基于MATLAB 的二級倒立擺的穩擺控制研究

馬 杰 張景鈺

（陜西工業職業技術學院 機械工程學院，陜西 咸陽712000）

1 概述

倒立擺系統在控制學科是一個非線性、不易控制、階次高、變量較多、變量之間關聯性較強且穩定性較差的系統，從19 世紀中期開始, 倒立擺系統就常被用于控制領域的研究[1-3]。在控制學科中，一些不易理解的概念，都可以通過倒立擺擺桿的控制展現出來[4,5]。除了在理論上的應用，對倒立擺擺桿控制算法研究還可遷移到對行走機器人平衡性的控制、發射火箭時其豎直度的掌控以及其他的常見的工業控制領域都可通過對倒立擺的控制進行研究[4,5]。因此從理論和實際來看，對倒立擺的研究有著重要意義[6,7]。國內外對于直線一級倒立擺或環形一級倒立擺的研究較多，相對而言，對于二級倒立擺的研究就相對冷淡，同一級擺的控制相比，二級擺的控制更加復雜多變。與一級擺相同，環形二級倒立擺的控制研究也分為兩部分：將擺桿甩起的控制及在豎直向上位置的穩定控制。作為欠驅動系統，二級擺的穩擺控制是通過電機直接驅動與之連接的水平連桿，帶動與之相連的垂直面內的中間連桿，從而控制連在中間連桿末端的擺桿垂直穩定在豎直向上的位置[8]。本文主要是針對環形二級倒立擺的擺桿穩定控制問題進行研究，通過對二級倒立擺建立數學模型后，借助MATLAB 平臺加入LQR 控制器進行仿真，通過固高環形二級倒立擺實時控制臺進行實驗驗證，分析LQR 控制器應用于環形二級倒立擺的控制效果。

2 系統建模

針對實驗室現有倒立擺試驗系統，抓住建模主要影響因素，在假設的情況下，把環形二級倒立擺簡化成由一個水平桿、兩個豎直方向的擺桿以及連接各獨立部件的兩個質量塊組成的系統。不同于以往二級擺簡化建模，此處考慮到編碼器及連接質量塊的重心問題，使所建模型更貼近實物，其對應各具體參數如表1。

將實驗室具體的倒立擺實物進行數學建模分析，對其系統建立圖1 的所示的簡化建模分析圖，以便對研究對象進行模型的搭建。

圖1 環形二級倒立擺建模分析圖

表1 數學建模物理參數

此處通過常用的拉格朗日方程對研究對象進行數學模型的搭建分析。在此研究對象中，系統的廣義坐標為：

2.1 研究對象系統動能

在環形二級擺系統當中，系統動能主要涉及五部分：水平及豎直方向上的連桿（共3 個桿件）、用于測量豎直中間桿角度的編碼器及用于測量上擺桿角度的編碼器2 這五個部分的能量，其計算公式如下：

2.2 研究對象系統勢能

計算中選擇水平桿中心所在面為研究系統參照的基準勢能面，那么系統的總勢能主要有：編碼器1、豎直中間桿、編碼器2及豎直上擺桿這四部分的能量，表達式如下：

則系統總勢能：

2.3 系統動力學方程

根據拉格朗日方程有：

3 控制器設計

本文選取LQR 進行二級擺的控制仿真實驗。LQR 算法是現代控制理論里一種最優調節控制器，其發展較早現在也較為成熟。LQR 控制通過一個線性控制算法，表達如下：

圖2 MATLAB 中仿真曲線圖

4 實驗驗證及結論

從圖3 實驗曲線可以看到，控制剛啟動時外在初始條件對桿件角度影響較大，但不影響實驗結果，可以看到中間桿和上擺桿都在2s 內穩定于平衡位置附近，整體與仿真結果一致。從仿真和實驗結果驗證了LQR 控制算法可以較好地用于環形二級倒立擺的控制。

圖3 二級擺LQR 實驗結果