把握模型本質與聯系的數學建模教學
——以“實驗6：滾動的圓”教學為例

潘建明

數學模型（Mathematical Model）是用數學符號、數學式子、程序、圖形等對實際問題本質屬性的抽象而又簡潔的刻畫，它或能解釋某些客觀現象，或能預測未來的發展規律，或能為控制某一現象的發展提供某種意義下的最優策略。數學模型一般并非現實問題的直接翻版，它的建立常常既需要人們對現實問題進行深入細致的觀察和分析，又需要人們靈活巧妙地利用各種數學知識。這種應用知識從實際問題中抽象、提煉出數學模型的過程就稱為“數學建模”（Mathematical Modeling）。數學建模為學生提供了學習和探究的新載體，有助于學生體驗數學在解決問題中的價值和作用，體驗綜合運用知識和方法解決實際問題的過程，增強數學知識的應用意識；同時也有助于激發學生數學學習和探究的興趣，發展學生的創新意識和實踐能力。在初中數學教學過程中，要真正讓學生對數學建模思想有所感悟，需要經歷一個長期的過程，我們應該根據學生的年齡特征和不同年級的要求，循序漸進，逐步滲透，有效培養學生的建模意識和建模能力。在這一過程中，讓學生從相對簡單到相對復雜、相對具體到相對抽象，逐步積累經驗，逐步形成運用模型思想去進行數學思維的習慣。本教學內容是學完蘇科版九年級上冊第二章“對稱圖形——圓”后，結合蘇科版九年級《數學實驗手冊》（實驗6：滾動的圓）對多邊形周長和圓的弧長等相關知識的綜合應用。這是筆者面向常州大市范圍內開的一節公開課，請各位同行批評指正。

一、把握模型本質

1.情境導入。

問題：如圖1，已知一個半徑為2cm 的圓⊙O，在△ABC 的外部沿三角形的邊滾動（無滑動）一周，其中AB=5cm，BC=6cm，AC=7cm，求：當⊙O 滾動結束時，⊙O 的圓心O 所運動的路徑的長度。

師：我們已經學完了第二章“對稱圖形——圓”，今天我們來研究數學實驗手冊的“實驗6：滾動的圓”，同學們先看老師給出的問題。

師：有答案的同學請舉手。（沒有學生舉手）你們為什么不舉手？

生1：這個問題很有趣，但圓在三角形邊上滾動，它的規律我還未發現，所以沒舉手。

生2：我做出了一個答案，但不敢確定，所以沒有舉手。

生3：我看到它是中考模擬題，心理壓力很大，思維有點“短路”。

師：看來這個問題對同學們的挑戰還是比較大的，下面我們先來從簡單的問題探究開始。

【教學意圖】關注對“未舉手”的提問，因為借班上課是為了進一步了解學情，了解學生的思維“斷點”和學習心理；開門見山地將這個問題讓學生先思考一下，讓學生明白對此類問題探究的重要性和必要性；也為本節課的前后呼應設置一個懸念。

2.自覺體悟。

問題探究1：如圖2，半徑為r的圓沿著直線無滑動地滾動一圈，圓心所移動的路徑是怎樣的圖形？圓心所經過的路徑的長度是多少？

師：對問題探究1有結果的請舉手。

生4：這個問題在小學時就已經探究過了。如圖3，在探究中我發現，在運動過程中圓上的每個點都緊緊貼在直線上所走過的線段長，與滾動前后的圓心距剛好是矩形的一組對邊，因此可以判斷，圓心所運動的路徑是一條線段，圓心所經過的路徑的長度是這個圓的周長為2πr。

問題探究2：如圖4，半徑為r的圓的滾動路徑為：兩條總長度為m的直線段組成，其夾角為α，請試著畫出圓心運動的路徑圖形，求其圓心運動的路徑長度。

師：你們在這個問題的探究中，其認知難點在哪里？

生5：圓滾到點C后會怎么滾的問題。

師：好的，針對這個認知難點，請同學們拿出準備好的硬幣先進行自主實驗和思考，再在小組內相互交流。（學生操作、交流，教師巡學指導）

師：哪一個小組來展示你們的學習成果？

生6：我們研究發現圓滾到點C后圓心會繞點C旋轉后再滾動，所以……

師（示意暫停，教師動畫演示，如下頁圖5）：對這個問題的理解，大家有沒有問題？

生：沒問題！

生6：所以圓心運動的路徑是兩條線段長加上一段圓弧長，兩條線段長度之和為m。

師：那這段圓弧長是哪條弧的長度？

【教學意圖】教學要讓學生明白認知難點在哪里，這樣的探究才會有的放矢；通過獨立探究和小組交流，幫助中低學力的學生理解和掌握；這個環節揭示了算法模型的實質，一定要讓全體學生徹底理解和掌握。

問題探究3：如圖6，將一個半徑為r的圓在一個周長為m 的n 邊形上滾動（外部），請試著畫出圓心運動的路徑圖形，求其圓心運動的路徑長度。

師：現在我們來看問題探究3，這個問題與探究2有什么聯系？

生7：問題探究2 只是問題探究3 的每個內角處發生的情境。

師：很好！下面給5 分鐘時間，請每個同學先獨立探究，再小組交流。

師：現在哪個小組來展示你們的合作成果？

則當半徑為r的圓在一個周長為m的n邊形上滾動（外部）時，其圓心移動的路徑長度m+2πr。

師：大家聽明白了嗎？還有哪個小組有不同的想法嗎？

生9：我們小組和他們小組在解題思路上大體相同，但我們沒有假設每一個外角的度數，我們是這樣做的，由問題探究2 可知，∠ABC+∠DBE=180°，可得：∠DBE=180°-∠ABC，所有的內角處都存在這樣的情況，所以所有弧的圓心角之和為n·180°-（∠ABC+∠BCD+…+∠HAB）=n·180°-（n-2）·180°=360°。

