基于統計回歸方法對線性代數課后作業量與成績關系探討

鄭凱璐

摘?要：該文提出了一種基于統計回歸方法研究課后作業量的影響因素以及如何幫助老師更加合理的布置課后作業的方案，找出其影響課后作業量的因素，對其建立線性回歸模型，對于各種無法量化的定性的因素，采用了定性變量的數量化方法進行分析，通過軟件進行擬合優度檢驗、方程的顯著性檢驗（F-檢驗）、變量的顯著性檢驗（t-檢驗）、逐步回歸分析、拉格朗日檢驗、異方差檢驗等后，選取與被解釋變量有關的因素，加以統計分析得出最后結果。

關鍵詞：作業量;學生掌握程度;回歸分析;定性變量的量化;最優解

一、具體問題及分析

線性代數課程作業量的影響因素有很多，如：老師授課的多少，學生的課余時間，其余課程的作業量等，我們需找出作業量與影響因素之間的關系。因為影響因素較多，我們決定采用回歸分析的方法進行研究，這就需要大量數據，我們決定通過向學生進行問卷調查的形式采取抽樣調查的方法獲取數據。其中，作業量通過學生完成作業時間來衡量，若以題數衡量，由于每題的難易程度不同，難以標準化。在獲取數據后利用 EViews 系統軟件對所取得數據結果進行分析，并采用擬合優度檢驗、方程的顯著性檢驗（F-檢驗）、變量的顯著性檢驗（t-檢驗）、逐步回歸分析、拉格朗日檢驗、異方差檢驗，用以評判所取因素對課后作業量的差異性，從而判斷結果的可信性。

二、模型的假設

1.t-檢驗

t-檢驗是用 t 分布理論來預測差異發生的概率，從而得出變量因素是否顯著。

當總體分布是正態分布，那么樣本平均數與總體平均數的離差統計量呈 t 分布。檢驗統計量為：其中，t 為樣本平均數與總體平均數的離差統計量，為樣本平均數，μ為總體平均數，為樣本標準差，n 為樣本容量。

2.White 檢驗思想

在異方差形式未知的情況下，假設當模型中包括了 3 個自變量，形如：

其中為方程 的殘差值，此時 White 檢驗就是上述回歸的整體顯著性的 F 檢驗，如果此時 F 檢驗顯著，那么就存在異方差，反之則不存在異方差。但是當自變量增多的時候，上述回歸中的自變量將呈現出幾何級增加，因此將大量損失自由度。因此存在的一個改進為，作回歸：

此時采用 F 檢驗來檢驗的原假設即可。

三、模型的建立與求解

我們考慮影響線性代數課程的因素，因而我們根據實際學習狀況，從學生、教師的角度客觀的考察影響因素，并對所收集到的數據進行統計分析，從而確定影響作業量的因素。從實際學習生活中，我們知道對課后作業量的布置影響主要來自學生和教師兩個方面，在滿足假設前提的基礎上，得出聽講程度、學生接受程度、教師授課水平、作業難易度、作業題目數量、其余課程的數量、其余作業所需時間的影響因素。將作業量看成被解釋變量，以上其中因素看成解釋變量，對所建立方程進行回歸分析。

通過分析可以得出學生聽課程度、教師授課水平和其余作業所需時間和作業量成正比例關系，作業難易度與作業量成反比例關系，這就要求教師在實際授課過程中考慮學生的聽課程度，對于學生認真聽課的情況要給予適當多的作業量，從而達到復習鞏固更好掌握知識;授課水平較高的教師因為能給出較高的教學質量，因此可能會多布置作業;回歸結果顯示的其余作業所需時間與作業量成正比例關系是超出一般理解的，因此這就建議教師了解學生所有課程的作業時間，通過合理安排線性代數作業的時間來達到讓學生學習達到最大效益。

四、結論檢驗

影響作業量的因素有學生聽課程度、教師授課水平、作業難易度、其余作業所需時間。結合實際可以得出學生聽課程度、教師授課水平和其余作業所需時間和作業量成正比例關系，作業難易度與作業量成反比例關系。檢驗過程中采用了逐步回歸分析，逐步回歸分析發現方程擬合優度不高并且存在異方差，因此采用WHITE檢驗異方差，用WLS（最小二乘法）對方程修正異方差，在使用1/resid的權重后發結果沒有很理想，因此采用1/resid^2的權重，得出可決系數為0.999952，并且方程能通過t-檢驗、F-檢驗、擬合優度檢驗，模型建立合理。當老師每節課布置 1 小時的作業量時，學生掌握程度可達到最大為 6.36，即掌握程度為 63.6%。

五、模型的評價與推廣

1.模型的優點

（1）用經濟學問題類比所需解決的問題，將學生對知識的掌握程度類比成經濟學中的收益，通過對各種因素的考察、分析得出模型所需要的變量（2）模型中對難以量化的變量采用了性變量的數量化方法進行分析，從而將變量數據化方便統計分析;（3）統計分析、回歸分析等方法成熟，計算可靠，結果直觀可信;

2.模型的缺點

（1）樣本數據有限，代表性不強;（2）假設條件較為理想，實際難以達到這樣的理想水平;（3）各量化指標對學生掌握程度的影響使得非線性因素增加，導致問題變復雜，產生誤差;（4）模型處理時雖然形式簡單，便于計算，而且也選取了真實可靠的數據，但是學生學習問題并不具有普遍性，此模型得出的結論只能反映學生對知識掌握程度與作業量的大致關系。

3.優化

在模型的優化與處理軟件選擇部分，如果有更加充足的數據，可以通過使用 Matlab、SPSS 軟件對作業量情況進行進一步線性回歸分析，而不是像本文中對于模型的結論與求解大多是通過對于簡單經濟學軟件 EViews 分析得來。

參考文獻

[1]高正暉.線性代數[M].北京：中國科學技術出版，2009.

[2]劉大成.定性變量的數量化方法新探[M].黑龍江：東北林業大學.2011

[3]張昊.加權最小二乘法與 AR 組合模型在預測中的應用研究.長沙：中南大學.2011.