半線性熱傳導方程Cauchy問題生命跨度估計

林銀河，徐根海，楊姍姍

（1.麗水學院工學院，浙江麗水323000；2.浙江理工大學理學院，浙江杭州310018）

0 引言

根據定義，生命跨度T（ε）是指解的最大存在時間。當T（ε）=+∞時，表明解整體存在。Li和Chen[1]建立了如下形式的生命跨度下界估計：

其中C是一個與n，p有關的正常數，但與ε無關，不同的地方取值不一樣。

現在研究以下n維半線性熱傳導方程的Cauehy問題：

和

其中ε表示描述初值小性的參數。上述兩個問題的方程都是反映擴散的方程，通常用于種群動力學和幾何學中。這兩個問題的主要區別在于非線性項，問題（2）中的非線性具有非負性，這有利于得出下界估計，而問題（3）的非線性不具有非負性。與上述兩問題相關的更一般的非線性熱傳導方程模型為

其中u（t，x）表示化學反應中的溫度，（f正）表示熱源，可參考Hu[2]關于模型（2）的詳細介紹。對Cauchy問題（2）的研究源于Fujita[3]于1966年的開創性工作。他證明了問題（2）存在臨界指標p=pF（n）=（Fujita臨界指標）：即當時，對于任何非負且非平凡的初值，解將在有限的時間內破裂：而當p時，則存在小初值整體解。隨后，文［4-7］研究了臨界指標情況，并證明了該情形解也將在有限時間內破裂。另外，Hu在文［2］的第5章中用反證法證明了當1

有一個有趣的現象是以下小初值半線性耗散波動方程的柯西問題：

與（2）具有相同的臨界指標，參見［8-14］及其中的參考文獻。

1 熱核的半群性質

引理1 熱核E（t，x）的傅里葉變換為

證明 由傅里葉變換的定義可知

于是（8）得證。基于此，可以證明 E（t，x）的半群性質，即：

其中★表示卷積。

證明 由（8）式可知E（t，x）的傅里葉變換為

由此可得

對上式再作傅里葉逆變換便可得（10）式。

2 主要結論的證明

首先考慮定理1的證明。根據Diuhamel原理，問題（2）的解可以表示為

在這里我們使用了E（t，x）的半群性質。

令

和

則由 Ho¨lder不等式，可得

令

則有

代入（17）式，得

其中C0表示一個與ε無關的正常數。

注意到當 0≤τ≤t時，有 2（t+1）≥2t+1-τ≥t+1，則由 Ho¨lder不等式可以估計非線性項 N（t）：

其中C1表示一個與ε無關的正常數。

結合（13）（19）（20）和（21），可得

令

則有

和

由此可得H（t），亦即F（t）的生命跨度上界估計：

積分上式，可得

即

整理后，可得

其中

進一步，可得

于是當

即當

時，有

從而

這樣就證明了生命跨度上界估計為

從而完成了定理1的證明。

以下考慮定理2的證明。事實上，只需要證明解的非負性，則問題（3）就能轉化為問題（2），從而就可以用上面的方法得到同樣的生命跨度上界估計。下面證明問題（3）的解是非負的。首先考慮如下Cauchy問題：

由熱傳導方程基本解的正性（見（13））和初值的假設，可知

再由熱傳導方程解的唯一性，可知

這樣就證明了Cauchy問題（3）解的非負性，從而問題（3）中的非線性項，故只需重復定理1的證明步驟即可證明定理2。