具有脈沖時間窗口和壓縮脈沖強度系數的非線性脈沖控制系統

陳 賈 胡 進 房 杰 蘆澤群

(1.重慶交通大學數學與統計學院 重慶 400000)(2.重慶三峽學院 智能信息處理與控制重點實驗室 重慶 404100)

一、引言

(1.1)

其中，x∈Rn是狀態向量，f:Rn→Rn是連續非線性函數，滿足利普西茲條件：(1)f(0)=0，(2)f(x)-f(y)≤Lx-y,L=diag(L1,L2,…Ln)≥0,?x,y∈Rn,A∈Rn×n是一個常數矩陣.特別地，當y=0，有f(x)≤Lx.

控制周期T>0,0≤τm

(1.2)

這里函數F(Jx(t-))定義為

(1.3)

其中H=diag(h1,h2,…,hn),-10表示系統能夠接受的最大興奮或者抑制脈沖強度.

在系統(1.2)中，我們不對脈沖強度J做限制，J可以對系統(1.2)起到興奮作用，也可以起到抑制作用.對比系統(1.1)，當J=-1時，系統(1.1)中狀態值為x(t)=x(t-)+(-1)x(t-)=0.當J=-1時，取H=0.1,系統(1.2)中狀態值為x(t)=x(t-)+0.1×(-1)x(t-)≠0.因此，函數F(Jx(t-))的設置對過強的脈沖起到了很好的抑制作用。

我們的主要目標是找到一個T和恰當的H，使得系統(1.2)穩定.有關脈沖控制及其相關應用的文獻，可以參閱文獻[4-13].

二、主要結果

引理2.1.對定義在(1.3)中的Jx(t-),我們有

F(Jx(t-))≤HJx(t-).

證明：

(1)jixi(t-)>0時，有

當jixi(t-)≤Ci時，hi與jixi(t-)異號，有hi<0，則有hijixi(t-)≥hiCi,此時F(jixi(t-))=hijixi(t-).

當jixi(t-)>Ci時，hi與jixi(t-)同號，有hi>0，則有hijixi(t-)>hiCi,此時F(jixi(t-))=hiCi

(2)jixi(t-)<0時，有

當-Ci≤jixi(t-)時，hi與jixi(t-)異號，有hi>0,則有hijixi(t-)≥-hiCi,此時F(jixi(t-))=hijixi(t-).

當jixi(t-)<-Ci時，hi與jixi(t-)同號，有hi<0,則有hijixi(t-)>-hiCi,此時F(jixi(t-))=-hiCi

綜上所訴，有:F(Jx(t-))≤HJx(t-).

通過上面引理，有

x(t)=x(t-)+F(Jx(t-))≤x(t-)+HJx(t-).

(2.1)

證明見文獻[3].

從前面的引理，我們可以得到定理2.3.

定理2.3.若存在常數g,ε>0和一個正定對稱矩陣P,有

則，原系統(1.2)指數穩定.

證明：構造下面Lyapunov函數

V(x(t))=x(t)TPx(t).

如果mT≤t

因此，我們有

V(x(t))≤V(x(mT))eg(t-mT).

傳統的對問題認知的方式可能阻礙一般創造力，因而，培養對問題的創造性認知非常重要。在認識事物和問題時，需要有意識地打破常規，深入挖掘問題背后的實質，從而重新審視問題表征，實現對問題的“重定中心”。另外，培養多種創造性思維方式，如逆向思維、橫向思維、負向思維、發散思維等，培養認知的靈活性、復雜性和多方位性。最后，賦予個體更多的解決問題的機會，在具體的問題情境中訓練創造性認知習慣，也能夠起到提升一般創造力的作用。

2.2

假設t=mT+τm,由式子2.1,我們有

V(x(t))=(x(t-)+F(Jx(t-)))TP(x(t-)+F(Jx(t-)))≤x(t-)T(I+HJ)TPx(t-)(I+HJ)x(t-)≤x(t-)T(1+(hiji)max)TPx(t-)(1+(hiji)max)x(t-)=(1+(hiji)max)2V(x(t-)),

由文獻[3]可知，當gT+2ln(1+(hiji)max)≤0,有

三、數值仿真

在這一節中，我們通過Lorenz系統和Chua系統來驗證結果的有效性.在本節中，x取x=[x,y,z]T.

例3.1:考慮以下Lorenz系統

3.1

這里ξ,ρ,b>0是實參數.令x∈[-d,d],d是一個正常數.

所以有:f(X)2≤x2y2+x2z2≤d2y2+d2z2.

如果x(0)=[12,4,-7]T,從圖1我們得到|x|<25,所以我們取L2=diag(0,d2,d2)=diag(0,625,625).

圖1 Lorenz系統X軸方向隨時間t的演變

圖2 Lorenz系統的混沌現象

圖3 Lorenz系統的時間響應曲線

通過計算，我們得到

令，ε2=110,g=120,T=0.02,

J=diag[720,840,510],H=diag[0.001,0.001,0.001].因此，系統1.2是指數穩定的.受控Lorenz系統的時間響應曲線如圖4所示.

圖4 受控Lorenz系統的時間響應曲線

例3.2:考慮如下Chua系統

3.2

其中α,β是常數，g(x)定義為：

g(x)=bx+0.5(a-b)(|x+1|-|x-1|)，

其中a

因此有

我們可以得到：L2=diag(α2(a-b)2,0,0).

我們設置參數α=8.2626,β=16.3325,a=-1.24805,b=-0.76635,則系統(3.2)是混沌的.如圖5所示，我們可以看到初始點為x(0)=[12,4,-7]T的Chua系統是混沌的.圖6顯示出了Chua系統的時間響應曲線.

圖5 Chua系統混沌現象

圖6 Chua系統的時間響應曲線

我們容易得到，ε2=120,g=111,T=0.02,

根據定理2.3可知，系統(1.2)是指數穩定的.

取J=diag[-750,-810,-480],H=diag[0.001,0.001,0.001].我們找到了一個T和恰當的H來控制Chua系統.受控Chua系統的時間響應曲線如圖7示。

圖7 受控Chua系統的時間響應曲線

四、總結

本文針對脈沖對系統狀態改變過大時，可能影響系統性能的狀況，巧妙設計了一個緩沖系統，該方法能夠有效阻止系統的突發狀態快速改變，從而達到保護系統的目的.我們的方法可以應用于其他非線性系統，如神經網絡[14-16]。