在探索中感悟數學思想

郭紅麗

摘?要 數學課堂究竟能帶給學生什么？這是筆者一直在思考的問題——授之以魚不如授之以漁。從“知識結果的教學”→“過程的教學”→“智慧的教學”，這是三種不同的教學觀帶來的不同結果。《數學廣角》最明顯的特點就是目標定位在滲透數學思想方法，而數學思想方法又是一種基于數學知識又高于數學知識的隱性數學知識，在教材里只能用靜態的知識形式呈現，這就必然要求教師要深鉆教材，透過靜態知識理清動態思維線索，充分地挖掘和理解教材中所體現的數學思想方法。

關鍵詞 小學數學;數學廣角;思想方法

中圖分類號：G622 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2020）26-0200-02

從“知識結果的教學”→“過程的教學”→“智慧的教學”，這是三種不同的教學觀帶來的不同結果。數學課堂究竟要給學生帶來什么？帶著這樣一個問題，筆者執教了五年級《數學廣角》——植樹問題例1一課。現將自己的所思所做所悟交流如下：

《數學廣角》最明顯的特點就是目標定位在滲透數學思想方法，而數學思想方法又是一種基于數學知識又高于數學知識的隱性數學知識，在教材里只能用靜態的知識形式呈現，這就必然要求教師要深鉆教材，透過靜態知識理清動態思維線索，充分地挖掘和理解教材中所體現的數學思想方法，確定相對準確、具體的教學目標。本節課執教的《植樹問題》是教材第106頁例1的教學。知識線索的呈現是：出示例1→呈現算法→進行檢驗→揭示規律（模型）→運用規律（模型）[教材用幾個小朋友的對話和圖片來呈現學生探索解決問題的過程。首先由一個男孩說出學生們可能會想到的答案：“100÷5=20（棵）”，接著一個女孩問：“對嗎？檢驗一下。”來引發學生思考。接下來由小精靈提出了解決問題的常用方法──從簡單的情況入手解決復雜的問題。這里先呈現直觀的圖示法，讓學生看到把一條線段平均分成4段，加上兩個端點，一共有5個點，也就是要栽5棵樹，使學生發現植樹時確定樹苗數量的問題并不能簡單地用除法來解決。緊接著一個小男孩提出“25 m可以栽幾棵？”這次用畫線段圖的方式解決問題，不僅在研究方法上從直觀轉為抽象，更是向學生滲透歸納思想──一個特例不足以說明問題，多個不同的事物才能揭示規律。然后向學生提問：“你發現了什么規律？”啟發學生透過現象發現規律，也就是栽樹的棵數要比間隔數多1。同時教材進一步提出“不畫圖，你知道30 m、35 m要栽幾棵樹嗎？”讓學生利用發現的規律先解決簡單的問題。最后教材要求應用發現的規律來解決前面的植樹問題：100 m長的小路共有20個間隔，兩端都要栽，所以一共要栽21棵樹。]思維線索是：通過學生熟悉的植樹情境，引導學生借助線段圖，經歷猜想、實驗、抽象等數學活動過程，探索間隔與點之間的數量關系，建立植樹問題的數學模型;再運用模型解決實際問題。（“植樹問題”中最重要的數學思想就是模型思想，而如何讓學生理解從實際問題中抽象出數學模型的過程是教學“植樹問題”的難點。為了突破這一難點，教材突出了線段圖的教學，通過幾何直觀幫助學生理解“植樹問題”的數學模型。例1是探討關于一條線段，并且兩端都要栽的植樹問題，讓學生通過觀察線段圖來發現栽樹的棵數和間隔數之間的關系。即讓學生先把“樹”抽象成“點”，把“點”與間隔一一對應起來，發現栽樹的棵樹和間隔數之間的關系，多出一個“點”，所以“栽樹棵數=間隔數+1”即“兩端都栽”的模型。）

所以，這節課的教學要求可以這樣定位：利用學生熟悉的生活素材讓學生理解和建構“間隔”“間隔長”“間隔數”等概念，感悟間隔數與棵數之間的關系，通過自主探索、討論、交流，使學生發現、理解并掌握植樹問題（兩端要栽）的解題規律，并利用規律解決一些實際問題。教學重點為使學生理解和掌握計算間隔數的方法，掌握兩端都栽的植樹規律并能正確進行計算。教學難點為建構“間隔”“間隔長”“間隔數”等概念。

