一元一次不等式與不等式組

一元一次不等式與不等式組

考點，易混易錯點解讀

在中考中，常見的命題點有：不等式的性質，解一元一次不等式（組），確定一元一次不等式組中字母參數的值或取值范圍，一元一次不等式的實際應用.

在運用不等式的性質時，要注意不等號方向是否改變，一元一次不等式組的解是不等式組中所有不等式解的公共部分，在求解時有兩種方法：（1）口訣法.“同大取大，同小取小，大小、小大中間找，大大小小無解了”.（2）數形結合法.把每個不等式的解在數軸上表示出來，然后取它們的公共部分.

解決求不等式組整數解的相關問題時，先得出不等式組的解集，并將其在數軸上表示出來，一定要注意不等式組的解集在數軸上表示時是用“空心圓圈”還是用“實心圓點”，然后結合數軸確定整數解，要注意以下三點：（1）求整數解時，當臨界點是整數時，要區分臨界點是“實心”還是“空心”.（2）當臨界點不是整數時，根據不等式組的解集確定整數解是在臨界點左側還是右側.（3）求最大整數解時，要找數軸上最右邊的整數解;求最小整數解時，要找數軸上最左邊的整數解.

在實際問題中，列不等式時要找到問題中表示不等關系的詞，正確理解這些詞的含義.常見的表示“>”的詞有“大于”“高于”“多于”等，表示“<”的詞有“小于”“低于”“少于”等，表示“≥”的詞有“至少”“不小于”“不低于”“不少于”等，表示“≤”的詞有“最多”“不大于”“不高于”“不超過”等，求解時，要挖掘問題中的隱含條件，找出不等式解集范圍內符合題目及實際意義的特殊解.

∴不等式組的所有非負整數解是0，1，2，3，4.

∴不等式組的所有非負整數解的和是10.故選A.

點撥：求出每個不等式的解集，解上面的第一個不等式去括號時，1不能漏乘以3;解第二個不等式去分母時，不能漏乘不含分母的項.在數軸上表示兩個不等式的解集時，要注意第一個不等式不含“=”，第二個不等式含有“=”，進而確定不等式組的解集，再列出解集范圍內的非負整數解，最后求所有非負整數解的和即可，

高頻考點2確定一元一次不等式（組）中字母參數的值或取值范圍

點撥：可以先把字母k看成一個已知數，求出不等式組中各個不等式的解集，然后利用數形結合的數學思想，借助數軸求出字母k的取值范圍.本題中，先把不等式①的解集x>-1和不等式組的解集x>-1在數軸上表示出來，然后在數軸上探究不等式②的解集x>k+1所滿足的條件，可以發現數軸上表示k+1的點不能在表示一1的點的右側，所以得到k+1≤-1.在這里特別提醒，當不確定端點處能否取到時，可以把端點值代入進行判斷.

高頻考點3-元一次不等式的實際應用

例3（2019.赤峰）某校開展校園藝術節系列活動，派小明到文體超市購買若干個文具袋作為獎品，這種文具袋標價是每個10元，請認真閱讀結賬時老板與小明的對話.

（1）結合兩人的對話內容，小明原計劃購買文具袋多少個？

（2）學校決定再次購買鋼筆和簽字筆共50支作為補充獎品，兩次購買獎品總支出不超過400元，鋼筆標價是每支8元，簽字筆標價是每支6元.經過溝通，這次老板給予八折優惠，那么小明最多可購買鋼筆多少支？

解析：（1）設小明原計劃購買文具袋x個，則實際購買了（x+1）個.

依題意得10（x+1）x0.85=10x-17，解得x=17.

答：小明原計劃購買文具袋17個.

（2）設小明可購買鋼筆y支，則購買簽字筆（50-y）支.

依題意得[ 8y+6（50-y）] x80%≤400，解得y≤ 100.

答：小明最多可購買鋼筆100支.

點撥：第（1）問中根據對話內容列出方程并解答.第（2）問中根據兩種物品的購買總費用不超過400元列出不等式并解答.解決問題的關鍵是讀懂題意，找到關鍵描述語，據此得出等量關系或不等關系，列方程或不等式解決問題，

例4某商場銷售A.B兩種品牌的教學設備，這兩種教學設備的進價和售價如表1所示.

該商場計劃購進兩種教學設備若干套，共需66萬元，全部銷售后可獲毛利潤9萬元，

說明：總的毛利潤=（售價一進價）X銷售量.

（1）該商場計劃購進A，B兩種品牌的教學設備各多少套？

（2）通過市場調研，該商場決定在原計劃的基礎上，減少A種設備的購進數量，增加B種設備的購進數量，已知B種設備增加的數量是A種設備減少的數量的1.5倍.若用于購進這兩種教學設備的總資金不超過69萬元，A種設備購進數量至多減少多少套？

解析： （1）設該商場計劃購進A種設備x套、B種設備y套.

答：該商場計劃購進A種設備20套、B種設備30套.

（2）設A種設備購進數量減少a套，則B種設備購進數量增加1.5a套.

由已知得1.5（20-a）+1.2（30+1.5a）≤69.

解得a≤10.

答：A種設備購進數量至多減少10套，

點撥：列方程（組）解決實際問題時，要正確分析題意，找出滿足條件的等量關系，然后根據等量關系列出方程（組），其中將題目中的“文字語言”轉化為“數學符號語言”是解題的關鍵.列不等式（組）解決實際問題時，要注意題目中表示不等關系的詞語，如“不大于”“不小于”“不超過”“不低于”等，

例5 某超市欲購進A、B兩種品牌的T恤共200件，已知兩種T恤的進價如表2所示，設購進A種T恤x件，且所購進的兩種T恤能全部賣出，獲得的總利潤為W元.

（1）求W與x的函數關系式.

（2）如果購進兩種T恤的總費用不超過9500元，那么超市如何進貨才能獲得最大利潤？并求出最大利潤.（提示：利潤=售價一進價）

解析： （1）根據題意，得W=（80-50）x+（65-40）（200-x）=5x+5 000.

（2）根據題意，得50x+40 （200-x）≤9 500.解得x≤150.

由（1）可知W隨x的增大而增大，要使W最大，則x取最大值，即x=150.

∴200-x =50，此時最大利潤為：5×150+5 000=5 750（元）.

答：超市購進A品牌T恤150件，B品牌T恤50件能獲得最大利潤，最大利潤為5 750元.

點撥：解此題的關鍵是弄清楚各種數量關系，能利用等量關系列函數關系式，能利用不等關系列不等式，會利用函數的增減性得出所求的最大利潤.解答此類問題容易出錯的地方是不能根據題意列出函數關系式或不等式，或不會用函數的增減性討論最值問題.

中考命題預測：

4.小明去商店購買A，B兩種玩具.共用了10元，A種玩具每件1元，B種玩具每件2元，若每種玩具至少買一件，且A種玩具的數量多于B種玩具的數量，則小明的購買方案有（

）.

A.5種

B.4種

C.3種

D.2種