【教學意圖】為了突破學生的認知難點，教師指出了問題探究2和問題探究3的聯系，便于學生進行認知遷移；學生中有不同的思路，應讓他們進行展示，促進學生建立關系性理解。

3.模型提煉。

（1）算法模型：如圖6，將一個半徑為r 的圓在一個周長為m 的n 邊形上（外側）滾動，則其圓心運動的路徑長度m+2πr。

（2）模型驗證：當半徑為r 的動圓沿著四邊形的外圍無滑動地滾動時，請驗證動圓的圓心沿四邊形運動的路徑之和為：L=C四邊形+C圓周。

語言表述：一個圓在一個多邊形上（外側）滾動（無滑動），則其圓心移動的路徑長度是多邊形與這個圓的周長之和。

二、建立模型聯系

1.驗模改模。

（1）完成導入情境中所提出的問題。

（2）如圖7，在矩形ABCD 中，AB=6cm，BC=4cm，有一個半徑為1cm 的圓在矩形內沿著邊AB、BC、CD、DA滾動到開始的位置為止，則圓心所運動的路徑長度是（ ）。

A.20cm B.（20+2π）cm

C.（20-2π）cm D.以上都不對

學生的完成情況都很好，過程略。

【教學意圖】圓在矩形內滾動就不能用所提煉的算法模型，但能促進學生對所提煉的算法模型適用前提的理解，讓學生學會辨模、改模和重新建模。

2.變式應用。

（1）取兩枚同樣大小的硬幣，設半徑均為r，固定其中一枚，將另一枚硬幣繞其邊緣滾動一周，那么它所滾動的路徑是什么圖形？其圓心運動的路徑長度是多少呢？

（2）如圖8，有兩個大小不同的⊙A 和⊙O，⊙A 的半徑為R，圓⊙O 半徑均為r，固定⊙A，將小圓繞其邊緣（外側）滾動一周（無滑動），那么小圓的圓心所運動的路徑是什么樣的圖形？其圓心運動的路徑長度是多少呢？

（3）圓在多邊形的邊上（外側）滾動與小圓在大圓的圓周（外側）滾動有什么聯系？試說出你的猜想。

師：剛才我們討論了圓在多邊形的邊上（外側）滾動，現在我們討論圓在圓周上（外側）滾動，大家先看問題（1），拿出硬幣先操作再交流。

生10：這個問題不復雜，如圖9，因為兩個硬幣是等圓，所以動圓的圓心所運動的路徑是一個半徑為2 r 的大圓，故圓心運動的路徑長度是4πr。

師：問題（2）的解決思路，誰來說一下？

生11：從如圖8中可以看出，動圓的圓心所運動的路徑是一個定圓的圓心為圓心，半徑為（R+r）的圓，故圓心運動的路徑長度是2π（R+r）。

師：我們將2π（R+r）展開以后是什么結果？

生11：是2πR+2πr，是這兩個圓的周長之和。

師：我們回頭來看一下，我們所提煉的算法模型中的結論是什么？

生11：一個圓在一個多邊形上（外側）滾動（無滑動），則其圓心移動的路徑長度是多邊形與這個圓的周長之和。

師：有什么想法？

生11（豁然開朗）：可以將這兩個算法模型統一起來：一個圓在一個多邊形上（或圓）的（外側）滾動（無滑動），則其圓心運動的路徑長度是多邊形與這個圓（或兩圓）的周長之和。

師：事實上，如圖10，當動圓沿四邊形四邊外側滾動時，其圓心運動的路徑之和為：L=C四邊形+C圓周，而有了這個發現之后，我們按同樣的推理方式不難得出在五邊形、六邊形以至n邊形中都有著驚人的相似，所以有當動圓沿n邊形外圍滾動一周時，其圓心運動的路徑長為L=Cn邊形+C圓周。

當多邊形的邊數逐漸增多時，多邊形漸漸失去了棱角，當邊數趨近于無窮大時，多邊形就會變成一個圓，那么動圓的圓心運動的路徑長度應該為：L=C定圓+C動圓。

生11：真奇妙，原來“直”和“曲”是可以統一的！

【教學意圖】這里的學習活動基于對模型基礎背景的變式，能夠拓寬學生的視野。圓在另一個圓周上滾動是中考經常考的，也是需要研究的問題。通過建立起從“直”到“曲”的聯系，不僅完善了學生的結構化認知，還促進了學生對模型之間的關系性理解。

數學建模思想的形成是一個復雜的系統工程，它是對數學知識、能力、策略等不斷進行組織和再組織的過程。數學教學的目的是為了發展學生的思維能力，而思維能力的提升是不可以直接傳授的，需要學生在學習的過程中不斷地體驗、領悟、感悟和頓悟。在本節課中筆者讓學生經歷模型分析、模型提煉、驗模辨模、變式聯系等核心過程，而不是一般的把學習時間還給學生，僅僅讓學生形式上得到自主、表面化合作和進行沒有價值的“偽探究”，以此引領他們走向數學學習的核心，使他們真正成為學習的主人，體現了數學教育價值的追求：帶著知識走向學生不過是授人以魚，帶著學生走向知識才是授人以漁，這樣的教學才會有生命力。