有了明確的、可操作的教學要求，就能很好地解決“教什么”的問題;如何實現這些教學要求，就要研究一堂課怎樣開始？怎樣展開？怎樣練習？如“植樹問題”一課的教學筆者是這樣安排教學層次。

一、創設情境，激發求知欲望

良好的開端就是成功的一半。一堂課應該如何創設情境？明確學什么，揭示課題，是教學成敗的重要前提。筆者課前借助“手掌”等實物，理解“間隔”“間隔長”“間隔數”，創設這樣的現實問題情境，促進學生思維變通。1、猜謎語。“同學們，你們喜歡猜謎語嗎？”出示謎語：“兩棵小樹十個叉，不長葉子不開花。能寫會算還會畫，天天干活不說話。它是什么呢？你說說看？”（手）。2、數手指。“我們的手作用可真大，又會寫又會畫還會算，而且我們的手上還有許多的數學奧秘，仔細看老師的手，你看到了數字幾呢？”（5）“還能看到數字幾呢？”（4、3、2、1。）“請你說說數字4、3、2、1表示的是什么啊？”（手指的個數）。3、引入間隔、間隔數。①“除了手指的個數外你還能看到什么呢？”（還能看到手指之間的間隔）。②“手指之間還有一個個的間隔。同學們，在老師的手上五個手指之間到底有幾個間隔呢？”（4個）。③數一數。用自已的手數一數有幾個間隔？（學生逐一數1、2、3、4），“那四個手指之間有幾個間隔？三個手指之間呢？兩個手指之間呢？”④“說一說什么叫“間隔”？”（兩個手指的距離，學生說不出來，多媒體將手抽象成線段圖）。⑤“什么叫間隔長？”（間隔的長度）“什么叫間隔數？”（間隔的個數）4、認識生活中的“間隔”“間隔數”。生活中間隔和間隔數無處不在。（課件出示：人民大會堂柱子、路燈桿、擺花盆、路旁的小樹等），邊放課件邊敘述說明。“想一想，生活中還有哪些地方有間隔？有幾個間隔？”（給學生時空充分交流）5、揭示并板書課題。“像這樣有間隔、間隔數現象存在的問題，統稱為植樹問題。”（板書：植樹問題）。“今天我們就一起來探究有關植樹問題的知識。”板書課題——植樹問題。

二、分層教學，構建新知模型

新授課圍繞一個“新”字展開，重點要思考的是教學的起點在哪里？分成幾個教學層次，每個層次要解決個什么問題，作用是什么？每個層次的教學方式是什么？哪個環節要教師講清講透？哪個環節要學生認真聽講、獨立思考？哪個環節要學生動手實踐、自主探索、合作交流？哪個環節引導學生比較、分類、歸納、抽象、推理、建模……。如《植樹問題》一課的教學，學習的價值不僅僅是讓學生記住兩段都栽棵數等于間隔數加1，而是要通過植樹這個典型案例喚起“植樹問題”的模型。例1是探討關于一條線段，并且兩端都要栽的植樹問題，讓學生通過觀察線段圖來發現栽樹的棵數和間隔數之間的關系。即讓學生先把“樹”抽象成“點”，把“點”與間隔一一對應起來，發現栽樹的棵數和間隔數之間的關系，多出一個“點”，所以“栽樹棵數=間隔數+1”即“兩端都栽”的模型。）使學生發現、理解并掌握植樹問題（兩端要栽）的解題規律，并利用規律解決一些實際問題。讓學生經歷完整的問題解決全過程，進而培養學生分析問題和解決問題的能力，發展核心素養。

