲得二次函數(shù)圖像和性質(zhì)的整體認(rèn)識(shí)

最后，教師請(qǐng)學(xué)生談一談本節(jié)課的學(xué)習(xí)收獲，然后總結(jié)、投影。

結(jié)語(yǔ)：老師教給你的只是知識(shí)，自己悟明白的才會(huì)變成能力！希望同學(xué)們勤于思考和感悟。

三、教學(xué)思考

（一）“單元整體建構(gòu)課”有什么特點(diǎn)？

其一是整體性。“單元整體建構(gòu)課”對(duì)整個(gè)章節(jié)有一個(gè)提綱挈領(lǐng)的指引，幫助學(xué)生建構(gòu)單元認(rèn)知的框架結(jié)構(gòu)，從整體上把握研究方向和路徑。

其二是聯(lián)系性。辯證法認(rèn)為，整個(gè)世界是一個(gè)相互聯(lián)系的統(tǒng)一整體，任何事物的各個(gè)部分、要素之間都是相互聯(lián)系的，任何事物都與周?chē)钠渌挛锵嗷ヂ?lián)系。而數(shù)學(xué)學(xué)科的各個(gè)知識(shí)、問(wèn)題乃至思想方法也是相互聯(lián)系的，有其來(lái)龍去脈。“單元整體建構(gòu)課”的整體性需要基于這樣的聯(lián)系性。

其三是選擇性。由于一個(gè)單元的教學(xué)往往需要幾節(jié)課來(lái)完成，而“單元整體建構(gòu)課”一般是一節(jié)課，因此需要對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行合理的取舍。

（二）“單元整體建構(gòu)課”該如何設(shè)計(jì)？

其一，要根據(jù)知識(shí)的內(nèi)在關(guān)聯(lián)進(jìn)行類(lèi)比遷移設(shè)計(jì)，搭建好本單元的整體框架，設(shè)計(jì)好“路線(xiàn)圖”;可以設(shè)計(jì)為粗線(xiàn)條、框架式，無(wú)須面面俱到，而在后續(xù)課時(shí)進(jìn)一步細(xì)化、落實(shí)。“單元整體建構(gòu)課”一般為單元的第一課時(shí)，統(tǒng)領(lǐng)整個(gè)單元，只需學(xué)生對(duì)本單元的知識(shí)體系有一個(gè)框架式的了解，為后期深入研究提供方向。比如，本節(jié)課就是對(duì)教材《二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)》一節(jié)5個(gè)課時(shí)內(nèi)容的總覽，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)形結(jié)合、從特殊到一般研究二次函數(shù)圖像和性質(zhì)的過(guò)程，從而了解函數(shù)圖像和性質(zhì)的研究路徑和方法。

其二，“單元整體建構(gòu)課”既要有整體的框架，又要考慮用什么來(lái)支撐這個(gè)框架，以突出知識(shí)體系中的關(guān)鍵點(diǎn);同時(shí)，還要做好取舍，把那些非關(guān)鍵的知識(shí)留作后續(xù)教學(xué)內(nèi)容。比如，本節(jié)課便以函數(shù)y=ax²（a≠0）的圖像和性質(zhì)為重點(diǎn)，對(duì)函數(shù)y=a（x+m）²、y=ax²+n（a≠0）等的圖像和性質(zhì)不做詳細(xì)研究，而只關(guān)注它們與函數(shù)y=ax²（a≠O）圖像和性質(zhì)的關(guān)聯(lián)。如此教學(xué)，課堂反饋，大多數(shù)學(xué)生都能接受，少數(shù)學(xué)生對(duì)某些“點(diǎn)”——如由函數(shù)y=ax²到y(tǒng)=a（x+m）²的變化規(guī)律——沒(méi)能理解，也可以通過(guò)后續(xù)作業(yè)和教學(xué)加以彌補(bǔ)。

（三）“單元整體建構(gòu)課”有什么價(jià)值？

其一，幫學(xué)生厘清本單元內(nèi)容的結(jié)構(gòu)體系和學(xué)習(xí)主線(xiàn)，明晰本單元“為何學(xué)”“學(xué)什么”“怎樣學(xué)”的問(wèn)題，從而形成認(rèn)知的整體框架，獲得高屋建瓴的認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)系統(tǒng)思維，養(yǎng)成全面思考問(wèn)題的習(xí)慣，避免“盲人摸象”。

其二，教學(xué)生學(xué)會(huì)聯(lián)系地看問(wèn)題。“單元整體建構(gòu)課”能夠讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)知識(shí)有聯(lián)系，研究方法也類(lèi)似，從而通過(guò)理順相應(yīng)的關(guān)系，建立新舊知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)行深層加工整合，明晰學(xué)習(xí)內(nèi)容的本質(zhì)。

其三，教會(huì)學(xué)生科學(xué)的研究路徑和方法。比如，本節(jié)課通過(guò)類(lèi)比已學(xué)函數(shù)模型的經(jīng)驗(yàn)，教學(xué)生學(xué)會(huì)了研究函數(shù)問(wèn)題的一般路徑和方法（定義→圖像→性質(zhì)→應(yīng)用;數(shù)形結(jié)合、從特殊到一般），從而提升了學(xué)生的學(xué)習(xí)遷移能力、問(wèn)題研究能力。