關于美國數學教育的兩點思考與啟發

潘俊堯?袁俊麗

摘要：通過分析幾道美國高中生數學作業題目，我們發現美國高中數學教育具有知識覆蓋廣和訓練維度高這兩個特點并結合當今數學發展趨勢潮流來闡釋這兩個特點的重要性與必要性。這為我國進一步深化數學教育改革提供了一些有意義的參考。

關鍵詞：美國數學教育;數學教育改革

一、美國數學教育特點

美國作為世界頭號數學強國，他們的數學教育思想與方法是值得我們借鑒推廣的，國內也有很多數學教育工作者從事相關研究，如文獻[1-3]。我們在生活中遇到了幾道典型的美國高中生作業題目，發現這些題目恰好反映出美國數學教育的兩個特點。同時，這幾道題目也為其他數學教育工作者進一步深入思考提供了很好的范例。

1.設n為一個大于1的整數。如果集合中有小于個素數對于任意正整數系數首1多項式恒成立，那么稱n為“混亂”整數。存在有限個“混亂”整數嗎？

2.給定一個n×n棋盤（n為正整數），棋盤上有若干個棋子。在一次操作中，任意棋子可以吃掉同行或同列的另一個棋子（吃掉指拿掉另一個棋子并挪至其所在位置），如此操作至不能操作為止。

（1）設計一個的算法并計算最多的操作次數;

（2）設計一個的算法并計算最少的操作次數。

3.如下三條規則可以添加在字符串任何位置，也可以把它從字符串中刪掉，規則如下：

（i）AA（ii）BBB（iii）ABAB。例如，AB→ABAA→ ABABBBA→BBA。

（1）這三條規則為什么不能把BA變為AB？

（2）證明任意字符串通過這三條規則可以變為：空字，A，B，BB，AB，ABB中的某一個。

4.對一個固定的加法下的阿貝爾群G，I為有限個G的子集族。如果族I滿足下面兩點：

（i）若，，那么也在族I之中（ii）任意，有也在族I之中，那么稱I為G—允許族。如果為有限集，那么令A為包含A的最小G—允許族。

（1）對于每個Z—允許族，都存在某個子集A使得A等于該Z—允許族嗎？

（2）描述所有Z—允許族。

（3）對于n=5，6，9， 的允許族有幾個？

認真分析上述題目，我們不難發現美國高中數學教育具有如下兩個特點：

（1）知識覆蓋廣：作為美國高中生的作業題目，它們涉及到了高代、數論、近世代數、微積分以及計算機等領域;

（2）訓練維度高：以數論、計算機以及群論知識等不同背景訓練學生發現總結數學規律的能力。

二、思考與啟發

當今數學發展最顯著的特點就是不同領域的交叉研究，如懷爾斯揭示出橢圓曲線與模形式之間的關而證明了350年未解的費馬大定理;拉佛閣對于任意給定的函數域建立了其伽羅瓦群表示和與該域相伴的自守型之間的精確聯系;高爾斯應用組合數學方法改變了巴拿赫空間幾何全貌、本格林和陶哲軒應用組合數學方法證明了存在任意長素數等差數列這一著名數論定理;奧昆科夫建立了概率論、代數表示以及代數幾何之間的聯系;文卡特什綜合運用數論、齊次動力系統、拓撲及表示論知識解決了算術對象分布方面的著名難題等。

那么數學工作者如何才能適應21世紀數學發展的這一顯著特點呢？首先，數學工作者本身要掌握豐富的數學知識、盡可能通曉多個數學領域，否則不具備將不同領域知識交叉的基礎。其次，數學工作者要學會從多個維度審視問題，否則不具備將不同領域知識交叉的能力。一位數學工作者，只有具備這兩點才能適應當今數學發展的趨勢潮流、有機會成為新世紀的數學弄潮兒。

美國高中數學教育的知識量大、覆蓋面廣、訓練維度高、訓練有深度及技巧的特點恰恰能夠與這一趨勢高度契合，這些特別值得我們深思。

參考文獻：

[1]蔡金法;是是非非：走近美國數學教育;數學教育學報;2018年02期

[2]鞏子坤，何聲清，殷文娣，江春蓮;美國數學資優生教育：是非與評述;數學教育學報;2018年02期

[3]吳有昌;美國數學課程標準中案例的特點分析;中學數學月刊;2012年06期

作者簡介：潘俊堯（1981.4）男，漢族，吉林省九臺市，博士研究生，講師，研究方向：代數組合。