具體教學思路如下：

層次一、教學例1，初步理解植樹問題模型。例1的教學，讓學生經歷“閱讀與理解、分析與解答”完整的問題解決過程。閱讀與理解時，通過問題引領，同時借助線段圖幫助學生理解題意。“讀一讀，在題中你讀到哪些信息？誰來說一說？“全長100米”表示什么？“一邊植樹”表示什么？“每隔5米栽一棵”表示什么意思？（間隔長）等問題引領，根據學生的回答出示線段圖來幫助學生理解題意。分析與解答環節，筆者先讓學生自己計算，然后再次以問題引領，在這個算式中，100米是什么？（總長）5米是什么？（間隔長）100÷5表示什么？（100米里有幾個5米，就有幾個間隔）？20是什么？（間隔數）（100里有20個5，有20個間隔），以此來理解求出來的20是間隔數而不是棵數。接著，筆者采用圈一圈方式，讓點與間隔一一對應，提出問題20棵樹夠嗎？學生通過觀察線段圖發現，多出一個點，就多出1棵樹，所以要20+1=21。為了引導學生回顧反思總結，引導學生總結出間隔數的計算方法，（總長÷間隔長=間隔數），最后引導學生回顧植樹問題的解題思路先算間隔數，再算棵數。讓學生初步理解了植樹問題模型，感悟間隔數與棵數之間的關系，通過自主探索、討論、交流，使學生發現、理解并掌握植樹問題（兩端要栽）的解題規律。

層次二、進行驗證，理解和掌握植樹問題模型。緊接著提出“20m、25 m可以栽幾棵？”這次用畫線段圖的方式解決問題，不僅在研究方法上從直觀轉為抽象，更是向學生滲透歸納思想——一個特例不足以說明問題，多個不同的事物才能揭示規律。然后向學生提問：“你發現了什么規律？”啟發學生透過現象發現規律，也就是栽樹的棵數要比間隔數多1。然后進一步提出“不畫圖，你知道30 m、35 m要栽幾棵樹嗎？”讓學生利用發現的規律先解決簡單的問題，揭示規律。總長、間隔長、間隔數之間有什么關系？植樹的棵數與誰有關系？棵數怎么算？植要樹問題先算什么？（間隔數）再算什么？（棵數）

層次三、觸類旁通、完整建構植樹問題模型。生活中有“間隔”和“間隔數”的問題都可以看作是植樹問題，兩端栽的要先算“間隔數”，加1就是棵數。

三、及時練習，解釋拓展運用

學生在課堂上用較短有限的時間學習了較多數學知識，需要及時通過練習來鞏固，才能掌握。而知識的鞏固積累、技能的形成又是再學習的基礎，也是知識向能力轉化的先決條件。尤其是小學數學新授課一個最顯著和特點就是要及時組織練習。如何通過練習，實現解釋、拓展、運用？解釋就是學生對數學知識在獨立觀察、思考的基礎上，合理說明其由來、聯系、規律;拓展就數學而言就是會靈活進行變式;運用就是用數學知識解決具體問題。這就要求教師在課堂教學中要科學設計和安排練習層次。總原則是講練結合，邊講邊練。要根據教學內容采用不同形式的練習方式。其一，對重點內容和關鍵知識集中練。其二，對于難點分散練。其三，對于易混知識對比練。其四，對于發展數學素養、思維提升空間較大的內容要拓展練，可以將新知拓展，縱向引申，讓學生的思維呈階梯式發展。如《植樹問題》教學中在探究了植樹問題的規律后，筆者立足生活設計了基本練習、變式練習、引申發展練習等系列的練習題，一方面把植樹問題進一步拓展，鞏固新知，發散學生思維，另一方面體現數學在生活中的價值，增強了學生對數學的興趣。從易到難，讓學生解決生活中的植樹問題，拓寬了學生的視野，也體現了生活處處有數學。

這樣的課就意味著學生不僅僅具有扎實的基礎，更重要的是能夠體現數學的“變式”訓練總結方法，提升思維，不失時機地培養了學生的抽象、概括、推理等能力。“植樹問題”模型得到了很好的運用，使學生遇到此類問題能夠觸類旁通。

數學課堂究竟能帶給學生什么？這是筆者一直在思考的問題——授之以魚不如授之以漁。總之，整節課學生是在輕松、愉快的心情下，在動手、動腦、動口的過程中，掌握問題解決的策略和思想方法。筆者想只要一次次積累、一次次思考，就能給孩子們帶來一種真實有效的數學課堂。發展數學素養，需要教師立足于日常教學，立足于教材，立足于課堂，立足于與學生的每一句真實的對話，不斷學習積累，不斷反思總結，才能教得有效，學得有味。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部，義務教育數學課程標準（2011年版）[Z].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]王永春.小學數學與數學思想方法[M].上海：上華東師范大學出版社，2014.7.