Burgers-Sharma-Tasso-Olver 方程的孤子分子及其半周期扭結子解

陳 立，費金喜，施蘇廣

（麗水學院工學院，浙江麗水323000）

0 引言

由于孤子分子在光學系統[1-4]、Bose-Einstein凝聚態[5]、非線性光學等眾多領域有廣泛應用，研究人員一直在持續深入地研究孤子分子，并已經建立了一系列孤子分子的理論體系[6-7]。最近呼吸孤子分子在鎖模光纖激光器實驗中被觀察到[8]，這進一步激發了大家探究孤子分子機理的興趣。孤子共振理論被廣泛應用于各種可積系統中，通過改變孤子的共振條件，我們可以得到多種類型的共振激發模式。在此基礎上運用線性疊加原理和Bell多項式構造共振解[9]，并借助Hirota的直接方法和Backlund變換的手段，Lou等研究人員在Burgers方程和Sharma-Tasso-Olver（STO）方程中發現了孤波解的裂變和聚變[10]現象。結合速度共振機制，Lou等研究人員還得到了應用于流體系統、非線性光學領域、5階KdV方程、KdV-Sawada-Kotera方程和KdV-Kaup-Kupershmidt（KdVKK）方程中的不同類型孤子分子，弄清了這些孤子分子的形成機理和發展過程。近年來也有不少學者從數學和物理不同維度出發，對不同耦合性Burgers系統和STO方程進行了廣泛的研究，但是到目前為止，相關學者對（2+1）維BSTO方程的研究甚少。在本文中我們主要建立并求解了非耦合的（2+1）維BSTO方程的新型孤子分子，并找到半周期扭結子解。

1 （2+1）維BSTO方程和它的多孤子解

從（1+1）維 Burgers族方程[11-13]出發：

在文獻［14］中，我們將（1）式推廣到（2+1）維的形式：

取 n=2 時，（2）式可轉化為

而（3）式的拓展形式即為BSTO方程：

當系數 α，β，γ 取不同值時可以將（4）式轉化成不同類型的方程。如當 α=0，γ=0 時，（4）式轉化為（1+1）維Burgers方程；當 β=0，γ=0 時，（4）式轉化為 STO方程；當 β=0 時，（4）式轉化為（2+1）維 STO方程，如（3）式所示。

我們根據Backlund變換，得到方程(4)的解為

將（5）式代入（4）式得到

假定（6）式中奇性流形f滿足

式中 ai為任意常數，ki、pi為波數，wi為頻率，ηi為初相，波數、頻率滿足色散關系

將（8）式代入（7）式就得到BSTO方程的多孤子解

在這一章節中我們利用BSTO方程的多孤子解——式（9），求其在不同參數條件下的半周期扭結子解，并揭示它們的裂變和聚變現象。取N=2，并假定

將（8）式和（10）式代入（7）式有

式中 Ω=ακ（κ2-3k2）-2βkκ-γ（κ-P），ω=αk（k2-3κ2）-β（k2-κ2）-γ（k+ρ），a、k、κ、ρ、P、ζ、Z 為任意常數。將（11）式代入（5）式得到BSTO方程的解為：

明顯地，解（12）式存在奇點。為了消除奇點，我們利用共振條件，得到了BSTO方程的半周期解的簡單形式

式中

b為任意常數。

2 半周期扭結子解以及它們的裂變和聚變

圖 1 （a）（b）（c）分別表示 t=-4，0，4 時的波形。

選取（9）式中合適的參數，可以得到孤子的裂變和聚變結果。如取N=4，則（9）式可轉化為

圖2 （a）當t=0時，孤子裂變圖；（b）當y=0時，孤子裂變圖

圖3 （a）當t=0時，孤子裂變圖;（b）當y=0時，孤子裂變圖

圖4 （a）當t=0時，孤子聚變圖;（b）當y=0時，孤子聚變圖

圖5是（18）式的孤子聚變三維圖。比較圖5（b）與圖4（b）我們發現圖5（b）清楚地顯示了兩個半周期扭結子聚變成通常的扭結子的現象。

圖5 （a）t=0時孤子聚變圖;（b）y=0時，孤子聚變圖

3 BSTO方程的孤子分子

在這一章節中，我們利用速度共振條件，研究BSTO方程的孤子分子的特性。首先我們給出BSTO方程的波數、頻率共振條件為

其次將（8）式代入（19）式得到波數 ki，kj關系式為

最后在 BSTO 方程的孤子分子式（9）中，取 N=2，且當 a1=a2=1，α=γ=1，β=-1，p1=2，p2=1，η1=0，η2=5時，再結合（8）式和（20）式，（9）式可轉化為

通過模擬計算得到（21）式在勢場ux中不同時刻的孤子分子圖（如圖6），演化過程表明兩孤子所形成的孤子分子在傳播過程中它們的相對位置在不同時刻始終保持不變。其內在原因在于兩孤子的傳播速度滿足速度共振機制，即兩孤子的傳播速度相同。

圖6 當N=2時，（21）式在勢場ux中不同時刻的孤子分子圖

若我們選取 N=4，a1=a2=1，α=γ=1，β=-1，p1=2，p2=1，p3=-2，p4=-1，η1=0，η2=5，η3=0，η4=5，再結合（8）和（20）式，則（9）式可轉化為

通過模擬計算得到（22）式在勢場ux中不同時刻的四孤子分子圖（如圖7），演化過程表明四孤子也有在傳播過程中它們之間的相對位置在不同的時刻始終保持不變的特性，這類同于N=2時的傳播情形。

圖7 當N=4時，（22）式在勢場ux中不同時刻的孤子分子圖

4 結語

本文利用速度共振機制，得到了（2+1）維BSTO方程的解即二孤子分子和四孤子分子，并分析了其特性。接著討論了常規扭結子和半周期性扭結子之間的相互作用，即聚變和裂變現象。文中對孤子分子和扭結子的剖析為開展應用物理實驗和理論研究提供了一個新的思路，具有一定的科學指導意義。