函數的概念和圖象

3.1 函數的概念和圖象

考點、易混易錯點解讀

考點：平面直角坐標系中點的坐標特征，函數及其自變量的取值范圍，函數圖象的分析及判斷，

易混易錯點：在平面直角坐標系中點的坐際問題，主要有兩種類型：一是規律探索問題，這類問題不容易發現規律，確定點坐標時易出潛;二是靜態情形下確定點的坐標問題，點的橫、縱坐標易混淆.要區分點的坐標與線段的長，同時要正確理解實際問題中圖象上點的橫、縱坐標的意義.

高頻考點例題點撥

高頻考點1平面直角坐標系中點的坐標物征

例1 （2019.菏澤）在平面直角坐標系中，一個智能機器人接到的指令是：從原點O出發，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不斷移動，每次移動1個單位長度，其移動路線如圖1所示，第一次移動到點A1，第二次移動到點A2，…，第n次移動到點An，則點A2019的坐標是（? ? ?）.

A. （1 010，0）

B. （1 010，1）

C. （1 009，0）

D. （1 009，1）

解析：由題意可得A.（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），A5（2，1） ，A6（3，1）…

∵2019÷4=504-3.

∴A2019的坐標為（504x2+1，0），即（1009，0）.

∴選C.

點撥：對于平面直角坐標系中點的坐標的規律探索問題，根據圖形中點的坐標的變化特點，可以將這類題概括為兩種形式：一種是點的坐標是在同一象限內遞推變化，另一種是點的坐標在坐標軸上或象限內循環遞推變化.解決這類題首先作出正確判斷，然后根據圖形的變化規律分別求出起始幾個點的坐標，看看后一個點的坐標與前一個點的坐標之間有沒有倍數關系，或者點的坐標與序數之間有沒有關系.如果屬于第一種情況，只需根據倍數關系確定所求第n個點的坐標;如果屬于第二種情況，只需找出循環“一周”的變換次數，然后確定點的坐標變化的規律，求出第n個點的坐標.

例2（2019.綿陽）如圖2，在平面直角坐標系中，四邊形OABC為菱形，O點的坐標為（0，0），A點的坐標為（4，0），∠AOC=60°.則對角線交點E的坐標為（? ? ? ）.

A.（2，√3）

B.（√3，2）

C. （√3 ，3）

D. （3 ， √3）

解析：過點E作ED⊥x軸，垂足為點D，如圖3.

因為四邊形OABC為菱形.∠AOC=60°.所以∠AOE=30°.在Rt△OEA中.∠OEA=90°，OA =4，可得OE=2、√3，AE=2.

根據面積法或解直角三角形，可得ED=√3.OD=3.故選D.

點撥：在平面直角坐標系中，求靜態情形下點的坐標，方法是利用解直角三角形、勾股定理或相似三角形的知識求線段的長.

高頻考點2 函數圖象的分析

例3 （2019.濰坊）如圖4，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3.動點P沿折線BCD從點B開始向點D運動（不與點D重合）.設運動的路程為x，△ADP的面積為y，那么y與x之間的函數關系的圖象大致是（? ? ?）.

解析方法1：動點P沿折線BCD從點B開始向點D運動（不與點D重合），可以分為兩個階段：

（1）點P在BC上運動，S△APD=1/2x3x2=3.

（2）點P在CD上運動，S△APD=1/2×3×（2+3一x）=一3/2x+15/2，此時自變量x的范圍是3≤x<5.

選D.

方法2：從動點P的運動軌跡看，點C是一個分界點，此時自變量x的值為3，點P在BC上運動時△APD的面積不變，這樣可以判斷出正確答案為D.

點撥：解答以幾何圖形中的動點為背景判斷函數圖象的題目，一般的思路有兩種：（1）找因變量與自變量之間存在的函數關系，再找出相對應的函數圖象，要注意分類討論自變量的取值范圍.（2）直接根據幾何量的變化趨勢（注意分界點）判斷函數圖象，

分析函數圖象的步驟是：（1）弄清楚圖象中點的橫、縱坐標代表的量及函數自變量的取值范圍.（2）找出分段函數的分界點，函數增減性發生變化的點，以及函數圖象與坐標軸的交點，根據這些特殊點的坐標求出動點運動到特殊位置上的幾何量.

中考命題預測

1.如圖5，在△OAB中，已知頂點0（0，0），A（-3，4），B（3，4）.將△OAB與正方形ABCD組成的圖形繞點O順時針旋轉，每次旋轉90°，則第70次旋轉結束時，點D的坐標為（? ? ? ）.

A.（10，3）

B.（-3，10）

C.（10，-3）

D.（3.-10）

2.如圖6，在平面直角坐標系中，點B在第一象限，點A在x軸的正半軸上，∠AOB= ∠B=30°，OA =2.將△AOB繞點O逆時針旋轉90°得△OAB，點B的對應點B的坐標是（? ? ）.

A.（-1，2+√3）

B.（-√3，3）

C.（-√3，2+√3）

D.（-3，√3）

3.如圖7，正方形ABCD的邊長為2 cm，動點P，Q同時從點A出發，在正方形的邊上，分別按A→D→C，A→B→C的方向，都以1 cm/s的速度運動，到達點C運動終止，連接PQ，設運動時間為xs，△APQ的面積為y，cm2，則下列圖象中能大致表示y與x的函數關系的是（? ? ）.